Second degré : forme canonique, équations et factorisation

Reconnaître un trinôme et lire ses coefficients après développement.

1. $g(x)=(x-4)(3x+1)$ : sous forme développée, le coefficient $b$ vaut
   $(x-4)(3x+1)=3x^2+x-12x-4$ $=3x^2-11x-4$ : $a=3$, $b=-11$, $c=-4$.
2. $h(x)=5(x+2{)}^2-3$ : sous forme développée, le coefficient $c$ vaut
   $h(x)=5(x^2+4x+4)-3$ $=5x^2+20x+20-3$ $=5x^2+20x+17$ : $a=5$, $b=20$, $c=17$. Le terme constant n’est pas $-3$.
3. $k(x)=(2-x)(2+x)+x$ : le coefficient $a$ vaut
   $(2-x)(2+x)=4-x^2$, donc $k(x)=-x^2+x+4$ : $a=-1$, $b=1$, $c=4$.
4. Justifier que $m(x)=(x+1{)}^2-x^2$ n’est pas un trinôme : il se réduit à $m(x)=kx+1$ avec $k=$
   Rédaction attendue. $m(x)=x^2+2x+1-x^2=2x+1$. Les termes en $x^2$ s’annulent : le coefficient de $x^2$ est nul, alors qu’un trinôme exige $a\ne 0$. La fonction $m$ est affine, elle n’est pas du second degré.

Soit $f(x)=4(x-1)(x+5)$. On admet que, pour tout réel $x$, $f(x)=4(x+2{)}^2-36$.

1. La plus petite racine de $f$ est
   Forme factorisée : $f(x)=0⟺x-1=0$ ou $x+5=0⟺x=1$ ou $x=-5$. La plus petite est $-5$.
2. $f(0)=$
   $f(0)=4\times (-1)\times 5=-20$ (on peut aussi développer : $f(x)=4x^2+16x-20$).
3. Le minimum de $f$ sur $ℝ$ vaut
   Forme canonique : $4(x+2{)}^2⩾0$, donc $f(x)⩾-36$, avec égalité pour $x=-2$. Le minimum vaut $-36$.

Soit $f(x)=2x^2+4x-30$.

1. Démontrer que, pour tout réel $x$, $f(x)=2(x+1{)}^2-32$ $=2(x-3)(x+5)$. En déduire le minimum de $f$ :
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$ : $2(x+1{)}^2-32$ $=2(x^2+2x+1)-32$ $=2x^2+4x+2-32=2x^2+4x-30$ $=f(x)$. De même, $2(x-3)(x+5)$ $=2(x^2+5x-3x-15)$ $=2(x^2+2x-15)=2x^2+4x-30$ $=f(x)$. Comme $(x+1{)}^2⩾0$ et $2>0$, $f(x)⩾-32$, avec égalité pour $x=-1$ : le minimum de $f$ est $-32$.
2. Avec la forme adaptée, résoudre $f(x)=-30$ : la solution non nulle est
   Forme développée : $2x^2+4x-30=-30⟺2x^2+4x$ $=0⟺2x(x+2)=0⟺x=0$ ou $x=-2$.
3. La solution positive de $f(x)=0$ est
   Forme factorisée : $2(x-3)(x+5)=0⟺x=3$ ou $x=-5$. La solution positive est $3$.

Soit $f(x)=-(x-3{)}^2+16$.

1. Démontrer, avec une identité remarquable, que $f(x)=-(x+1)(x-7)$. La plus grande racine de $f$ est
   Rédaction attendue. $f(x)=16-(x-3{)}^2$ $=4^2-(x-3{)}^2$ est une différence de deux carrés : $f(x)=(4-(x-3))(4+(x-3))$ $=(7-x)(x+1)=-(x-7)(x+1)$. Donc $f(x)=0⟺x=7$ ou $x=-1$ : la plus grande racine est $7$.
2. La plus petite solution de $f(x)=12$ est
   Forme canonique : $-(x-3{)}^2+16=12⟺(x-3{)}^2$ $=4⟺x-3=2$ ou $x-3=-2⟺x=5$ ou $x=1$.
3. $f(0)=$
   $f(0)=-(0-3{)}^2+16=-9+16=7$.

Soit $f(x)=-3(x+2{)}^2+7$.

1. $f$ atteint son extremum en $x=$
   $f(x)=-3{(x-(-2))}^2+7$ : forme canonique avec $\alpha =-2$ et $\beta =7$. Sommet $S(-2;7)$ : l’extremum est atteint en $x=-2$.
2. $f$ admet un extremum égal à
   $(x+2{)}^2⩾0$, donc $-3(x+2{)}^2⩽0$ et $f(x)⩽7$, avec égalité pour $x=-2$ : $f$ admet un maximum égal à $7$. Comme $a=-3<0$, $f$ est croissante sur $]-\infty ;-2]$ et décroissante sur $[-2;+\infty [$.
3. Justifier sans calcul que $f(-5)=f(1)$, puis donner cette valeur :
   Rédaction attendue. ${\displaystyle \frac{-5+1}{2}}=-2=\alpha$ : les réels $-5$ et $1$ sont symétriques par rapport à l’axe $x=-2$, donc ils ont la même image. Calcul : $f(1)=-3\times 3^2+7=-27+7=-20$, donc $f(-5)=f(1)=-20$.

Mettre sous forme canonique a(x − α)² + β et donner β.

1. $f(x)=x^2-8x+13$ : $\beta =$
   $x^2-8x=(x-4{)}^2-16$, donc $f(x)=(x-4{)}^2-16+13$ $=(x-4{)}^2-3$. Contrôle : $\alpha =4$ et $f(4)=16-32+13=-3$.
2. $g(x)=3x^2+6x-1$ : $\beta =$
   $g(x)=3(x^2+2x)-1$ $=3[(x+1{)}^2-1]-1$ $=3(x+1{)}^2-4$. Contrôle : $g(-1)=3-6-1=-4$.
3. $k(x)=0,5(x-8{)}^2-6$ : le minimum est atteint en $x=$
   $a=0,5>0$ : minimum $-6$ atteint en $\alpha =8$.

Soit $f(x)=3x^2-18x+20$.

1. Démontrer, en complétant le carré, que $f(x)=3(x-3{)}^2+k$ avec $k=$
   Rédaction attendue. On factorise par $3$ les termes en $x^2$ et en $x$ : $f(x)=3(x^2-6x)+20$. Or $x^2-6x=(x-3{)}^2-9$. Donc $f(x)=3[(x-3{)}^2-9]+20$ $=3(x-3{)}^2-27+20$ $=3(x-3{)}^2-7$. Contrôle : $\alpha =-{\displaystyle \frac{-18}{6}}=3$ et $f(3)=27-54+20=-7$.
2. $f$ est décroissante sur l’intervalle $]-\infty ;m]$ avec $m=$
   $a=3>0$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty ;3]$, puis croissante sur $[3;+\infty [$.
3. Sans calcul, $f(1)=f(r)$ pour un autre réel $r=$
   $1$ et $r$ ont la même image si et seulement s’ils sont symétriques par rapport à $\alpha =3$ : ${\displaystyle \frac{1+r}{2}}=3$, donc $r=5$. Vérification : $f(1)=f(5)=5$.

Coefficients fractionnaires et symétrie. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $h(x)=-2x^2+10x-9$ : le maximum de $h$ vaut
   $h(x)=-2(x^2-5x)-9$ $=-2[{(x-{\displaystyle \frac{5}{2}})}^2-{\displaystyle \frac{25}{4}}]-9$ $=-2{(x-{\displaystyle \frac{5}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{7}{2}}$. Comme $a=-2<0$, $h$ admet un maximum égal à ${\displaystyle \frac{7}{2}}$ en $x={\displaystyle \frac{5}{2}}$ : croissante sur $]-\infty ;{\displaystyle \frac{5}{2}}]$, décroissante ensuite.
2. $g(x)=-2x^2+2x+1$ : le maximum est atteint en $x=$
   $\alpha =-{\displaystyle \frac{2}{2\times (-2)}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $g\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+1+1={\displaystyle \frac{3}{2}}$ : $g(x)=-2{(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}$.
3. Un trinôme $f$ vérifie $f(-1)=f(7)$. Justifier que l’abscisse du sommet de sa parabole est
   Rédaction attendue. Les réels $-1$ et $7$ sont distincts et ont la même image par $f$. Avec $f(x)=a{x}^2+bx+c$ : $f(-1)=f(7)$ donne $a-b+c=49a+7b+c$, donc $48a+8b=0$ et $b=-6a$. L’abscisse du sommet est $\alpha =-{\displaystyle \frac{b}{2a}}={\displaystyle \frac{6a}{2a}}=3$.

Calculer le discriminant.

1. $2x^2-5x+1$ : $\Delta =$
   $\Delta =(-5{)}^2-4\times 2\times 1=25-8=17$.
2. $-x^2+14x-49$ : $\Delta =$
   $\Delta ={14}^2-4\times (-1)\times (-49)=196-196$ $=0$ : une seule racine.
3. $3x^2+x+5$ : $\Delta =$
   $\Delta =1^2-4\times 3\times 5=1-60=-59$ : pas de racine.
4. $x^2-3$ : $\Delta =$
   $b=0$ : $\Delta =0-4\times 1\times (-3)=12$. (On pouvait aussi résoudre directement $x^2=3$.)

Résoudre dans $ℝ$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $2x^2-3x-9=0$ : la plus petite solution est
   $\Delta =(-3{)}^2-4\times 2\times (-9)=9+72=81$, $\sqrt{81}=9$ : $x={\displaystyle \frac{3-9}{4}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ ou $x={\displaystyle \frac{3+9}{4}}=3$. $𝒮=\{-{\displaystyle \frac{3}{2}};3\}$.
2. $x^2-10x+25=0$ : l’unique solution est
   $\Delta =100-100=0$ : $x_0=-{\displaystyle \frac{-10}{2}}=5$ (on reconnaît $(x-5{)}^2=0$).
3. $3x^2+2x+4=0$ : nombre de solutions réelles :
   $\Delta =4-48=-44<0$ : aucune solution, $𝒮=\varnothing$.

Équations à transformer : tout passer dans un membre, puis résoudre. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $x(2x-1)=4x+12$ : la plus grande solution est
   $2x^2-x=4x+12$ $⟺2x^2-5x-12=0$. $\Delta =25+96=121$ : $x={\displaystyle \frac{5-11}{4}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ ou $x={\displaystyle \frac{5+11}{4}}=4$.
2. $(x+3{)}^2=2x+14$ : la plus petite solution est
   $x^2+6x+9=2x+14$ $⟺x^2+4x-5=0$. $\Delta =16+20=36$ : $x={\displaystyle \frac{-4-6}{2}}=-5$ ou $x={\displaystyle \frac{-4+6}{2}}=1$. Contrôle : $(1+3{)}^2=16=2+14$.
3. $x+{\displaystyle \frac{8}{x}}=6$ (pour $x\ne 0$) : la plus petite solution est
   Pour $x\ne 0$, on multiplie par $x$ : $x^2+8=6x⟺x^2-6x+8=0$. $\Delta =36-32=4$ : $x=2$ ou $x=4$, tous deux non nuls. $𝒮=\{2;4\}$.
4. Pour résoudre $7x^2=3x$, un élève divise par $x$ et trouve une seule solution. Expliquer son erreur et résoudre : la solution non nulle est
   Rédaction attendue. Diviser par $x$ n’est permis que si $x\ne 0$ : l’élève perd le cas $x=0$, qui est pourtant solution ($7\times 0=3\times 0$). Correctement : $7x^2=3x⟺7x^2-3x=0$ $⟺x(7x-3)=0⟺x=0$ ou $x={\displaystyle \frac{3}{7}}$. $𝒮=\left\{0;{\displaystyle \frac{3}{7}}\right\}$.

Changement d’inconnue. On considère l’équation $(E)$ : $2x^4-7x^2-4=0$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. On pose $X=x^2$. L’équation $2X^2-7X-4=0$ a pour solution négative $X=$
   $x^4=(x^2{)}^2=X^2$, donc $(E)$ s’écrit $2X^2-7X-4=0$. $\Delta =49+32=81$ : $X={\displaystyle \frac{7-9}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ ou $X={\displaystyle \frac{7+9}{4}}=4$.
2. Démontrer que $(E)$ a exactement deux solutions. La solution positive est
   Rédaction attendue. $x$ est solution de $(E)$ si et seulement si $X=x^2$ est solution de $2X^2-7X-4=0$, c’est-à-dire $x^2=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ ou $x^2=4$. Un carré est positif : $x^2=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ est impossible. Reste $x^2=4⟺x=2$ ou $x=-2$. Contrôle : $2\times 16-7\times 4-4=0$. $𝒮=\{-2;2\}$.
3. Avec $X=\sqrt{x}$, résoudre $x-5\sqrt{x}+6=0$ sur $[0;+\infty [$ : la plus grande solution est
   $X=\sqrt{x}⩾0$ et $x=X^2$ : $X^2-5X+6=0$, $\Delta =25-24=1$, d’où $X=2$ ou $X=3$, tous deux positifs. Donc $x=4$ ou $x=9$ (contrôle : $9-15+6=0$). $𝒮=\{4;9\}$.

Équation à paramètre. Pour tout réel $m$, on considère $(E_m)$ : $x^2-2mx+m+6=0$.

1. Démontrer que le discriminant de $(E_m)$ est $\Delta =4(m-3)(m+2)$. Pour $m=0$, il vaut
   Rédaction attendue. Ici $a=1$, $b=-2m$, $c=m+6$. $\Delta =(-2m{)}^2-4(m+6)$ $=4m^2-4m-24=4(m^2-m-6)$. Or $(m-3)(m+2)=m^2+2m-3m-6$ $=m^2-m-6$. Donc $\Delta =4(m-3)(m+2)$. Pour $m=0$ : $\Delta =4\times (-3)\times 2=-24<0$, et en effet $x^2+6=0$ n’a pas de solution.
2. $(E_m)$ a une unique solution pour deux valeurs de $m$. La plus grande est $m=$
   Unique solution $⟺\Delta =0⟺m=3$ ou $m=-2$. La solution est alors $x_0=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=m$ : $3$ pour $m=3$ (car $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$), $-2$ pour $m=-2$.
3. $1$ est solution de $(E_m)$ pour $m=7$. L’autre solution est alors
   $1-2m+m+6=0⟺m=7$. L’équation devient $x^2-14x+13=0$ ; le produit des solutions vaut $13$, donc l’autre solution est $13$ (contrôle : $1+13=14=2m$).

Factoriser, lorsque c’est possible : compléter.

1. $2x^2+5x-3=(x+3)(2x-n)$ avec $n=$
   $\Delta =25+24=49$, $\sqrt{49}=7$ : racines ${\displaystyle \frac{-5-7}{4}}=-3$ et ${\displaystyle \frac{-5+7}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Donc $2x^2+5x-3=2(x+3)(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})$ $=(x+3)(2x-1)$.
2. $-x^2+6x-9=-(x-n{)}^2$ avec $n=$
   $\Delta =36-4\times (-1)\times (-9)=36-36=0$ : racine double $x_0=-{\displaystyle \frac{6}{-2}}=3$. Donc $-x^2+6x-9=-(x-3{)}^2$ (on garde $a=-1$).
3. $x^2+2x-4$ a pour racine positive $-1+\sqrt{k}$ avec $k=$
   $\Delta =4+16=20$ et $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ : racines ${\displaystyle \frac{-2\pm 2\sqrt{5}}{2}}=-1\pm \sqrt{5}$. Donc $x^2+2x-4=(x+1-\sqrt{5})(x+1+\sqrt{5})$.
4. $4x^2-x+1$ : son discriminant vaut , donc il ne se factorise pas.
   $\Delta =(-1{)}^2-4\times 4\times 1=1-16=-15<0$ : pas de racine, donc pas de factorisation en facteurs du premier degré.

Retrouver un trinôme à partir de sa parabole.

1. La parabole d’équation $y=a(x-3{)}^2-2$ passe par le point $(1;6)$ : $a=$
   $a(1-3{)}^2-2=6⟺4a=8⟺a$ $=2$.
2. La parabole de $f$ coupe l’axe des abscisses en $-2$ et $4$ et passe par $(2;-16)$ : $a=$
   $f(x)=a(x+2)(x-4)$ et $f(2)=a\times 4\times (-2)=-8a=-16$, donc $a=2$.
3. Pour cette même $f$, sous forme développée, le coefficient $b$ vaut
   $f(x)=2(x+2)(x-4)$ $=2(x^2-2x-8)=2x^2-4x-16$ : $b=-4$.

Factoriser, puis simplifier.

1. Démontrer que $6x^2-5x-6=(2x-3)(3x+n)$ avec $n=$
   Rédaction attendue. $\Delta =(-5{)}^2-4\times 6\times (-6)=25+144$ $=169>0$, $\sqrt{169}=13$. Les racines sont ${\displaystyle \frac{5-13}{12}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ et ${\displaystyle \frac{5+13}{12}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$. Donc $6x^2-5x-6=6(x-{\displaystyle \frac{3}{2}})(x+{\displaystyle \frac{2}{3}})$ $=2(x-{\displaystyle \frac{3}{2}})\times 3(x+{\displaystyle \frac{2}{3}})$ $=(2x-3)(3x+2)$. Contrôle : $(2x-3)(3x+2)$ $=6x^2+4x-9x-6=6x^2-5x-6$.
2. $-x^2+2x+8=-(x-4)(x+n)$ avec $n=$
   $\Delta =4+32=36$ : racines ${\displaystyle \frac{-2-6}{-2}}=4$ et ${\displaystyle \frac{-2+6}{-2}}=-2$. Avec $a=-1$ : $-x^2+2x+8=-(x-4)(x+2)$.
3. Pour $x\ne -2$, ${\displaystyle \frac{2x^2+7x+6}{x+2}}=2x+n$ avec $n=$
   $\Delta =49-48=1$ : racines ${\displaystyle \frac{-7-1}{4}}=-2$ et ${\displaystyle \frac{-7+1}{4}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$, donc $2x^2+7x+6=2(x+2)(x+{\displaystyle \frac{3}{2}})$ $=(x+2)(2x+3)$. Pour $x\ne -2$, on simplifie par $x+2$ : le quotient vaut $2x+3$.

Retrouver un trinôme à partir de points de sa parabole.

1. La parabole de $f$ passe par $A(0;3)$, $B(1;0)$ et $C(4;3)$. On écrit $f(x)=a(x-\alpha {)}^2+\beta$. Démontrer que $\alpha =$
   Rédaction attendue. Écrivons $f(x)=a(x-\alpha {)}^2+\beta$. Comme $f(0)=f(4)=3$, on a $a{\alpha }^2=a(4-\alpha {)}^2$, donc ${\alpha }^2=(4-\alpha {)}^2$ car $a\ne 0$, soit ${\alpha }^2=16-8\alpha +{\alpha }^2$, d’où $\alpha =2$ : le sommet de la parabole a pour abscisse $2$, et c’est en $x=2$ que $f$ atteint son extremum.
2. Pour cette $f$, la forme canonique est $f(x)=a(x-2{)}^2+\beta$ avec $\beta =$
   $f(0)=3$ donne $4a+\beta =3$ et $f(1)=0$ donne $a+\beta =0$. Par soustraction, $3a=3$, donc $a=1$ et $\beta =-1$ : $f(x)=(x-2{)}^2-1=x^2-4x+3$. Comme $a=1>0$, $-1$ est un minimum (et non un maximum).
3. L’autre racine de $f$ (différente de $1$) est
   $f(x)=0⟺(x-2{)}^2=1⟺x=3$ ou $x=1$ : $f(x)=(x-1)(x-3)$. On peut aussi utiliser la symétrie : ${\displaystyle \frac{1+3}{2}}=2$.
4. Un autre trinôme $g$ atteint son extremum en $x=1$, s’annule en $3$ et vérifie $g(0)=-6$. Son coefficient $a$ vaut
   L’extremum est atteint en $1$ : $g(x)=a(x-1{)}^2+\beta$. $g(3)=0$ donne $4a+\beta =0$ et $g(0)=-6$ donne $a+\beta =-6$. Par soustraction, $3a=6$, donc $a=2$ et $\beta =-8$ : $g(x)=2(x-1{)}^2-8=2x^2-4x-6$.

Une racine évidente est donnée ; trouver l’autre sans calculer Δ. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $3x^2-8x+5$ : $1$ est racine car $3-8+5=0$. L’autre racine est
   Produit des racines : ${\displaystyle \frac{c}{a}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$, donc l’autre racine est ${\displaystyle \frac{5}{3}}$. Contrôle : $1+{\displaystyle \frac{5}{3}}={\displaystyle \frac{8}{3}}=-{\displaystyle \frac{-8}{3}}$.
2. $2x^2+7x+5$ : $-1$ est racine car $2-7+5=0$. L’autre racine est
   Produit : ${\displaystyle \frac{5}{2}}$, donc $-1\times x_2={\displaystyle \frac{5}{2}}$ et $x_2=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$. Contrôle : $-1-{\displaystyle \frac{5}{2}}=-{\displaystyle \frac{7}{2}}=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$.
3. $x^2-8x+12$ : $2$ est racine car $4-16+12=0$. L’autre racine est
   Produit : $12$, donc $x_2={\displaystyle \frac{12}{2}}=6$. Contrôle : $2+6=8=-{\displaystyle \frac{-8}{1}}$.

Somme et produit sans calculer les racines (on vérifie d’abord que Δ ≥ 0). Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $x^2-11x+18$ ($\Delta =49$) : somme des racines
   $x_1+x_2=-{\displaystyle \frac{b}{a}}=-{\displaystyle \frac{-11}{1}}=11$ (les racines sont $2$ et $9$).
2. $x^2-11x+18$ : produit des racines
   $x_1{x}_2={\displaystyle \frac{c}{a}}=18$.
3. $4x^2+4x-3$ ($\Delta =64$) : produit des racines
   $x_1{x}_2={\displaystyle \frac{c}{a}}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$ (les racines sont ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$).

Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit.

1. Deux nombres ont pour somme $15$ et pour produit $54$. Le plus grand vaut
   Ce sont les solutions de $x^2-15x+54=0$ : $\Delta =225-216=9$, d’où ${\displaystyle \frac{15-3}{2}}=6$ et ${\displaystyle \frac{15+3}{2}}=9$.
2. Deux nombres ont pour somme $3$ et pour produit $-40$. Le plus petit vaut
   Ce sont les solutions de $x^2-3x-40=0$ : $\Delta =9+160=169={13}^2$, d’où ${\displaystyle \frac{3-13}{2}}=-5$ et ${\displaystyle \frac{3+13}{2}}=8$. Contrôle : $8-5=3$ et $8\times (-5)=-40$.
3. Démontrer qu’il n’existe pas deux réels de somme $4$ et de produit $5$. Discriminant de l’équation associée :
   Rédaction attendue. S’il existait deux réels $u$ et $v$ avec $u+v=4$ et $uv=5$, ils seraient solutions de $x^2-4x+5=0$, car $(x-u)(x-v)=x^2-4x+5$. Or le discriminant de cette équation est $\Delta =16-20=-4<0$ : elle n’a aucune solution réelle. Il n’existe donc pas de tels réels.

Expressions symétriques, signe des racines, polynôme de degré 3 (approfondissement). Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. Montrer que $x^2-9x+4=0$ a deux solutions $x_1$ et $x_2$, puis calculer sans les déterminer $x_1^2+x_2^2=$
   Rédaction attendue. $\Delta =81-16=65>0$ : deux solutions distinctes. D’après le cours, $x_1+x_2=-{\displaystyle \frac{-9}{1}}=9$ et $x_1{x}_2={\displaystyle \frac{4}{1}}=4$. Or $(x_1+x_2{)}^2$ $=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2$, donc $x_1^2+x_2^2=9^2-2\times 4=81-8$ $=73$.
2. Pour cette même équation : ${\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}=$
   Le produit vaut $4\ne 0$, donc aucune solution n’est nulle. ${\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}={\displaystyle \frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}}$ $={\displaystyle \frac{9}{4}}$.
3. Justifier que $5x^2+2x-4=0$ a deux solutions de signes contraires. Leur produit vaut
   Rédaction attendue. Ici $a=5$ et $c=-4$ sont de signes contraires, donc $ac=-20<0$ et $\Delta =b^2-4ac=4+80=84>0$ : l’équation a deux solutions distinctes. Leur produit vaut ${\displaystyle \frac{c}{a}}=-{\displaystyle \frac{4}{5}}<0$ : elles sont de signes contraires.
4. Approfondissement. Soit $P(x)=x^3-2x^2-5x+6$. Démontrer que $P(x)=(x-1)(x^2-x-6)$, puis résoudre $P(x)=0$. La plus grande solution est
   Rédaction attendue. $P(1)=1-2-5+6=0$ : $1$ est racine de $P$. On développe : $(x-1)(x^2-x-6)$ $=x^3-x^2-6x-x^2+x+6$ $=x^3-2x^2-5x+6=P(x)$. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : $x-1=0$ ou $x^2-x-6=0$. Pour $x^2-x-6$, $\Delta =(-1{)}^2-4\times 1\times (-6)=25$, $\sqrt{25}=5$ : $x={\displaystyle \frac{1-5}{2}}=-2$ ou $x={\displaystyle \frac{1+5}{2}}=3$. Donc $𝒮=\{-2;1;3\}$ et $P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)$.