Comment calculer une moyenne en 4e ?

On additionne toutes les valeurs puis on divise par leur nombre : $\bar{x} = \dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$. Par exemple, la moyenne de $12$, $14$ et $16$ vaut $\dfrac{12 + 14 + 16}{3} = \dfrac{42}{3} = 14$. Quand des valeurs se répètent, on utilise une moyenne pondérée par les effectifs.

Qu'est-ce que la médiane d'une série statistique ?

La médiane est la valeur qui partage la série, rangée dans l'ordre croissant, en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, au moins la moitié lui sont supérieures ou égales. Si la série a un nombre impair de valeurs, la médiane est la valeur du milieu ; si le nombre est pair, on prend la demi-somme des deux valeurs centrales.

Quelle est la différence entre moyenne et médiane ?

La moyenne tient compte de toutes les valeurs et peut être tirée vers le haut ou le bas par une valeur extrême. La médiane, elle, n'est pas sensible aux valeurs extrêmes : elle indique la valeur centrale de la série. Sur un même jeu de données, moyenne et médiane peuvent donc être assez différentes.

Comment calcule-t-on l'étendue d'une série ?

L'étendue est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série : $\text{étendue} = \text{valeur max} - \text{valeur min}$. Elle mesure la dispersion, c'est-à-dire l'écart entre les extrêmes. Par exemple, pour des notes allant de $6$ à $18$, l'étendue vaut $18 - 6 = 12$.

Collège · 4ᵉ · Mathématiques

Statistiques : moyenne & médiane

Lire et organiser des données, calculer une moyenne, une moyenne pondérée, une médiane et l'étendue d'une série statistique (programme de 4e)

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Statistiques : moyenne & médiane » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Une série statistique : vocabulaire, Effectifs, effectif total et fréquences, La moyenne d'une série, La moyenne pondérée par les effectifs. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.

Une série statistique : vocabulaire

Les statistiques servent à étudier des données recueillies sur un groupe : des notes, des tailles, des âges, des températures… L'ensemble des données collectées s'appelle une série statistique.

Définitions.
• Le caractère est ce que l'on étudie (la note, la taille…).
• Une valeur est l'un des résultats possibles du caractère.
• L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît.
• L'effectif total $N$ est le nombre total de données de la série.

Exemple. On relève les notes d'un contrôle dans une classe : $12$, $8$, $15$, $12$, $10$, $15$, $12$. Le caractère est « la note ». La valeur $12$ a un effectif de $3$ (elle apparaît trois fois). L'effectif total est $N = 7$ (il y a $7$ notes).

Astuce. Pour organiser une série, on construit un tableau d'effectifs : une ligne pour les valeurs, une ligne pour leurs effectifs. C'est beaucoup plus clair qu'une liste en vrac !

Effectifs, effectif total et fréquences

Une fois les données rangées dans un tableau d'effectifs, on peut comparer l'importance de chaque valeur grâce à la fréquence.

Règle. La fréquence d'une valeur est le quotient de son effectif par l'effectif total :
$$f = \dfrac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total } N}$$
Une fréquence est un nombre compris entre $0$ et $1$. On peut aussi l'exprimer en pourcentage.

Exemple. Sur les $7$ notes précédentes, la note $12$ a un effectif de $3$. Sa fréquence vaut $f = \dfrac{3}{7} \approx 0{,}43$, soit environ $43\%$ des notes.

On peut représenter les effectifs par un diagramme en bâtons. Voici les notes d'un contrôle (sur 20) dans une classe de 25 élèves :

Propriété. La somme de tous les effectifs est égale à l'effectif total $N$. La somme de toutes les fréquences est égale à $1$ (soit $100\%$).

Attention ! Ne confonds pas valeur et effectif. Dans l'exemple, la valeur $12$ (la note) a un effectif $7$ (le nombre d'élèves qui ont eu cette note).

La moyenne d'une série

La moyenne est la valeur la plus connue en statistiques. Elle répond à la question : « si tout le monde avait la même valeur, laquelle serait-ce ? »

Règle. La moyenne d'une série, notée $\bar{x}$ (lire « x barre »), s'obtient en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par leur nombre :
$$\bar{x} = \dfrac{\text{somme de toutes les valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$$

Exemple. Un élève a obtenu les notes $13$, $9$, $14$ et $16$. Sa moyenne vaut :
$$\bar{x} = \dfrac{13 + 9 + 14 + 16}{4} = \dfrac{52}{4} = 13$$
Sa moyenne est donc $13$.

Astuce. La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série. Si tu trouves une moyenne hors de cet intervalle, c'est qu'il y a une erreur de calcul.

Attention ! On divise par le nombre de valeurs, pas par autre chose. Quatre notes $\Rightarrow$ on divise par $4$.

La moyenne pondérée par les effectifs

Quand une même valeur se répète, il serait long de tout réécrire. On utilise alors la moyenne pondérée : chaque valeur est multipliée par son effectif.

Règle. La moyenne pondérée d'une série donnée par un tableau d'effectifs vaut :
$$\bar{x} = \dfrac{(\text{valeur}_1 \times \text{effectif}_1) + (\text{valeur}_2 \times \text{effectif}_2) + \dots}{\text{effectif total } N}$$
On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne le tout, puis on divise par $N$.

Exemple. Dans une classe, les notes se répartissent ainsi :

Note	$8$	$10$	$12$	$15$
Effectif	$2$	$3$	$4$	$1$

L'effectif total est $N = 2 + 3 + 4 + 1 = 10$. La moyenne pondérée vaut :

$$\bar{x} = \dfrac{(8 \times 2) + (10 \times 3) + (12 \times 4) + (15 \times 1)}{10} = \dfrac{16 + 30 + 48 + 15}{10} = \dfrac{109}{10} = 10{,}9$$

Attention ! Au dénominateur, on met l'effectif total $N$ (ici $10$, le nombre d'élèves), pas le nombre de valeurs différentes (ici $4$).

La médiane : la valeur du milieu

La médiane partage la série, rangée dans l'ordre croissant, en deux groupes de même effectif. C'est la valeur « du milieu ».

Règle. Pour trouver la médiane, on range d'abord les valeurs dans l'ordre croissant.
• Si le nombre de valeurs est impair, la médiane est la valeur du milieu.
• Si le nombre de valeurs est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales.

Exemple 1 (nombre impair). Série : $7$, $9$, $12$, $14$, $18$ ($5$ valeurs). La valeur du milieu est la $3^e$ : la médiane est $12$. Deux valeurs sont en dessous, deux au-dessus.

Exemple 2 (nombre pair). Série : $6$, $8$, $11$, $15$ ($4$ valeurs). Les deux valeurs centrales sont $8$ et $11$. La médiane vaut $\dfrac{8 + 11}{2} = \dfrac{19}{2} = 9{,}5$.

Astuce. Si tu as $N$ valeurs avec $N$ impair, la médiane est à la position $\dfrac{N+1}{2}$. Pour $N = 5$ : position $\dfrac{5+1}{2} = 3$, donc la $3^e$ valeur.

L'étendue : mesurer la dispersion

La moyenne et la médiane donnent une valeur « centrale ». Mais elles ne disent pas si les données sont resserrées ou très dispersées. Pour cela, on utilise l'étendue.

Règle. L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur :
$$\text{étendue} = \text{valeur maximale} - \text{valeur minimale}$$
Plus l'étendue est grande, plus les données sont dispersées.

Exemple. Pour des notes allant de $6$ à $17$, l'étendue vaut $17 - 6 = 11$.

Comparons deux classes ayant la même moyenne de $12$, mais des dispersions différentes :

Astuce. La classe A (étendue $4$) est homogène : tous les élèves ont des résultats proches. La classe B (étendue $16$) est hétérogène. Pourtant, leur moyenne est la même : l'étendue apporte une information que la moyenne ne donne pas.

Méthode : moyenne ou médiane ?

Moyenne et médiane sont deux indicateurs différents. Selon les données, l'un peut être plus représentatif que l'autre.

Indicateur	Comment on l'obtient	Particularité
Moyenne $\bar{x}$	somme des valeurs $\div$ nombre de valeurs	tient compte de toutes les valeurs
Médiane	valeur centrale de la série rangée	insensible aux valeurs extrêmes
Étendue	valeur max $-$ valeur min	mesure la dispersion

Exemple parlant. Cinq salaires (en €) : $1\,500$, $1\,600$, $1\,700$, $1\,800$ et $20\,000$. La moyenne vaut $\dfrac{1500 + 1600 + 1700 + 1800 + 20000}{5} = 5\,320$ €, ce qui ne représente personne ! La médiane est $1\,700$ €, bien plus parlante : la valeur extrême $20\,000$ tire la moyenne vers le haut mais ne change pas la médiane.

Attention ! Quand une série contient une ou deux valeurs très grandes ou très petites (valeurs « extrêmes »), la médiane est souvent plus représentative que la moyenne.

En bref

Une série statistique est décrite par ses valeurs et leurs effectifs ; la fréquence d'une valeur vaut $f = \dfrac{\text{effectif}}{N}$.
Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$. Avec un tableau d'effectifs, on utilise la moyenne pondérée (on divise par l'effectif total $N$).
Médiane : on range dans l'ordre croissant ; valeur du milieu si $N$ impair, demi-somme des deux valeurs centrales si $N$ pair.
Étendue $= \text{max} - \text{min}$ : elle mesure la dispersion.
La médiane n'est pas sensible aux valeurs extrêmes, contrairement à la moyenne.

Bloqué sur ce chapitre ?

Cours particuliers de mathématiques à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs