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Second degré : signe du trinôme et inéquations

Signe de ax² + bx + c selon le discriminant, tableau de signes, résolution d'inéquations du second degré, inéquations produit et quotient, position relative de deux courbes, problèmes d'optimisation simples

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Second degré : signe du trinôme et inéquations » en première permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en spécialité mathématiques. Ils suivent le programme officiel de première et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel, Signe du trinôme selon le discriminant, Inéquations du second degré, Inéquations produit et quotient. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser spécialité mathématiques en première.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Signe de trois trinômes

Facile

Étudier le signe de chacun des trinômes suivants sur $ℝ$ et dresser son tableau de signes.

a) $f (x) = x^{2} - 7 x + 10$
b) $g (x) = - 4 x^{2} + 4 x - 1$
c) $h (x) = 2 x^{2} - 3 x + 5$

a) $a = 1$ , $b = - 7$ , $c = 10$ : $Δ = (- 7)^{2} - 4 \times 1 \times 10 = 49 - 40 = 9 > 0$ et $\sqrt{Δ} = 3$ . Deux racines : $x_{1} = \frac{7 - 3}{2} = 2$ et $x_{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5$ . Comme $a = 1 > 0$ , $f (x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines.

$x$	$- \infty$		$2$		$5$		$+ \infty$
$f (x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

$f (x) > 0$ sur $] - \infty; 2 [\cup] 5; + \infty [$ , $f (x) < 0$ sur $] 2; 5 [$ .

b) $Δ = 4^{2} - 4 \times (- 4) \times (- 1) = 16 - 16 = 0$ . Racine double $x_{0} = - \frac{4}{2 \times (- 4)} = \frac{1}{2}$ , et $g (x) = - 4 {(x - \frac{1}{2})}^{2}$ . Comme $a = - 4 < 0$ : $g (x) ⩽ 0$ pour tout réel $x$ , avec $g (x) = 0$ seulement pour $x = \frac{1}{2}$ . Tableau : $-$ ; $0$ en $\frac{1}{2}$ ; $-$ .

c) $Δ = (- 3)^{2} - 4 \times 2 \times 5 = 9 - 40 = - 31 < 0$ : aucune racine. Le trinôme garde le signe de $a = 2 > 0$ : $h (x) > 0$ pour tout réel $x$ . Tableau : une seule case $+$ de $- \infty$ à $+ \infty$ .

Exercice 2 — Du facteur au signe

Facile

On considère $p (x) = - 3 (x - 1) (x + 6)$ et $q (x) = (7 - 2 x) (x + 3)$ .

a) Déterminer les racines de $p$ et le signe de $p (x)$ selon les valeurs de $x$ .
b) Montrer que $q$ est un trinôme du second degré, préciser son coefficient $a$ , puis dresser son tableau de signes.
c) Résoudre $q (x) < 0$ .

a) $p (x)$ est un trinôme sous forme factorisée : ses racines sont $1$ et $- 6$ , et son coefficient dominant est $a = - 3 < 0$ . Il est donc du signe de $- a$ , c'est-à-dire positif, entre ses racines. $p (x) > 0$ sur $] - 6; 1 [$ , $p (x) < 0$ sur $] - \infty; - 6 [\cup] 1; + \infty [$ , $p (- 6) = p (1) = 0$ . Contrôle : $p (0) = - 3 \times (- 1) \times 6 = 18 > 0$ .

b) En développant : $q (x) = 7 x + 21 - 2 x^{2} - 6 x = - 2 x^{2} + x + 21$ . C'est bien un trinôme, avec $a = - 2$ . Ses racines annulent un des facteurs : $7 - 2 x = 0 ⟺ x = \frac{7}{2}$ et $x + 3 = 0 ⟺ x = - 3$ . Comme $a < 0$ , $q (x)$ est positif entre les racines.

$x$	$- \infty$		$- 3$		$\frac{7}{2}$		$+ \infty$
$q (x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

c) D'après le tableau, $S =] - \infty; - 3 [\cup] \frac{7}{2}; + \infty [$ (racines exclues car l'inégalité est stricte).

Exercice 3 — Inéquations immédiates

Facile

Résoudre dans $ℝ$ les inéquations suivantes.

a) $x^{2} - 16 > 0$
b) $x^{2} + 6 x ⩽ 0$
c) $4 x^{2} - 12 x + 9 > 0$
d) $x^{2} + x + 3 < 0$

a) $x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$ : racines $- 4$ et $4$ , $a = 1 > 0$ , donc positif à l'extérieur des racines. $S =] - \infty; - 4 [\cup] 4; + \infty [$ .

b) $x^{2} + 6 x = x (x + 6)$ : racines $- 6$ et $0$ , $a = 1 > 0$ , donc négatif entre les racines. Inégalité large : $S = [- 6; 0]$ .

c) $Δ = 144 - 144 = 0$ et $4 x^{2} - 12 x + 9 = (2 x - 3)^{2}$ . Ce carré est strictement positif sauf en $x = \frac{3}{2}$ où il est nul. $S = ℝ ⧵ {\frac{3}{2}}$ .

d) $Δ = 1 - 12 = - 11 < 0$ : le trinôme est toujours du signe de $a = 1$ , donc strictement positif. Il n'est jamais négatif : $S = \emptyset$ .

Exercice 4 — Inéquations à remettre en forme

Moyen

Résoudre dans $ℝ$ les inéquations suivantes. Donner les valeurs exactes des bornes.

a) $2 x^{2} + 5 x ⩾ 7$
b) $(x - 1)^{2} < 2 x + 7$
c) $x (5 - x) ⩾ 2$

a) $2 x^{2} + 5 x ⩾ 7 ⟺ 2 x^{2} + 5 x - 7 ⩾ 0$ . $Δ = 25 + 56 = 81$ , $\sqrt{Δ} = 9$ , racines $\frac{- 5 - 9}{4} = - \frac{7}{2}$ et $\frac{- 5 + 9}{4} = 1$ . Comme $a = 2 > 0$ , le trinôme est positif à l'extérieur des racines : $S =] - \infty; - \frac{7}{2}] \cup [1; + \infty [$ .

b) $(x - 1)^{2} < 2 x + 7 ⟺ x^{2} - 2 x + 1 - 2 x - 7 < 0 ⟺ x^{2} - 4 x - 6 < 0$ . $Δ = 16 + 24 = 40$ , $\sqrt{40} = 2 \sqrt{10}$ , racines $\frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{2} = 2 \pm \sqrt{10}$ . Comme $a = 1 > 0$ , le trinôme est négatif strictement entre les racines : $S =] 2 - \sqrt{10}; 2 + \sqrt{10} [$ , soit environ $] - 1, 16; 5, 16 [$ .

c) $x (5 - x) ⩾ 2 ⟺ - x^{2} + 5 x - 2 ⩾ 0 ⟺ x^{2} - 5 x + 2 ⩽ 0$ (multiplier par $- 1$ change le sens de l'inégalité). $Δ = 25 - 8 = 17$ , racines $\frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$ . Comme $a = 1 > 0$ , le trinôme est négatif entre les racines : $S = [\frac{5 - \sqrt{17}}{2}; \frac{5 + \sqrt{17}}{2}]$ , soit environ $[0, 44; 4, 56]$ .

Exercice 5 — Inéquations produit

Moyen

Résoudre dans $ℝ$ à l'aide d'un tableau de signes.

a) $(2 x - 5) (x^{2} - x - 6) ⩽ 0$
b) $(- x^{2} + 2 x - 5) (x + 7) > 0$

a) $2 x - 5$ s'annule en $\frac{5}{2}$ et est positif pour $x > \frac{5}{2}$ . Pour $x^{2} - x - 6$ : $Δ = 1 + 24 = 25$ , racines $\frac{1 - 5}{2} = - 2$ et $\frac{1 + 5}{2} = 3$ ; $a = 1 > 0$ , donc négatif sur $] - 2; 3 [$ .

$x$	$- \infty$		$- 2$		$\frac{5}{2}$		$3$		$+ \infty$
$2 x - 5$		$-$		$-$	$0$	$+$		$+$
$x^{2} - x - 6$		$+$	$0$	$-$		$-$	$0$	$+$
produit		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Inégalité large : $S =] - \infty; - 2] \cup [\frac{5}{2}; 3]$ .

b) Pour $- x^{2} + 2 x - 5$ : $Δ = 4 - 20 = - 16 < 0$ , donc ce trinôme est toujours du signe de $a = - 1$ : strictement négatif pour tout $x$ . Le produit est donc strictement positif si et seulement si $x + 7 < 0$ , c'est-à-dire $x < - 7$ . $S =] - \infty; - 7 [$ .

Exercice 6 — Inéquations quotient et erreur de méthode

Moyen

Résoudre dans $ℝ$ , en précisant les valeurs interdites.

a) $\frac{x^{2} - 9 x + 14}{x - 3} ⩾ 0$
b) $\frac{2 x + 1}{x + 2} ⩽ x$
c) Pour la question b), un élève écrit : « je multiplie par $x + 2$ , donc $2 x + 1 ⩽ x^{2} + 2 x$ , soit $x^{2} ⩾ 1$ ». Expliquer son erreur et montrer, avec une valeur bien choisie, que sa conclusion est fausse.

a) Valeur interdite : $3$ . Numérateur : $Δ = 81 - 56 = 25$ , racines $\frac{9 - 5}{2} = 2$ et $\frac{9 + 5}{2} = 7$ , $a = 1 > 0$ : négatif sur $] 2; 7 [$ . Dénominateur : négatif pour $x < 3$ . Signe du quotient : $-$ sur $] - \infty; 2 [$ ; $+$ sur $] 2; 3 [$ ; $-$ sur $] 3; 7 [$ ; $+$ sur $] 7; + \infty [$ , nul en $2$ et $7$ . $S = [2; 3 [\cup [7; + \infty [$ (crochet ouvert en $3$ , valeur interdite).

b) Valeur interdite : $- 2$ . On compare à $0$ : $\frac{2 x + 1}{x + 2} - x = \frac{2 x + 1 - x^{2} - 2 x}{x + 2} = \frac{1 - x^{2}}{x + 2}$ . Le numérateur $- x^{2} + 1$ a pour racines $- 1$ et $1$ et $a = - 1 < 0$ : positif sur $] - 1; 1 [$ , négatif ailleurs. Le dénominateur est positif pour $x > - 2$ .

$x$	$- \infty$		$- 2$		$- 1$		$1$		$+ \infty$
$1 - x^{2}$		$-$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$x + 2$		$-$	$0$	$+$		$+$		$+$
quotient		$+$	\|\|	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

$S =] - 2; - 1] \cup [1; + \infty [$ .

c) Multiplier les deux membres par $x + 2$ ne conserve le sens de l'inégalité que si $x + 2 > 0$ ; pour $x < - 2$ , il faut l'inverser. L'élève obtient ainsi $] - \infty; - 2 [\cup] - 2; - 1] \cup [1; + \infty [$ , qui contient à tort des réels inférieurs à $- 2$ . Contre-exemple : pour $x = - 3$ , $\frac{2 \times (- 3) + 1}{- 3 + 2} = \frac{- 5}{- 1} = 5$ et $5 ⩽ - 3$ est faux. $- 3$ n'est pas solution, alors que $(- 3)^{2} ⩾ 1$ : sa conclusion est fausse.

Exercice 7 — Une parabole et une droite

Moyen

Soit $f (x) = x^{2} - 2 x + 3$ et $g (x) = 4 x - 5$ , de courbes représentatives $𝒞_{f}$ et $𝒟$ .

a) Montrer que, pour tout réel $x$ , $f (x) - g (x) = (x - 2) (x - 4)$ .
b) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $𝒞_{f}$ et $𝒟$ .
c) Étudier la position relative de $𝒞_{f}$ et $𝒟$ .

a) $f (x) - g (x) = x^{2} - 2 x + 3 - 4 x + 5 = x^{2} - 6 x + 8$ . Or $(x - 2) (x - 4) = x^{2} - 4 x - 2 x + 8 = x^{2} - 6 x + 8$ . Donc $f (x) - g (x) = (x - 2) (x - 4)$ .

b) Les abscisses cherchées vérifient $f (x) = g (x) ⟺ (x - 2) (x - 4) = 0 ⟺ x = 2$ ou $x = 4$ . Ordonnées : $g (2) = 8 - 5 = 3$ et $g (4) = 16 - 5 = 11$ (on vérifie $f (2) = 4 - 4 + 3 = 3$ et $f (4) = 16 - 8 + 3 = 11$ ). Points d'intersection : $(2; 3)$ et $(4; 11)$ .

c) $f (x) - g (x)$ est un trinôme de racines $2$ et $4$ avec $a = 1 > 0$ : il est positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles. $𝒞_{f}$ est au-dessus de $𝒟$ sur $] - \infty; 2 [$ et sur $] 4; + \infty [$ , en dessous sur $] 2; 4 [$ .

Exercice 8 — Trinômes à paramètre

Difficile

Dans cet exercice, $m$ désigne un nombre réel.

a) Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles $x^{2} + m x + 4 > 0$ pour tout réel $x$ .
b) Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles $- 2 x^{2} + 3 x + m ⩽ 0$ pour tout réel $x$ .
c) Montrer que, pour tout réel $m$ , l'équation $x^{2} - (m + 1) x + m - 2 = 0$ admet deux solutions distinctes.

a) Le coefficient de $x^{2}$ vaut $1 > 0$ . Si $Δ > 0$ , le trinôme est négatif entre ses racines ; si $Δ = 0$ , il s'annule. Il est strictement positif sur $ℝ$ si et seulement si $Δ < 0$ . Ici $Δ = m^{2} - 16$ . Le trinôme en $m$ , $m^{2} - 16 = (m - 4) (m + 4)$ , est négatif strictement entre ses racines. Condition : $- 4 < m < 4$ .

b) Le coefficient de $x^{2}$ vaut $- 2 < 0$ : le trinôme est du signe de $- 2$ partout, sauf entre d'éventuelles racines. Il est négatif ou nul sur $ℝ$ si et seulement si $Δ ⩽ 0$ (le cas $Δ = 0$ convient car l'inégalité est large). $Δ = 9 - 4 \times (- 2) \times m = 9 + 8 m ⩽ 0 ⟺ m ⩽ - \frac{9}{8}$ . Condition : $m ⩽ - \frac{9}{8}$ .

c) $Δ = (m + 1)^{2} - 4 (m - 2) = m^{2} + 2 m + 1 - 4 m + 8 = m^{2} - 2 m + 9$ . On étudie le signe de ce trinôme en $m$ : son discriminant vaut $(- 2)^{2} - 4 \times 9 = - 32 < 0$ et son coefficient dominant $1$ est positif, donc $m^{2} - 2 m + 9 > 0$ pour tout $m$ (autre écriture : $(m - 1)^{2} + 8 ⩾ 8$ ). Le discriminant de l'équation est toujours strictement positif : il y a toujours deux solutions distinctes.

Exercice 9 — Changement de variable, racine carrée, quotient

Difficile

Résoudre dans $ℝ$ ou déterminer l'ensemble demandé.

a) Résoudre $x^{4} - 5 x^{2} + 4 ⩽ 0$ .
b) Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $x \mapsto \sqrt{- 2 x^{2} + 7 x - 3}$ .
c) Résoudre $\frac{x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - x + 1} < 0$ .

a) On pose $X = x^{2}$ : l'inéquation devient $X^{2} - 5 X + 4 ⩽ 0$ . Racines $1$ et $4$ (car $1 \times 4 = 4$ et $1 + 4 = 5$ ), coefficient dominant positif : $X^{2} - 5 X + 4 ⩽ 0 ⟺ 1 ⩽ X ⩽ 4$ . On revient à $x$ : $1 ⩽ x^{2} ⩽ 4$ . D'une part $x^{2} ⩾ 1 ⟺ x ⩽ - 1$ ou $x ⩾ 1$ ; d'autre part $x^{2} ⩽ 4 ⟺ - 2 ⩽ x ⩽ 2$ . En intersectant : $S = [- 2; - 1] \cup [1; 2]$ .

b) La racine carrée est définie si et seulement si $- 2 x^{2} + 7 x - 3 ⩾ 0$ . $Δ = 49 - 24 = 25$ , racines $\frac{- 7 - 5}{- 4} = 3$ et $\frac{- 7 + 5}{- 4} = \frac{1}{2}$ . Comme $a = - 2 < 0$ , le trinôme est positif entre ses racines. Ensemble de définition : $[\frac{1}{2}; 3]$ .

c) Dénominateur : $Δ = 1 - 8 = - 7 < 0$ et $a = 2 > 0$ , donc $2 x^{2} - x + 1 > 0$ pour tout $x$ : pas de valeur interdite, et le quotient a le signe du numérateur. $x^{2} - 3 x = x (x - 3)$ est strictement négatif entre ses racines $0$ et $3$ . $S =] 0; 3 [$ .

Exercice 10 — Un triangle rectangle à optimiser

Difficile

Un triangle $A B C$ est rectangle en $A$ , avec $A B = x$ et $A C = 14 - x$ (en cm), où $x \in] 0; 14 [$ .

a) Exprimer l'aire $𝒜 (x)$ du triangle, puis montrer que, pour tout $x$ , $𝒜 (7) - 𝒜 (x) = \frac{(x - 7)^{2}}{2}$ . Conclure.
b) Pour quelles valeurs de $x$ l'aire est-elle au moins égale à $20$ cm² ?
c) Montrer que $B C^{2} = 2 x^{2} - 28 x + 196$ , puis déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $B C ⩽ 10$ cm.
d) Justifier que, pour tout $x \in] 0; 14 [$ , $B C ⩾ 7 \sqrt{2}$ cm.

a) $𝒜 (x) = \frac{A B \times A C}{2} = \frac{x (14 - x)}{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + 7 x$ . Alors $𝒜 (7) = \frac{49}{2}$ et $𝒜 (7) - 𝒜 (x) = \frac{49}{2} + \frac{1}{2} x^{2} - 7 x = \frac{x^{2} - 14 x + 49}{2} = \frac{(x - 7)^{2}}{2}$ . Ce nombre est positif ou nul, donc $𝒜 (x) ⩽ 𝒜 (7)$ . L'aire est maximale pour $x = 7$ (triangle isocèle) et vaut $24, 5$ cm².

b) $𝒜 (x) ⩾ 20 ⟺ - \frac{1}{2} x^{2} + 7 x - 20 ⩾ 0 ⟺ x^{2} - 14 x + 40 ⩽ 0$ (multiplication par $- 2$ ). $Δ = 196 - 160 = 36$ , racines $\frac{14 \pm 6}{2}$ , soit $4$ et $10$ ; $a = 1 > 0$ : négatif entre les racines. $x \in [4; 10]$ , intervalle contenu dans $] 0; 14 [$ .

c) Par le théorème de Pythagore : $B C^{2} = x^{2} + (14 - x)^{2} = x^{2} + 196 - 28 x + x^{2} = 2 x^{2} - 28 x + 196$ . Les longueurs étant positives, $B C ⩽ 10 ⟺ B C^{2} ⩽ 100 ⟺ 2 x^{2} - 28 x + 96 ⩽ 0 ⟺ x^{2} - 14 x + 48 ⩽ 0$ . $Δ = 196 - 192 = 4$ , racines $\frac{14 \pm 2}{2}$ , soit $6$ et $8$ . $B C ⩽ 10 ⟺ x \in [6; 8]$ .

d) $B C^{2} - 98 = 2 x^{2} - 28 x + 98 = 2 (x^{2} - 14 x + 49) = 2 (x - 7)^{2} ⩾ 0$ . Donc $B C^{2} ⩾ 98$ et, $B C$ étant positif, $B C ⩾ \sqrt{98} = 7 \sqrt{2} \approx 9, 90$ cm, avec égalité pour $x = 7$ .

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