Devoir surveillé : simplification, comparaison et calcul de fractions

1. a)${\displaystyle \frac{9}{4}}=9÷4=2,25$ (contrôle : $4\times 2,25=9$). ${\displaystyle \frac{7}{20}}={\displaystyle \frac{35}{100}}=0,35$ (on multiplie les deux termes par $5$). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)$8\times 7=56$ : le dénominateur est multiplié par $7$, donc le numérateur aussi : $3\times 7=21$, d'où ${\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{21}{56}}$. Puis $45÷15=3$ : on divise aussi le dénominateur par $15$, $60÷15=4$, d'où ${\displaystyle \frac{45}{60}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Les deux nombres sont pairs : ${\displaystyle \frac{42}{70}}={\displaystyle \frac{42÷2}{70÷2}}={\displaystyle \frac{21}{35}}$. Puis $21$ et $35$ sont dans la table de $7$ : ${\displaystyle \frac{21}{35}}={\displaystyle \frac{21÷7}{35÷7}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$. $3$ et $5$ n'ont que $1$ comme diviseur commun : ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ est irréductible. En une seule étape, on divise par $14$. (1 pt ; 0,5 pt si l'on s'arrête à ${\displaystyle \frac{21}{35}}$) (1)
4. d)$23=5\times 4+3$ : dans $23$, il y a $4$ fois $5$ et il reste $3$. Donc ${\displaystyle \frac{23}{5}}={\displaystyle \frac{20}{5}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}=4+{\displaystyle \frac{3}{5}}$, et $4<{\displaystyle \frac{23}{5}}<5$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Méthode — pour compléter une égalité de fractions, je cherche par quel nombre on a multiplié (ou divisé) le terme connu, puis je fais la même opération sur l'autre terme.

1. a)Même numérateur : la plus grande fraction est celle qui a le plus petit dénominateur, car un neuvième est plus gros qu'un douzième. Donc ${\displaystyle \frac{7}{9}}>{\displaystyle \frac{7}{12}}$. (1 pt) (1)
2. b)$19<20$, donc ${\displaystyle \frac{19}{20}}<1$ ; $20>19$, donc ${\displaystyle \frac{20}{19}}>1$. Le nombre $1$ sert d'intermédiaire : ${\displaystyle \frac{19}{20}}<{\displaystyle \frac{20}{19}}$. (1 pt) (1)
3. c)Table de $9$ : $9$, $18$ ; et $18=6\times 3$. Au dénominateur $18$ : ${\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{15}{18}}$ et ${\displaystyle \frac{8}{9}}={\displaystyle \frac{16}{18}}$. Comme $15<16$, on a ${\displaystyle \frac{5}{6}}<{\displaystyle \frac{8}{9}}$. (0,5 pt pour la mise au même dénominateur + 0,5 pt pour la conclusion) (1)
4. d)$20$ est un multiple de $10$, de $5$ et de $2$. En vingtièmes : ${\displaystyle \frac{7}{10}}={\displaystyle \frac{14}{20}}$ ; ${\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{12}{20}}$ ; ${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{10}{20}}$. On range les numérateurs : $10<12<13<14$, donc ${\displaystyle \frac{1}{2}}<{\displaystyle \frac{3}{5}}<{\displaystyle \frac{13}{20}}<{\displaystyle \frac{7}{10}}$. (0,5 pt pour les conversions + 0,5 pt pour le rangement) (1)

Astuce — avant de chercher un dénominateur commun, je regarde si les deux fractions ont le même numérateur, ou si l'une est plus petite que $1$ et l'autre plus grande : la comparaison se fait alors sans calcul.

1. a)$12=4\times 3$, donc ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{9}{12}}$. Puis ${\displaystyle \frac{9}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{10}{12}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$ (on divise par $2$). (0,5 pt calcul + 0,5 pt simplification) (1)
2. b)Table de $6$ : $6$, $12$ ; et $12=4\times 3$. ${\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{10}{12}}-{\displaystyle \frac{9}{12}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$. (1 pt) (1)
3. c)$4\times 7=28$, donc $4={\displaystyle \frac{28}{7}}$. Puis ${\displaystyle \frac{28}{7}}-{\displaystyle \frac{5}{7}}={\displaystyle \frac{23}{7}}$. (1 pt) (1)
4. d)On multiplie seulement le numérateur : $9\times {\displaystyle \frac{2}{15}}={\displaystyle \frac{18}{15}}$. Puis $18$ et $15$ sont dans la table de $3$ : ${\displaystyle \frac{18}{15}}={\displaystyle \frac{6}{5}}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — on n'additionne jamais les dénominateurs : ${\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}$ ne vaut pas ${\displaystyle \frac{4}{16}}$, qui est même plus petit que ${\displaystyle \frac{3}{4}}$.

1. a)Chaque intervalle vaut ${\displaystyle \frac{1}{8}}$. $8=4\times 2$, donc ${\displaystyle \frac{5}{4}}={\displaystyle \frac{5\times 2}{4\times 2}}={\displaystyle \frac{10}{8}}$ : le point $A$ est à $10$ intervalles de $O$. (1 pt) (1)
2. b)$1,5={\displaystyle \frac{15}{10}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$ (on divise par $5$), puis $8=2\times 4$, donc ${\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{12}{8}}$ (on multiplie par $4$). Autre méthode : $1,5=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{8}{8}}+{\displaystyle \frac{4}{8}}$. Le point $B$ est à $12$ intervalles de $O$. (1 pt) (1)
3. c)L'abscisse de $C$ est ${\displaystyle \frac{13}{8}}$. Au dénominateur $8$ : ${\displaystyle \frac{10}{8}}<{\displaystyle \frac{12}{8}}<{\displaystyle \frac{13}{8}}$, donc ${\displaystyle \frac{5}{4}}<1,5<{\displaystyle \frac{13}{8}}$ : $A$, puis $B$, puis $C$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)${\displaystyle \frac{13}{8}}-{\displaystyle \frac{10}{8}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$ : il faut avancer de ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ d'unité, c'est-à-dire de $3$ intervalles. (1 pt) (1)

Piège — sur une demi-droite graduée, on compte les intervalles depuis l'origine, pas les traits : entre $0$ et $1$, il y a $7$ petits traits mais $8$ intervalles.

1. a)Escalade : $24÷8=3$, puis $3\times 3=9$ élèves. Canoë : $24÷3=8$ élèves. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)Table de $8$ : $8$, $16$, $24$ ; et $24=3\times 8$. ${\displaystyle \frac{3}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{9}{24}}+{\displaystyle \frac{8}{24}}={\displaystyle \frac{17}{24}}$ de la classe. (1 pt) (1)
3. c)La classe entière, c'est $1={\displaystyle \frac{24}{24}}$. Tir à l'arc : ${\displaystyle \frac{24}{24}}-{\displaystyle \frac{17}{24}}={\displaystyle \frac{7}{24}}$ de la classe, c'est-à-dire $7$ élèves sur $24$. Contrôle : $24-9-8=7$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)La moitié, c'est ${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{12}{24}}$. Comme $17>12$, on a ${\displaystyle \frac{17}{24}}>{\displaystyle \frac{12}{24}}$ : oui, plus de la moitié de la classe fait de l'escalade ou du canoë. (1 pt) (1)

Méthode — quand plusieurs fractions décrivent les parts d'un même tout, la part restante vaut $1$ moins leur somme, en écrivant $1$ avec le même dénominateur.

1. a)Table de $18$ : $18$, $36$ ; et $36=12\times 3$. ${\displaystyle \frac{7}{12}}+{\displaystyle \frac{5}{18}}={\displaystyle \frac{21}{36}}+{\displaystyle \frac{10}{36}}={\displaystyle \frac{31}{36}}$, irréductible ($31$ n'a que $1$ et $31$ comme diviseurs). (1 pt) (1)
2. b)Table de $20$ : $20$, $40$, $60$ ; $40$ n'est pas dans la table de $12$, mais $60=12\times 5$. ${\displaystyle \frac{11}{12}}-{\displaystyle \frac{3}{20}}={\displaystyle \frac{55}{60}}-{\displaystyle \frac{9}{60}}={\displaystyle \frac{46}{60}}={\displaystyle \frac{23}{30}}$ (on divise par $2$). (0,5 pt calcul + 0,5 pt simplification) (1)
3. c)$8$ est un multiple de $4$ : $2={\displaystyle \frac{16}{8}}$ et ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{6}{8}}$. De gauche à droite : ${\displaystyle \frac{16}{8}}-{\displaystyle \frac{3}{8}}-{\displaystyle \frac{6}{8}}={\displaystyle \frac{13}{8}}-{\displaystyle \frac{6}{8}}={\displaystyle \frac{7}{8}}$. (1 pt) (1)
4. d)Table de $8$ : $8$, $16$, $24$ ; et $24=6\times 4$. ${\displaystyle \frac{7}{6}}+{\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{28}{24}}+{\displaystyle \frac{15}{24}}={\displaystyle \frac{43}{24}}$. Comme $43=24\times 1+19$, on a ${\displaystyle \frac{43}{24}}=1+{\displaystyle \frac{19}{24}}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Méthode — le plus petit dénominateur commun se trouve en récitant la table du plus grand dénominateur : pour $12$ et $20$, on passe $20$ et $40$ avant d'arriver à $60$.

1. a)Chaque intervalle vaut ${\displaystyle \frac{1}{12}}$ : l'abscisse de $A$ est ${\displaystyle \frac{9}{12}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$ (on divise par $3$). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)$12=3\times 4$, donc ${\displaystyle \frac{5}{3}}={\displaystyle \frac{20}{12}}$ : $B$ est à $20$ intervalles de $O$. Comme $5=3\times 1+2$, on a ${\displaystyle \frac{5}{3}}=1+{\displaystyle \frac{2}{3}}$, donc $1<{\displaystyle \frac{5}{3}}<2$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)${\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{9}{12}}+{\displaystyle \frac{10}{12}}={\displaystyle \frac{19}{12}}$ : $C$ est à $19$ intervalles de $O$. Comme $19<20$, $C$ est avant $B$, juste un intervalle avant. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)$2,25={\displaystyle \frac{225}{100}}={\displaystyle \frac{9}{4}}$ (on divise par $25$), puis ${\displaystyle \frac{9}{4}}={\displaystyle \frac{27}{12}}$ (on multiplie par $3$). Autre méthode : $2,25=2+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{24}{12}}+{\displaystyle \frac{3}{12}}$. Le point $D$ est à $27$ intervalles de $O$. (1 pt) (1)

Astuce — pour placer une fraction ou un nombre décimal sur une graduation en douzièmes, on l'écrit avec le dénominateur $12$ : le numérateur donne le nombre d'intervalles à compter depuis $O$.

1. a)En douzièmes : ${\displaystyle \frac{5}{4}}={\displaystyle \frac{15}{12}}$ ; $1+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{12}{12}}+{\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{14}{12}}$ ; ${\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{16}{12}}$ ; $1={\displaystyle \frac{12}{12}}$. Comme $16>15>14>12>11$ : ${\displaystyle \frac{4}{3}}>{\displaystyle \frac{5}{4}}>1+{\displaystyle \frac{1}{6}}>1>{\displaystyle \frac{11}{12}}$. (1 pt pour les conversions + 0,5 pt pour le rangement) (1,33333)
2. b)Table de $7$ : $7$, $14$, $21$, $28$, $35$ ; et $35=5\times 7$. ${\displaystyle \frac{4}{7}}={\displaystyle \frac{20}{35}}$ et ${\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{21}{35}}$. Comme $20<21$, on a ${\displaystyle \frac{4}{7}}<{\displaystyle \frac{3}{5}}$, alors que $4>3$ : on ne compare pas les numérateurs seuls. (1 pt) (1,33333)
3. c)Au dénominateur $12$ : ${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{8}{12}}$ et ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{9}{12}}$, et il n'y a pas de nombre entier entre $8$ et $9$. On double les dénominateurs : ${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{16}{24}}$ et ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{18}{24}}$. La fraction ${\displaystyle \frac{17}{24}}$ convient : ${\displaystyle \frac{16}{24}}<{\displaystyle \frac{17}{24}}<{\displaystyle \frac{18}{24}}$. D'autres réponses sont justes, par exemple ${\displaystyle \frac{25}{36}}$ ou ${\displaystyle \frac{33}{48}}$. (0,5 pt pour le passage au même dénominateur + 1 pt pour une fraction justifiée) (1,33333)

Piège — quand il n'y a pas de numérateur entier entre les deux bornes, il existe quand même des fractions entre elles : on prend un dénominateur deux ou trois fois plus grand.

1. a)Lina a raison. On divise par $7$ : ${\displaystyle \frac{35}{49}}={\displaystyle \frac{5}{7}}$ ; on divise par $5$ : ${\displaystyle \frac{25}{35}}={\displaystyle \frac{5}{7}}$. Les deux fractions se simplifient en ${\displaystyle \frac{5}{7}}$ : elles sont égales. (1 pt) (1)
2. b)Hugo a tort : il a additionné les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Au dénominateur $20$ : ${\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{12}{20}}+{\displaystyle \frac{5}{20}}={\displaystyle \frac{17}{20}}$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{4}{9}}$ est plus petit que ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, donc plus petit que ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ ; une somme de fractions positives ne peut pas être plus petite que l'une d'elles. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Inès a tort. $3,2={\displaystyle \frac{32}{10}}={\displaystyle \frac{16}{5}}$. Au dénominateur $45$ : ${\displaystyle \frac{29}{9}}={\displaystyle \frac{145}{45}}$ et ${\displaystyle \frac{16}{5}}={\displaystyle \frac{144}{45}}$. Comme $145>144$, ${\displaystyle \frac{29}{9}}$ est plus grand que $3,2$, de très peu. On peut aussi poser la division : $29÷9$ donne $3,222$… qui dépasse $3,2$. (1 pt) (1)
4. d)Malo a tort sur la fin. Ses divisions sont justes : ${\displaystyle \frac{48}{72}}={\displaystyle \frac{24}{36}}={\displaystyle \frac{12}{18}}={\displaystyle \frac{6}{9}}$. Mais $6$ et $9$ sont encore dans la table de $3$ : ${\displaystyle \frac{6}{9}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$, qui est irréductible. En une seule étape, on divise par $24$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — s'arrêter trop tôt en simplifiant : à la fin, on vérifie toujours que le numérateur et le dénominateur n'ont plus d'autre diviseur commun que $1$.

1. a)Forêt : $2400÷10=240$, puis $240\times 3=720$ m. Piste : $2400÷4=600$ m. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)Table de $10$ : $10$, $20$ ; et $20=4\times 5$. Forêt et piste : ${\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{6}{20}}+{\displaystyle \frac{5}{20}}={\displaystyle \frac{11}{20}}$. Herbe : ${\displaystyle \frac{20}{20}}-{\displaystyle \frac{11}{20}}={\displaystyle \frac{9}{20}}$ du parcours. Longueur : $2400÷20=120$, puis $120\times 9=1080$ m. Vérification : $2400-720-600=1080$ m. (0,5 pt fraction + 0,5 pt longueur) (1)
3. c)Au dénominateur $20$ : piste ${\displaystyle \frac{5}{20}}$, forêt ${\displaystyle \frac{6}{20}}$, herbe ${\displaystyle \frac{9}{20}}$. Comme $5<6<9$, l'ordre est : piste, puis forêt, puis herbe (soit $600$ m, $720$ m et $1080$ m). (1 pt) (1)
4. d)La moitié de la piste : $600÷2=300$ m. Nadia a couru $720+300=1020$ m ; il lui reste $2400-1020=1380$ m, c'est-à-dire ${\displaystyle \frac{1380}{2400}}$ du parcours. On divise par $10$ : ${\displaystyle \frac{138}{240}}$ ; par $2$ : ${\displaystyle \frac{69}{120}}$ ; par $3$ ($6+9=15$ et $1+2+0=3$) : ${\displaystyle \frac{23}{40}}$, irréductible ($23$ n'a que $1$ et $23$ comme diviseurs, et $40$ n'est pas dans la table de $23$). (0,5 pt distance + 0,5 pt fraction irréductible) (1)

Piège — « la moitié de la partie sur la piste » porte sur les $600$ m de piste, pas sur tout le parcours : on calcule d'abord la longueur de cette partie, puis on en prend la moitié.

1. a)${\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{15}{36}}$ et ${\displaystyle \frac{5}{9}}={\displaystyle \frac{20}{36}}$ : le numérateur est $16$, $17$, $18$ ou $19$. Or ${\displaystyle \frac{16}{36}}={\displaystyle \frac{4}{9}}$ (on divise par $4$) et ${\displaystyle \frac{18}{36}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (on divise par $18$) ne sont pas irréductibles. Les diviseurs de $36$ sont $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $9$, $12$, $18$ et $36$ ; ni $17$ ni $19$ n'est divisible par l'un d'eux, sauf $1$. Il y a deux possibilités : ${\displaystyle \frac{17}{36}}$ et ${\displaystyle \frac{19}{36}}$. (1 pt pour les conversions et la liste + 1 pt pour l'élimination justifiée) (1,33333)
2. b)Les fractions égales à ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ s'obtiennent en multipliant $3$ et $4$ par un même nombre : ${\displaystyle \frac{6}{8}}$, ${\displaystyle \frac{9}{12}}$, ${\displaystyle \frac{12}{16}}$… La somme des deux termes vaut $7$, puis $14$, $21$, $28$ : c'est $7$ fois le nombre par lequel on a multiplié. Comme $42=7\times 6$, on multiplie par $6$ : ${\displaystyle \frac{3\times 6}{4\times 6}}={\displaystyle \frac{18}{24}}$. Vérification : $18+24=42$ et ${\displaystyle \frac{18}{24}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$ (on divise par $6$). (1 pt ; 0,5 pt pour la bonne fraction trouvée par essais sans explication) (1,33333)
3. c)Non. D'après la question précédente, la somme des deux termes d'une fraction égale à ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ est toujours dans la table de $7$ : $7$, $14$, $21$, $28$, $35$, $42$, $49$, $56$… Or $50=7\times 7+1$ n'est pas dans la table de $7$ : aucune fraction ne convient. (1 pt) (1,33333)

Méthode — les fractions égales à ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ sont ${\displaystyle \frac{6}{8}}$, ${\displaystyle \frac{9}{12}}$, ${\displaystyle \frac{12}{16}}$… : le numérateur avance de $3$ en $3$, le dénominateur de $4$ en $4$, donc leur somme de $7$ en $7$.

1. a)La mise au même dénominateur et la soustraction sont justes ; l'erreur est dans la simplification : en divisant $3$ et $6$ par $3$, on obtient ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, pas ${\displaystyle \frac{1}{3}}$. Résultat : ${\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{6}}$, et non ${\displaystyle \frac{3}{6}}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)L'élève a multiplié aussi le dénominateur par $3$ : ${\displaystyle \frac{15}{36}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$ (on divise par $3$), il a donc écrit une fraction égale à celle de départ, qui n'a pas été triplée. On multiplie seulement le numérateur : $3\times {\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{15}{12}}={\displaystyle \frac{5}{4}}$ (on divise par $3$). Contrôle : ${\displaystyle \frac{5}{12}}+{\displaystyle \frac{5}{12}}+{\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{15}{12}}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Le reste de la division de $22$ par $6$ est faux : $22=6\times 3+4$, il reste $4$ et non $2$. Donc ${\displaystyle \frac{22}{6}}=3+{\displaystyle \frac{4}{6}}=3+{\displaystyle \frac{2}{3}}$. Contrôle : $3+{\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{18}{6}}+{\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{20}{6}}$, et non ${\displaystyle \frac{22}{6}}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)L'addition est juste, mais elle n'a pas de sens : les ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ portent sur ce qui reste, pas sur les $90$ €, et ${\displaystyle \frac{37}{30}}$ est plus grand que $1$ (Léo aurait dépensé plus que tout son argent). Calcul correct : $90÷5=18$, puis $18\times 2=36$ € ; il reste $90-36=54$ €. Ensuite $54÷6=9$, puis $9\times 5=45$ €. Il a dépensé $36+45=81$ €, soit ${\displaystyle \frac{81}{90}}={\displaystyle \frac{9}{10}}$ de son argent (on divise par $9$). (0,5 pt pour l'erreur + 0,5 pt pour ${\displaystyle \frac{9}{10}}$) (1)

Astuce — un contrôle rapide démasque beaucoup d'erreurs : multiplier une fraction par $3$ doit la rendre $3$ fois plus grande, et une part d'un tout ne peut pas dépasser $1$.

1. a)$1-{\displaystyle \frac{17}{18}}={\displaystyle \frac{18}{18}}-{\displaystyle \frac{17}{18}}={\displaystyle \frac{1}{18}}$ et $1-{\displaystyle \frac{18}{19}}={\displaystyle \frac{19}{19}}-{\displaystyle \frac{18}{19}}={\displaystyle \frac{1}{19}}$. Même numérateur : ${\displaystyle \frac{1}{18}}>{\displaystyle \frac{1}{19}}$, car un dix-huitième est plus gros qu'un dix-neuvième. Il manque donc davantage à ${\displaystyle \frac{17}{18}}$ pour atteindre $1$ : ${\displaystyle \frac{17}{18}}<{\displaystyle \frac{18}{19}}$. (0,5 pt pour les deux différences + 0,5 pt pour leur comparaison + 0,5 pt pour la conclusion) (1,33333)
2. b)Même dénominateur : $4<7$, donc ${\displaystyle \frac{4}{11}}<{\displaystyle \frac{7}{11}}$. Même numérateur : un dixième est plus gros qu'un onzième, donc ${\displaystyle \frac{7}{11}}<{\displaystyle \frac{7}{10}}$. Comparaison à $1$ : $7<10$, donc ${\displaystyle \frac{7}{10}}<1$, et $13>10$, donc ${\displaystyle \frac{13}{10}}>1$. D'où ${\displaystyle \frac{4}{11}}<{\displaystyle \frac{7}{11}}<{\displaystyle \frac{7}{10}}<1<{\displaystyle \frac{13}{10}}$. (0,5 pt pour les trois justifications + 0,5 pt pour le rangement) (1,33333)
3. c)Table de $12$ : $12$, $24$, $36$ ; et $36=9\times 4$. Donc ${\displaystyle \frac{7}{9}}={\displaystyle \frac{7\times 4}{9\times 4}}={\displaystyle \frac{28}{36}}$, et une fraction de dénominateur $12$ s'écrit en trente-sixièmes en multipliant ses deux termes par $3$. ${\displaystyle \frac{9}{12}}={\displaystyle \frac{27}{36}}$ est trop petite ($27<28$), et toutes les fractions ${\displaystyle \frac{1}{12}}$, ${\displaystyle \frac{2}{12}}$… avant elle aussi ; ${\displaystyle \frac{10}{12}}={\displaystyle \frac{30}{36}}$ convient ($30>28$). Le plus petit entier est $n=10$. (1 pt pour la mise au dénominateur $36$ + 0,5 pt pour $n=10$) (1,33333)

Astuce — deux fractions proches de $1$ se comparent par ce qui leur manque pour atteindre $1$ : plus il manque, plus la fraction est petite.

1. a)Mardi, on utilise les ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ de l'eau de lundi soir : il en reste ${\displaystyle \frac{3}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$. Donc ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ de l'eau de lundi soir vaut $150$ L, et l'eau de lundi soir compte $3$ parts de $150$ L : $150\times 3=450$ L. (1 pt) (1)
2. b)Lundi, on utilise ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ de la citerne pleine : il en reste ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, qui valent $450$ L. Un quart vaut $450÷3=150$ L, et la citerne pleine compte $4$ quarts : $150\times 4=600$ L. Contrôle : le quart de $600$ L vaut $150$ L, et $600-150=450$ L. (1 pt) (1)
3. c)Mardi : $450-150=300$ L, sur une capacité de $600$ L : ${\displaystyle \frac{300}{600}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (on divise par $300$). Ce n'est pas ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ de la citerne : les ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ portaient sur l'eau restante. (1 pt) (1)
4. d)En litres : ${\displaystyle \frac{3}{10}}$ de $600$ L, c'est $600÷10=60$, puis $60\times 3=180$ L ; or il ne reste que $150$ L : c'est impossible, il manquerait $30$ L. Avec des fractions : il reste ${\displaystyle \frac{150}{600}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ de la citerne ; au dénominateur $20$, ${\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{5}{20}}$ et ${\displaystyle \frac{3}{10}}={\displaystyle \frac{6}{20}}$ ; comme $5<6$, il ne reste pas assez d'eau. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — les ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ « de l'eau qui reste » ne sont pas les ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ de la citerne : on raisonne sur les quantités en litres, étape par étape, en partant de la fin si besoin.

1. a)Non. En huitièmes, $B$ est bien sur une graduation, car ${\displaystyle \frac{5}{4}}={\displaystyle \frac{10}{8}}$. Mais pas $A$ : au dénominateur $24$, ${\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{15}{24}}$, ${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{16}{24}}$ et ${\displaystyle \frac{6}{8}}={\displaystyle \frac{18}{24}}$, donc $A$ tombe strictement entre les graduations ${\displaystyle \frac{5}{8}}$ et ${\displaystyle \frac{6}{8}}$. On peut aussi dire : $8$ n'est pas dans la table de $3$, donc ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ ne s'écrit pas avec le dénominateur $8$. (1 pt) (1)
2. b)Pour que $A$ soit sur une graduation, il faut pouvoir écrire ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ avec ce dénominateur : il doit être dans la table de $3$ ; pour $B$, il doit être dans la table de $4$. Table de $4$ : $4$, $8$, $12$ ; le premier qui est aussi dans la table de $3$ est $12$. Il faut au moins $12$ intervalles par unité. (1 pt) (1)
3. c)${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{8}{12}}$ et ${\displaystyle \frac{5}{4}}={\displaystyle \frac{15}{12}}$ : $A$ est à $8$ intervalles de $O$ et $B$ à $15$. Ils sont séparés par $15-8=7$ intervalles, et l'écart vaut ${\displaystyle \frac{15}{12}}-{\displaystyle \frac{8}{12}}={\displaystyle \frac{7}{12}}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)$D$ est $7$ intervalles après $B$ : ${\displaystyle \frac{15}{12}}+{\displaystyle \frac{7}{12}}={\displaystyle \frac{22}{12}}={\displaystyle \frac{11}{6}}$ (on divise par $2$). Comme $11=6\times 1+5$, on a ${\displaystyle \frac{11}{6}}=1+{\displaystyle \frac{5}{6}}$, donc $1<{\displaystyle \frac{11}{6}}<2$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Piège — un point d'abscisse ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ n'est sur une graduation que si le nombre d'intervalles par unité est dans la table de $3$ : ce nombre doit être un multiple commun à tous les dénominateurs.