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Statistiques : moyenne pondérée et médiane
Rappels de 5e (série statistique, caractère, effectifs, fréquences, diagramme circulaire ; moyenne, somme et valeur manquante), moyenne pondérée par des effectifs ou des coefficients (tableau, diagramme en barres, deux groupes), médiane d’une série d’effectif pair ou impair et à partir d’un tableau d’effectifs cumulés, étendue et choix d’un indicateur (valeur extrême, comparer deux séries).
À propos de cette page
Rappels de 5e : effectifs, fréquences et diagramme circulaire
Le caractère est ce que l’on observe : il est quantitatif s’il s’exprime par un nombre (une pointure, une note), qualitatif sinon (un sport, un moyen de transport). Une valeur est un résultat possible du caractère.
L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où elle apparaît ; l’effectif total N est le nombre de données, c’est-à-dire la somme des effectifs.
La fréquence d’une valeur est le quotient de son effectif par l’effectif total : fréquence = effectif ÷ effectif total. On l’écrit en fraction, en nombre décimal (entre 0 et 1) ou en pourcentage. La somme des fréquences vaut 1, soit 100 %. Inversement, effectif = fréquence × effectif total.
Dans un diagramme circulaire, le disque entier (360°) représente l’effectif total : angle = fréquence × 360°.
Pointures des 40 paires de baskets vendues un samedi par un magasin (caractère quantitatif : la pointure)
| Pointure | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 8 | 12 | 9 | 5 | 3 | 40 |
| Fréquence | 0,075 | 0,2 | 0,3 | 0,225 | 0,125 | 0,075 | 1 |
La pointure 38 a pour effectif 12 : sa fréquence est 12 ÷ 40 = 0,3, soit 30 % des paires vendues.
Contrôle : 3 + 8 + 12 + 9 + 5 + 3 = 40 et 0,075 + 0,2 + 0,3 + 0,225 + 0,125 + 0,075 = 1 ✓
Dans une enquête auprès de 250 personnes, la fréquence de la réponse « oui » est 0,36 : 0,36 × 250 = 90 personnes ont répondu « oui ».
Diagramme circulaire
Trajet domicile-collège des 120 élèves de 4ᵉ : à pied 42 élèves, vélo 18, bus 48, voiture 12. Les angles sont proportionnels aux effectifs, et 360 ÷ 120 = 3 : un élève compte pour 3°.
| Trajet | À pied | Vélo | Bus | Voiture | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 42 | 18 | 48 | 12 | 120 |
| Angle (°) | 126 | 54 | 144 | 36 | 360 |
Bus : 48 ÷ 120 = 0,4 et 0,4 × 360 = 144, donc 144°. Contrôle : 126 + 54 + 144 + 36 = 360 ✓
Lire : sur un diagramme qui représente 250 votes, un secteur mesure 108°. 108 ÷ 360 = 0,3, soit 30 %, et 0,3 × 250 = 75 votes.
Réflexe — je repère le caractère, les valeurs et leurs effectifs, je calcule l’effectif total ; fréquence = effectif ÷ effectif total ; angle = fréquence × 360° ; je contrôle que les fréquences font 1 et les angles 360°.
Attention — ne confonds pas la valeur (38, une pointure) et son effectif (12, un nombre de paires). Une fréquence se calcule avec l’effectif total, et un angle n’est pas un effectif : 144° ne veut pas dire 144 élèves.
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Rappels de 5e : la moyenne, la somme et la valeur manquante
Chaque valeur compte, même un 0 ; la moyenne a la même unité que les valeurs et elle est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur. Si la division ne tombe pas juste, on arrondit et on écrit « ≈ ».
À l’envers : somme des valeurs = moyenne × nombre de valeurs. C’est ce qui permet de retrouver une valeur manquante, ou de recalculer une moyenne quand on ajoute ou retire une valeur.
Notes de Yasmine : 12,5 ; 9 ; 14,5 ; 11. Moyenne : (12,5 + 9 + 14,5 + 11) ÷ 4 = 47 ÷ 4 = 11,75.
Masses de six pommes (en g) : 152 ; 147 ; 168 ; 139 ; 160 ; 151. Somme : 917. 917 ÷ 6 = 152,833… : la moyenne vaut environ 152,8 g (arrondie au dixième).
Raisonner avec la somme
Un randonneur a parcouru en moyenne 17,5 km par jour pendant 4 jours : en tout, 17,5 × 4 = 70 km.
Valeur manquante : Sami a quatre notes, 13 ; 9 ; 15 et une note effacée, et sa moyenne est 12. Somme des quatre notes : 12 × 4 = 48. Notes connues : 13 + 9 + 15 = 37. Note effacée : 48 − 37 = 11.
Ajouter une valeur : après 4 contrôles, Tom a 10,5 de moyenne, soit 10,5 × 4 = 42 points. Il obtient 18 au cinquième : (42 + 18) ÷ 5 = 60 ÷ 5 = 12 de moyenne.
Réflexe — j’additionne toutes les valeurs, je divise par leur nombre et je vérifie que le résultat est entre la plus petite et la plus grande valeur ; dès qu’une moyenne est donnée, je calcule la somme : moyenne × nombre de valeurs.
Attention — les parenthèses comptent : 12,5 + 9 + 14,5 + 11 ÷ 4 ne divise que le dernier nombre. Et la valeur manquante n’est pas égale à la moyenne (pour Sami, 11 et non 12).
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La moyenne pondérée
moyenne = (valeur₁ × effectif₁ + valeur₂ × effectif₂ + …) ÷ effectif total.
Avec des coefficients (un bulletin, un examen), on fait de même : on multiplie chaque note par son coefficient, on additionne, puis on divise par la somme des coefficients.
Pointures des 40 paires (tableau du cas 1) : (36 × 3 + 37 × 8 + 38 × 12 + 39 × 9 + 40 × 5 + 41 × 3) ÷ 40 = (108 + 296 + 456 + 351 + 200 + 123) ÷ 40 = 1 534 ÷ 40 = 38,35. La pointure moyenne est 38,35 : ce n’est pas une pointure qui existe, une moyenne n’est pas forcément une valeur de la série.
Bulletin de Malik : maths 11,5 (coefficient 3), français 13 (coefficient 3), anglais 15,5 (coefficient 2), SVT 9 (coefficient 1). Somme pondérée : 11,5 × 3 + 13 × 3 + 15,5 × 2 + 9 × 1 = 34,5 + 39 + 31 + 9 = 113,5. Somme des coefficients : 3 + 3 + 2 + 1 = 9. Moyenne : 113,5 ÷ 9 ≈ 12,6. Sans les coefficients, on trouverait 49 ÷ 4 = 12,25.
Lire les effectifs sur un diagramme en barres
Ici, la hauteur d’une barre est un effectif : elle dit combien de voitures transportent ce nombre de personnes.
Lecture : 20 voitures à 1 personne, 16 à 2, 8 à 3, 4 à 4 et 2 à 5. Effectif total : 20 + 16 + 8 + 4 + 2 = 50 voitures.
Nombre total de personnes : 1 × 20 + 2 × 16 + 3 × 8 + 4 × 4 + 5 × 2 = 20 + 32 + 24 + 16 + 10 = 102. Moyenne : 102 ÷ 50 = 2,04 personnes par voiture.
Regrouper deux groupes
En 4ᵉ A, les 24 élèves ont 11,5 de moyenne ; en 4ᵉ B, les 26 élèves ont 13. Moyenne des 50 élèves : (24 × 11,5 + 26 × 13) ÷ 50 = (276 + 338) ÷ 50 = 614 ÷ 50 = 12,28, et non (11,5 + 13) ÷ 2 = 12,25 : les moyennes sont pondérées par les effectifs des deux classes.
Réflexe — je multiplie chaque valeur par son effectif (ou son coefficient), j’additionne les produits, puis je divise par l’effectif total (ou la somme des coefficients).
Attention — on divise par l’effectif total, 40 paires, et non par 6, le nombre de pointures différentes : c’est l’erreur la plus fréquente. Et ce sont les valeurs que l’on multiplie par les effectifs : additionner les effectifs seuls donne l’effectif total, pas une moyenne.
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La médiane
• Effectif total N impair : la médiane est la valeur du milieu, de rang (N + 1) ÷ 2.
• Effectif total N pair : la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales, de rangs N ÷ 2 et N ÷ 2 + 1.
On commence toujours par ranger la série dans l’ordre croissant.
Durées (en min) de 7 trajets : 23 ; 17 ; 31 ; 20 ; 26 ; 19 ; 24. Rangées : 17 ; 19 ; 20 ; 23 ; 24 ; 26 ; 31. N = 7 est impair, (7 + 1) ÷ 2 = 4 : la médiane est la 4ᵉ valeur, 23 min. Trois durées sont en dessous, trois au-dessus.
Série : 8 ; 9 ; 12 ; 14 ; 15 ; 20 (déjà rangée). N = 6 est pair : les valeurs centrales sont la 3ᵉ et la 4ᵉ, 12 et 14. Médiane : (12 + 14) ÷ 2 = 13. La médiane n’est pas forcément une valeur de la série.
Médiane à partir d’un tableau d’effectifs
Les valeurs d’un tableau sont déjà dans l’ordre croissant. Les effectifs cumulés disent combien de valeurs sont inférieures ou égales à chaque valeur : ils permettent de trouver les rangs du milieu sans tout réécrire.
| Pointure | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 8 | 12 | 9 | 5 | 3 |
| Effectif cumulé | 3 | 11 | 23 | 32 | 37 | 40 |
N = 40 est pair : la médiane est la demi-somme de la 20ᵉ et de la 21ᵉ valeur.
Les rangs 1 à 3 sont des 36, les rangs 4 à 11 des 37, les rangs 12 à 23 des 38 : la 20ᵉ et la 21ᵉ valeur sont 38 toutes les deux. Médiane : 38. Au moins la moitié des paires vendues font du 38 ou moins.
Réflexe — je range la série (ou j’utilise le tableau, déjà rangé), je compte N, je cherche le rang du milieu (ou les deux rangs centraux si N est pair), puis je lis la valeur avec les effectifs cumulés.
Attention — sans ranger la série, la « valeur du milieu » n’a aucun sens. Dans un tableau, la médiane n’est pas la valeur écrite au milieu de la ligne des valeurs : elle dépend des effectifs. Et le rang (N + 1) ÷ 2 n’est pas la médiane : c’est la position de la médiane.
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L’étendue et le choix d’un indicateur
Moyenne et médiane indiquent où se situent les valeurs ; l’étendue dit si elles sont regroupées ou dispersées. Pour comparer deux séries, on regarde les deux.
Une valeur très éloignée des autres (une valeur extrême) tire la moyenne, mais change peu ou pas la médiane, qui ne dépend que du rang des valeurs.
| Indicateur | Ce qu’il dit | Sensible aux valeurs extrêmes ? |
|---|---|---|
| Moyenne | la valeur de chacun si l’on partageait le total en parts égales | oui |
| Médiane | la valeur qui coupe la série rangée en deux moitiés | peu ou pas |
| Étendue | l’écart entre la plus grande et la plus petite valeur | oui, totalement |
Deux sprinteurs, cinq courses de 100 m chacun (en s). A : 12,1 ; 12,3 ; 11,9 ; 12,0 ; 12,2. B : 11,6 ; 12,8 ; 11,7 ; 12,9 ; 11,5. Même moyenne : 60,5 ÷ 5 = 12,1 s pour chacun. Étendues : 12,3 − 11,9 = 0,4 s pour A, 12,9 − 11,5 = 1,4 s pour B. A est régulier ; B peut faire le meilleur temps comme le pire.
Prix d’une baguette dans 8 boulangeries (en €) : 0,90 ; 0,95 ; 1,05 ; 1,10 ; 1,15 ; 1,20 ; 1,35 ; 2,50. Moyenne : 10,2 ÷ 8 = 1,275 ≈ 1,28 €. Médiane : (1,10 + 1,15) ÷ 2 = 1,125 €. La boulangerie à 2,50 € fait monter la moyenne ; la médiane décrit mieux le prix habituel.
Si l’on ajoute le même nombre à toutes les valeurs
Les notes 9 ; 11 ; 16 ont pour moyenne 12, pour médiane 11 et pour étendue 7. Avec 2 points de plus pour chacun : 11 ; 13 ; 18. Moyenne 14 et médiane 13 : elles augmentent de 2. Étendue : 18 − 11 = 7, elle ne change pas.
Réflexe — pour comparer deux séries, je calcule un indicateur de position (moyenne ou médiane) et l’étendue ; s’il y a une valeur extrême, je préfère la médiane pour décrire une valeur « habituelle ».
Attention — l’étendue est une différence, pas la plus grande valeur. Et deux séries de même moyenne ne sont pas pareilles pour autant : il faut regarder leur dispersion.
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Pour aller plus loin
Liens — les premiers pas en 5ᵉ : Statistiques : effectifs, fréquences et diagrammes (5e) et Statistiques : la moyenne (5e). Quand on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, la fréquence d’une issue se rapproche de sa probabilité : voir Probabilités.
Se verra en 3e — regrouper des valeurs nombreuses en classes (par exemple les durées de sommeil de la classe [7 ; 8[, de 7 h incluse à 8 h exclue), les représenter par un histogramme et estimer leur moyenne avec les centres des classes.
- Fréquence = effectif ÷ effectif total (fraction, décimal ou pourcentage) ; les fréquences font 1, soit 100 %. Diagramme circulaire : angle = fréquence × 360°.
- Moyenne = somme des valeurs ÷ nombre de valeurs ; somme des valeurs = moyenne × nombre de valeurs, pour retrouver une valeur manquante.
- Moyenne pondérée : chaque valeur × son effectif (ou son coefficient), on additionne, on divise par l’effectif total (ou la somme des coefficients), jamais par le nombre de valeurs différentes.
- Médiane : on range la série ; N impair → la valeur de rang (N + 1) ÷ 2 ; N pair → la demi-somme des valeurs de rangs N ÷ 2 et N ÷ 2 + 1. Dans un tableau, on utilise les effectifs cumulés.
- Étendue = valeur maximale − valeur minimale : elle mesure la dispersion. Une valeur extrême tire la moyenne, pas la médiane.
Questions fréquentes
Comment calculer une fréquence et l’angle d’un diagramme circulaire ?
Fréquence = effectif ÷ effectif total : si 18 élèves sur 120 viennent à vélo, la fréquence est 18 ÷ 120 = 0,15, soit 15 %. Dans un diagramme circulaire, angle = fréquence × 360° : 0,15 × 360 = 54°. Les fréquences font 1 en tout, les angles 360°.
Comment retrouver une valeur manquante quand on connaît la moyenne ?
On calcule la somme de toutes les valeurs : moyenne × nombre de valeurs. Pour quatre notes de moyenne 12, la somme est 48 ; si trois notes font 37 en tout, la quatrième vaut 48 − 37 = 11.
Comment calculer une moyenne pondérée ?
On multiplie chaque valeur par son effectif (ou son coefficient), on additionne, puis on divise par l’effectif total (ou la somme des coefficients). Pour 40 paires de chaussures de pointures 36 à 41, on divise par 40, pas par 6 : la moyenne vaut 1 534 ÷ 40 = 38,35.
Comment trouver la médiane d’une série ?
On range la série dans l’ordre croissant. Si l’effectif total N est impair, la médiane est la valeur de rang (N + 1) ÷ 2 ; s’il est pair, c’est la demi-somme des deux valeurs centrales : pour 8 ; 9 ; 12 ; 14 ; 15 ; 20, la médiane est (12 + 14) ÷ 2 = 13. Dans un tableau, on utilise les effectifs cumulés.
Quelle est la différence entre moyenne, médiane et étendue ?
La moyenne et la médiane disent où se situent les valeurs ; l’étendue (plus grande valeur − plus petite valeur) dit si elles sont dispersées. Une valeur extrême tire la moyenne mais pas la médiane : pour des prix de 0,90 € à 1,35 € plus un prix à 2,50 €, la médiane décrit mieux le prix habituel.
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