Devoir surveillé : Statistiques et probabilités

1. a)Somme des valeurs : $7+12+5+9+12+8+15+6+7=81$. Moyenne : $81÷9=9$. Léa marque en moyenne $9$ paniers par match. (0,5 pt pour la somme + 0,5 pt pour la moyenne) (1)
2. b)Série rangée : $5$ ; $6$ ; $7$ ; $7$ ; $8$ ; $9$ ; $12$ ; $12$ ; $15$. Il y a $9$ valeurs (nombre impair) : la médiane est la valeur du milieu, la 5ᵉ, soit $8$ paniers. Il y a bien $4$ valeurs avant et $4$ valeurs après. (0,5 pt pour le rangement + 0,5 pt pour la médiane) (1)
3. c)Étendue $=15-5=10$ paniers. Elle mesure l'écart entre le meilleur et le moins bon match, c'est-à-dire la dispersion des résultats de Léa. (0,5 pt pour le calcul + 0,5 pt pour l'interprétation) (1)
4. d)Les matchs à plus de $10$ paniers sont ceux à $12$, $12$ et $15$ : effectif $3$. Fréquence : ${\displaystyle \frac{3}{9}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\approx 0,333$, soit environ $33$ %. (0,5 pt pour l'effectif + 0,5 pt pour la fréquence et le pourcentage) (1)

Méthode — pour la médiane, on range toujours la série d'abord : la valeur « du milieu » d'une liste non rangée ne veut rien dire.

1. a)Il y a $5+8+7=20$ jetons, donc $20$ issues. Les jetons sont indiscernables au toucher et tirés au hasard : chacun a la même chance d'être tiré, les $20$ issues sont équiprobables. (0,5 pt pour le nombre d'issues + 0,5 pt pour la justification) (1)
2. b)$5$ issues favorables sur $20$ : $P(\text{rouge})={\displaystyle \frac{5}{20}}={\displaystyle \frac{1}{4}}=0,25$. (1 pt) (1)
3. c)$P(\text{vert})={\displaystyle \frac{7}{20}}$. « Ne pas tirer un vert » est l'événement contraire : $1-{\displaystyle \frac{7}{20}}={\displaystyle \frac{13}{20}}=0,65$. (0,5 pt pour l'événement contraire + 0,5 pt pour le résultat) (1)
4. d)Pour une chance sur deux, il faut autant de jetons rouges que de jetons non rouges. Il y a $8+7=15$ jetons non rouges, il faut donc $15$ jetons rouges : on en ajoute $15-5=10$. Vérification : ${\displaystyle \frac{15}{30}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. (0,5 pt pour le raisonnement + 0,5 pt pour le résultat vérifié) (1)

Astuce — l'expression « ne pas … » signale un événement contraire : calculer $1-P$ est souvent plus rapide que compter toutes les autres issues.

1. a)Fréquence $={\displaystyle \frac{10}{50}}=0,2$, soit $20$ %. (0,5 pt pour la fraction + 0,5 pt pour le pourcentage) (1)
2. b)Somme des résultats : $1\times 7+2\times 9+3\times 8+4\times 10+5\times 6+6\times 10=7+18+24+40+30+60=179$. Moyenne : $179÷50=3,58$. (0,5 pt pour la somme pondérée + 0,5 pt pour la moyenne) (1)
3. c)Il y a $50$ valeurs (nombre pair) : la médiane est entre la 25ᵉ et la 26ᵉ valeur de la série rangée. Effectifs cumulés : $7$ ; $16$ ; $24$ ; $34$ ; $40$ ; $50$. Les valeurs de rang $25$ à $34$ valent $4$, donc la 25ᵉ et la 26ᵉ valent $4$ : la médiane est $4$. (0,5 pt pour les effectifs cumulés + 0,5 pt pour la médiane) (1)
4. d)Le dé est équilibré : $6$ issues équiprobables, donc $P(4)={\displaystyle \frac{1}{6}}\approx 0,17$. La fréquence $0,2$ en est proche sans être égale : sur seulement $50$ lancers, les fréquences fluctuent ; elles se rapprochent de ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ quand le nombre de lancers devient très grand. (0,5 pt pour la probabilité + 0,5 pt pour l'explication) (1)

Piège — une fréquence observée n'est pas une probabilité : elle change d'une série de lancers à l'autre, alors que la probabilité reste ${\displaystyle \frac{1}{6}}$.

1. a)Somme : $0\times 6+1\times 9+2\times 5+3\times 3+4\times 2=0+9+10+9+8=36$ animaux. Moyenne : $36÷25=1,44$ animal par élève. (0,5 pt pour la somme + 0,5 pt pour la moyenne) (1)
2. b)$25$ valeurs (nombre impair) : la médiane est la 13ᵉ valeur. Effectifs cumulés : $6$ ; $15$ ; … Les valeurs de rang $7$ à $15$ valent $1$, donc la 13ᵉ vaut $1$ : médiane $=1$ animal. (0,5 pt pour le rang + 0,5 pt pour la médiane) (1)
3. c)$25$ élèves équiprobables, $6$ sans animal : $P={\displaystyle \frac{6}{25}}=0,24$. (1 pt) (1)
4. d)« Au plus un animal » : $6+9=15$ élèves, $P={\displaystyle \frac{15}{25}}={\displaystyle \frac{3}{5}}=0,6$. « Au moins deux » est l'événement contraire : $1-0,6=0,4$. Vérification : ${\displaystyle \frac{5+3+2}{25}}={\displaystyle \frac{10}{25}}=0,4$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — diviser la somme $36$ par le nombre de valeurs différentes ($5$) au lieu de l'effectif total ($25$) : une moyenne pondérée se divise toujours par l'effectif total.

1. a)Faux. Contre-exemple : $2$ ; $4$ ; $6$ ; $10$. Il y a $4$ valeurs : la médiane est entre $4$ et $6$, soit ${\displaystyle \frac{4+6}{2}}=5$, qui n'est pas une valeur de la série. (0,5 pt pour la réponse + 0,5 pt pour le contre-exemple) (1)
2. b)Faux : une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$ ; $1,2>1$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Vrai. Avec $n$ valeurs, la somme augmente de $2\times n$ ; divisée par $n$, la moyenne augmente de $2$. Exemple : $3$ ; $5$ ; $10$ a pour moyenne $18÷3=6$ et $5$ ; $7$ ; $12$ a pour moyenne $24÷3=8$. (0,5 pt pour la réponse + 0,5 pt pour la justification générale) (1)
4. d)Faux. Ils sont incompatibles ($2$ n'est pas impair), mais pas contraires : les issues $4$ et $6$ ne réalisent aucun des deux. D'ailleurs ${\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{4}{6}}\ne 1$. (0,5 pt pour la réponse + 0,5 pt pour la justification) (1)

Méthode — pour prouver qu'une affirmation est fausse, un seul contre-exemple suffit ; pour prouver qu'elle est vraie, un exemple ne suffit pas, il faut un argument général.

1. a)Non : ce sont les $8$ secteurs qui sont équiprobables, pas les résultats. $P(0)={\displaystyle \frac{3}{8}}$ ; $P(5)={\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ ; $P(10)={\displaystyle \frac{1}{4}}$ ; $P(20)={\displaystyle \frac{1}{8}}$. Vérification : ${\displaystyle \frac{3+2+2+1}{8}}=1$. (0,5 pt pour la réponse justifiée + 0,5 pt pour les probabilités) (1)
2. b)« $10$ points » et « $20$ points » sont incompatibles : $P={\displaystyle \frac{2}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$. « Marquer des points » est le contraire de « $0$ point » : $1-{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{5}{8}}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Somme des points : $0\times 14+5\times 11+10\times 10+20\times 5=0+55+100+100=255$. Moyenne : $255÷40=6,375$ points par lancer. (0,5 pt pour la somme + 0,5 pt pour la moyenne) (1)
4. d)Fréquence : ${\displaystyle \frac{14}{40}}=0,35$ ; probabilité : ${\displaystyle \frac{3}{8}}=0,375$. L'écart est faible : sur $40$ lancers, il est normal que la fréquence fluctue autour de la probabilité. On ne peut pas conclure que la roue est truquée ; il faudrait un très grand nombre de lancers. (0,5 pt pour la comparaison + 0,5 pt pour la conclusion) (1)

Piège — des résultats différents ne sont pas forcément équiprobables : on revient toujours à des issues de même chance (ici les secteurs) avant d'appliquer la formule.

1. a)Rouge $1$ : $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$. Rouge $2$ : $3$ ; $4$ ; $5$ ; $6$. Rouge $3$ : $4$ ; $5$ ; $6$ ; $7$. Rouge $4$ : $5$ ; $6$ ; $7$ ; $8$ (bleu de $1$ à $4$ en colonnes). Il y a $4\times 4=16$ issues équiprobables. (0,5 pt pour le tableau + 0,5 pt pour le nombre d'issues) (1)
2. b)La somme $5$ apparaît $4$ fois ($1+4$, $2+3$, $3+2$, $4+1$) : $P={\displaystyle \frac{4}{16}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. (0,5 pt pour le dénombrement + 0,5 pt pour la probabilité) (1)
3. c)Sommes $7$, $7$ et $8$ : $3$ cases, donc $P={\displaystyle \frac{3}{16}}$. (0,5 pt pour le dénombrement + 0,5 pt pour la probabilité) (1)
4. d)Série rangée : $2$ ; $3$ ; $3$ ; $4$ ; $4$ ; $4$ ; $5$ ; $5$ ; $5$ ; $5$ ; $6$ ; $6$ ; $6$ ; $7$ ; $7$ ; $8$. Somme : $2+2\times 3+3\times 4+4\times 5+3\times 6+2\times 7+8=2+6+12+20+18+14+8=80$ ; moyenne $80÷16=5$. $16$ valeurs : la médiane est entre la 8ᵉ et la 9ᵉ valeur, qui valent $5$ : médiane $=5$. (0,5 pt pour la moyenne + 0,5 pt pour la médiane) (1)

Erreur fréquente — prendre les sommes possibles ($2$ à $8$, soit $7$ valeurs) pour des issues équiprobables : la somme $5$ s'obtient de quatre façons, la somme $8$ d'une seule.

1. a)Moins de $5$ minutes : $6+14=20$ coureurs, soit ${\displaystyle \frac{20}{40}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, exactement la moitié et non plus de la moitié : il a tort. (0,5 pt pour le calcul + 0,5 pt pour la conclusion) (1)
2. b)Milieux : $3,5$ ; $4,5$ ; $5,5$ ; $6,5$. Somme : $3,5\times 6+4,5\times 14+5,5\times 12+6,5\times 8=21+63+66+52=202$. Moyenne approchée : $202÷40=5,05$ min ; $0,05\times 60=3$ s, soit environ $5$ min $3$ s. (0,5 pt pour la moyenne + 0,5 pt pour la conversion) (1)
3. c)Non : on ne connaît pas les temps exacts, seulement les classes. Le plus rapide a mis au moins $3$ min, le plus lent strictement moins de $7$ min : l'étendue est strictement inférieure à $7-3=4$ min. (0,5 pt pour la réponse + 0,5 pt pour la majoration) (1)
4. d)Parmi les $20$ coureurs de moins de $5$ minutes (issues équiprobables), $6$ ont mis moins de $4$ minutes : $P={\displaystyle \frac{6}{20}}={\displaystyle \frac{3}{10}}=0,3$. (0,5 pt pour le dénombrement + 0,5 pt pour la probabilité) (1)

Astuce — avec des données regroupées en classes, on n'obtient que des estimations ou des encadrements : on raisonne sur les bornes des classes, jamais sur des valeurs inventées.

1. a)Somme : $28\times 2+29\times 3+30\times 8+31\times 5+32\times 2=56+87+240+155+64=602$. Moyenne : $602÷20=30,1$ bonbons. (0,5 pt pour la somme + 0,5 pt pour la moyenne) (1)
2. b)$20$ valeurs : la médiane est entre la 10ᵉ et la 11ᵉ valeur. Effectifs cumulés : $2$ ; $5$ ; $13$ ; … Les rangs $6$ à $13$ valent $30$, donc la 10ᵉ et la 11ᵉ valent $30$ : médiane $=30$ bonbons. (0,5 pt pour les effectifs cumulés + 0,5 pt pour la médiane) (1)
3. c)Moins de $30$ bonbons : $2+3=5$ sachets sur $20$ : $P={\displaystyle \frac{5}{20}}={\displaystyle \frac{1}{4}}=0,25$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Au moins $30$ bonbons : $8+5+2=15$ sachets, fréquence ${\displaystyle \frac{15}{20}}=0,75$. Avec une probabilité de $0,9$, on attendrait environ $18$ sachets sur $20$. L'écart est net, mais $20$ sachets, c'est peu : le contrôle rend l'affirmation douteuse sans la réfuter avec certitude ; il faudrait contrôler beaucoup plus de sachets. (0,5 pt pour la fréquence + 0,5 pt pour la conclusion nuancée) (1)

Méthode — pour juger une probabilité annoncée, on la confronte à une fréquence observée ; plus l'échantillon est grand, plus la conclusion est fiable.

1. a)Vrai. Chaque valeur est inférieure ou égale à la plus grande, donc la somme des $n$ valeurs est au plus $n$ fois la plus grande, et la moyenne (somme divisée par $n$) est au plus égale à la plus grande valeur. Même raisonnement avec la plus petite. (0,5 pt pour la réponse + 0,5 pt pour la justification) (1)
2. b)Faux. Les $5$ boules sont équiprobables, $3$ sont rouges : $P(\text{rouge})={\displaystyle \frac{3}{5}}=0,6$. Les deux couleurs n'ont pas la même chance. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Moyennes : $30÷3=10$ pour les deux ; médianes : $10$ pour les deux. Mais les étendues valent $10-10=0$ et $20-0=20$ : $B$ est très dispersée, $A$ pas du tout. Nina a tort : moyenne et médiane ne disent rien de la dispersion. (0,5 pt pour les indicateurs + 0,5 pt pour la conclusion) (1)
4. d)Faux. Tableau des issues : PP, PF, FP, FF, soit $4$ issues équiprobables. $P(\text{deux Pile})={\displaystyle \frac{1}{4}}$, $P(\text{deux Face})={\displaystyle \frac{1}{4}}$, $P(\text{un de chaque})={\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. (0,5 pt pour le tableau + 0,5 pt pour les probabilités) (1)

Erreur fréquente — Hugo et Adam commettent la même faute : compter des résultats au lieu d'issues de même chance, comme on confondrait en statistiques les valeurs et leurs effectifs.

1. a)Vrai. Diviseurs de $12$ : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$, soit $6$ issues favorables sur $12$ équiprobables : ${\displaystyle \frac{6}{12}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. (0,5 pt pour la liste + 0,5 pt pour la probabilité) (1)
2. b)Faux. Somme : $(2,4+2,6)+(3,1+3,9)=5+7=12$, moyenne $12÷4=3$ : c'est juste pour la moyenne. Série rangée : $2,4$ ; $2,6$ ; $3,1$ ; $3,9$ ; médiane $={\displaystyle \frac{2,6+3,1}{2}}=2,85\ne 3$. (0,5 pt pour la moyenne + 0,5 pt pour la médiane) (1)
3. c)Faux. S'ils sont incompatibles, $P(A\text{ ou }B)=0,6+0,5=1,1$, ce qui est impossible car une probabilité ne dépasse pas $1$. (0,5 pt pour la réponse + 0,5 pt pour l'argument) (1)

Astuce — regrouper les termes qui « tombent juste » ($2,4+2,6$ et $3,1+3,9$) rend le calcul mental rapide et sûr.

1. a)Somme : $8\times 3+11\times 5+12\times 6+14\times 7+17\times 3=24+55+72+98+51=300$. Moyenne : ${\displaystyle \frac{300}{24}}={\displaystyle \frac{25}{2}}=12,5$. (0,5 pt pour la somme + 0,5 pt pour la moyenne) (1)
2. b)$24$ valeurs : la médiane est entre la 12ᵉ et la 13ᵉ note. Effectifs cumulés : $3$ ; $8$ ; $14$ ; … Les rangs $9$ à $14$ valent $12$ : médiane $=12$. (0,5 pt pour les effectifs cumulés + 0,5 pt pour la médiane) (1)
3. c)Notes inférieures à $12$ : $3+5=8$ copies sur $24$ équiprobables : $P={\displaystyle \frac{8}{24}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$. (0,5 pt pour le dénombrement + 0,5 pt pour la fraction irréductible) (1)
4. d)Au moins $14$ : $7+3=10$ copies, fréquence ${\displaystyle \frac{10}{24}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$. Or $0,4={\displaystyle \frac{2}{5}}$. Au dénominateur $60$ : ${\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{25}{60}}$ et ${\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{24}{60}}$. Donc la fréquence est légèrement supérieure à $0,4$. (0,5 pt pour la fréquence + 0,5 pt pour la comparaison) (1)

Méthode — pour comparer une fraction et un décimal sans calculatrice, on écrit le décimal en fraction, puis on met les deux fractions au même dénominateur.

1. a)Avec $5$ valeurs rangées, la médiane est la 3ᵉ : $c=14$. Somme $=5\times 12,4=62$. Étendue : $e-a=6$, donc $e=a+6$. (0,5 pt pour $c$ et la somme + 0,5 pt pour $e$) (1)
2. b)$e\ge c=14$, donc $a+6\ge 14$ et $a\ge 8$. Ensuite $a+b+14+d+(a+6)=62$, soit $2a+b+d+20=62$, d'où $b+d=42-2a$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Si $a=10$ : $b+d=42-20=22$, mais $b\ge 10$ et $d\ge 14$ imposent $b+d\ge 24$ : impossible. Si $a>10$, $b+d=42-2a$ est encore plus petit (moins de $22$) alors que $b+d\ge a+14$ est encore plus grand (plus de $24$) : impossible. Donc $a=8$ ou $a=9$. (0,5 pt pour le cas $a=10$ + 0,5 pt pour la généralisation et la conclusion) (1)
4. d)Cas $a=8$ : $e=14$, donc $d=14$ (car $14\le d\le e$) et $b=42-16-14=12$, avec $8\le 12\le 14$ : série $8$ ; $12$ ; $14$ ; $14$ ; $14$. Cas $a=9$ : $e=15$, $b+d=24$ et $d\in \{14;15\}$. Si $d=14$, $b=10$ : série $9$ ; $10$ ; $14$ ; $14$ ; $15$. Si $d=15$, $b=9$ : série $9$ ; $9$ ; $14$ ; $15$ ; $15$. Tous les cas de $a$ puis de $d$ ont été examinés : il y a exactement $3$ séries. Vérification : chaque somme vaut $62$ et chaque étendue $6$. (0,5 pt pour le cas $a=8$ + 1 pt pour les deux séries du cas $a=9$) (1)
5. e)Probabilités de tirer $14$ : ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ dans la première série, ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ dans la deuxième, ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ dans la troisième. C'est la série $9$ ; $10$ ; $14$ ; $14$ ; $15$. (0,5 pt) (1)

Méthode — dans une recherche de toutes les solutions, on fixe la variable qui a le moins de valeurs possibles ($a$), puis on épuise les cas un par un : c'est ce qui garantit qu'aucune solution n'est oubliée.

1. a)Tableau (A en lignes, B en colonnes) : A $=1$ : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$. A $=2$ : $2$ ; $4$ ; $6$ ; $8$. A $=3$ : $3$ ; $6$ ; $9$ ; $12$. Il y a $3\times 4=12$ issues équiprobables, dont $3$ gagnantes ($8$, $9$, $12$) : $P(\text{gagner})={\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. (0,5 pt pour le tableau + 0,5 pt pour la probabilité) (1)
2. b)Série rangée : $1$ ; $2$ ; $2$ ; $3$ ; $3$ ; $4$ ; $4$ ; $6$ ; $6$ ; $8$ ; $9$ ; $12$. Somme $=60$, moyenne $=60÷12=5$. Médiane : entre la 6ᵉ et la 7ᵉ valeur, ${\displaystyle \frac{4+4}{2}}=4$. Les grandes valeurs $9$ et $12$ tirent la moyenne vers le haut, alors que la médiane ne dépend que du rang. (0,5 pt pour les deux indicateurs + 0,5 pt pour l'explication) (1)
3. c)Sur un grand nombre de parties, la fréquence des gains est proche de ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ : environ $200\times {\displaystyle \frac{1}{4}}=50$ gagnants. Recette : $200$ euros ; coût des lots : $50\times 3=150$ euros ; bénéfice estimé : $200-150=50$ euros. (0,5 pt pour le nombre de gagnants + 0,5 pt pour le bénéfice) (1)
4. d)Soit $p$ le prix d'un lot en euros : $200-50p=100$, donc $50p=100$ et $p=2$. Il peut payer au plus environ $2$ euros par lot. (0,5 pt pour l'équation + 0,5 pt pour la solution) (1)

Piège — sur $200$ parties, il n'y aura pas exactement $50$ gagnants : le bénéfice calculé est une estimation, d'autant plus fiable que le nombre de parties est grand.

1. a)$n=6$ : somme $21$, moyenne $21÷6=3,5$ ; médiane entre $3$ et $4$ : $3,5$. $n=7$ : somme $28$, moyenne $28÷7=4$ ; médiane : 4ᵉ valeur, $4$. (0,5 pt par valeur de $n$) (1)
2. b)Terme à terme : $1+n=n+1$, $2+(n-1)=n+1$, …, $n+1=n+1$. On obtient $n$ sommes égales à $n+1$, donc $2S=n(n+1)$ et $S={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$. Moyenne $={\displaystyle \frac{S}{n}}={\displaystyle \frac{n+1}{2}}$. (0,5 pt pour $2S$ + 0,5 pt pour la moyenne) (1)
3. c)Ici, chaque numéro est égal à son rang. Si $n$ est impair, la médiane est la valeur de rang ${\displaystyle \frac{n+1}{2}}$, donc elle vaut ${\displaystyle \frac{n+1}{2}}$. Si $n$ est pair, elle est la moyenne des valeurs de rangs ${\displaystyle \frac{n}{2}}$ et ${\displaystyle \frac{n}{2}}+1$ : ${\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{n}{2}}+{\displaystyle \frac{n}{2}}+1)={\displaystyle \frac{n+1}{2}}$. (0,5 pt par cas) (1)
4. d)Si $n$ est pair, ${\displaystyle \frac{n+1}{2}}$ n'est pas entier ; les numéros strictement supérieurs sont ${\displaystyle \frac{n}{2}}+1$, …, $n$, soit ${\displaystyle \frac{n}{2}}$ numéros : $P={\displaystyle \frac{n}{2}}÷n={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Si $n$ est impair, ${\displaystyle \frac{n+1}{2}}$ est un numéro ; les numéros strictement supérieurs sont au nombre de $n-{\displaystyle \frac{n+1}{2}}={\displaystyle \frac{n-1}{2}}$ : $P={\displaystyle \frac{n-1}{2n}}<{\displaystyle \frac{n}{2n}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Réponse : exactement pour $n$ pair. Contrôle : $n=6$ donne ${\displaystyle \frac{3}{6}}$, $n=7$ donne ${\displaystyle \frac{3}{7}}$. (0,5 pt pour le cas pair + 0,5 pt pour le cas impair et la conclusion) (1)

Astuce — avant une preuve générale, on teste de petites valeurs de $n$ pour repérer ce qui change, puis on sépare les cas (ici $n$ pair et $n$ impair).