Effectifs, fréquences, moyenne, médiane et étendue
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Statistiques : moyenne & médiane » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Une série statistique : de quoi parle-t-on ?, Effectifs, effectif total & tableau, Fréquences & pourcentages, La moyenne simple. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Série statistique : population et caractère
2 · Effectifs et effectif total
3 · Fréquences et pourcentages
4 · Moyenne simple
5 · Moyenne pondérée (effectifs, coefficients)
6 · Médiane (N pair et N impair)
7 · Étendue
8 · Regrouper en classes
9 · Tableaux et diagrammes
10 · Interpréter et comparer des séries
1Une série statistique : de quoi parle-t-on ?
La statistique, c'est l'art de recueillir, d'organiser et de résumer des données pour mieux les comprendre. On part d'une population (l'ensemble étudié : des élèves, des familles, des matchs…) dont on observe un caractère (la note, la taille, le nombre de buts…).
Définitions.
La population est l'ensemble des éléments étudiés ; chaque élément est un individu.
Le caractère est ce qu'on observe sur chaque individu.
Une série statistique est la liste de toutes les valeurs relevées.
On distingue deux types de caractères :
un caractère quantitatif se mesure par un nombre (taille, note, âge) ;
un caractère qualitatif se décrit par un mot (couleur préférée, sport pratiqué).
Exemple. On relève les notes sur 20 d'une classe de 25 élèves. La population = les 25 élèves ; le caractère = la note (quantitatif) ; la série = la liste des 25 notes.
💡 En 4e, on travaille surtout sur des caractères quantitatifs : on saura calculer une moyenne et une médiane uniquement sur des nombres.
2Effectifs, effectif total & tableau
Définitions. L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où elle apparaît dans la série. L'effectif total N est le nombre d'individus, c'est-à-dire la somme de tous les effectifs.
Pour ne pas se perdre, on range la série dans un tableau d'effectifs. On compte chaque valeur (un trait par apparition, c'est le « pointage »).
Exemple. Notes d'un contrôle : 8 · 12 · 15 · 12 · 8 · 12 · 15 · 10 · 12 · 8. On obtient le tableau :
Note (valeur)
8
10
12
15
Total
Effectif
3
1
4
2
10
Ici l'effectif total est N = 3 + 1 + 4 + 2 = 10 : il y a 10 élèves, ce qui correspond bien aux 10 notes de la liste.
⚠️ Ne confonds pas la valeur (la note, par exemple 12) avec son effectif (combien d'élèves ont eu 12, ici 4). Vérifie toujours que la somme des effectifs redonne N.
3Fréquences & pourcentages
Définition. La fréquence d'une valeur est la part qu'elle représente dans le total :
fréquence = effectif de la valeureffectif total N
Une fréquence est un nombre compris entre 0 et 1. Pour l'exprimer en pourcentage, on la multiplie par 100. La somme de toutes les fréquences vaut 1 (soit 100 %).
Méthode pas à pas
1) diviser l'effectif de la valeur par l'effectif total N ;
2) multiplier par 100 pour avoir le pourcentage ;
3) arrondir si on le demande (souvent au dixième).
Exemple (tableau du §2, N = 10). La note 12 a un effectif de 4 :
fréquence = 410 = 0,4 → 0,4 × 100 = 40 % des élèves ont eu 12.
Note
8
10
12
15
Total
Effectif
3
1
4
2
10
Fréquence
0,3
0,1
0,4
0,2
1
Pourcentage
30 %
10 %
40 %
20 %
100 %
💡 La fréquence sert à comparer deux séries de tailles différentes : 12 élèves sur 25 et 30 élèves sur 60, c'est la même proportion (0,5 = 50 %), même si les effectifs ne sont pas les mêmes.
4La moyenne simple
Définition. La moyenne d'une série est :
moyenne = somme de toutes les valeursnombre de valeurs
C'est la valeur qu'aurait chaque individu si on partageait tout également entre eux. La moyenne se situe toujours entre la plus petite et la plus grande valeur.
⚠️ Le diviseur est le nombre de valeurs, pas le nombre de valeurs différentes. S'il y a 25 notes, on divise par 25, même si seules 6 notes différentes apparaissent.
5La moyenne pondérée (avec coefficients ou effectifs)
Quand une même valeur revient plusieurs fois, ou quand chaque valeur a un coefficient, on n'additionne pas tout « à la main » : on utilise la moyenne pondérée.
Définition. Chaque valeur est multipliée par son effectif (ou son coefficient). On additionne ces produits, puis on divise par la somme des effectifs :
💡 La moyenne pondérée et la « moyenne simple de la liste complète » donnent exactement le même résultat : la pondération est juste un raccourci de calcul.
6La médiane
Définition. La médiane M est une valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.
Autrement dit, si on range tout le monde par taille, la médiane est la taille de la personne « du milieu ». Avant tout calcul, on range la série dans l'ordre croissant.
Méthode — deux cas selon l'effectif N
Cas
Où se trouve la médiane ?
N impair
c'est la valeur du milieu (position N + 12)
N pair
c'est la moyenne des deux valeurs centrales (positions N2 et N2 + 1)
Exemple N impair (N = 7). Série rangée : 5 · 7 · 8 · 10 · 12 · 12 · 15.
Position du milieu = 7 + 12 = 4 → la 4e valeur est 10. Médiane = 10.
Exemple N pair (N = 8). Série rangée : 4 · 6 · 7 · 9 · 11 · 12 · 14 · 18.
Les deux valeurs centrales sont la 4e (9) et la 5e (11).
Médiane = 9 + 112 = 10.
⚠️ Erreur classique : oublier de ranger la série avant de chercher le milieu. La médiane d'une série non triée n'a aucun sens !
💡 La médiane n'est pas sensible aux valeurs extrêmes : une note très basse ou très haute ne la déplace presque pas, alors qu'elle peut beaucoup changer la moyenne.
7L'étendue
Définition. L'étendue d'une série mesure sa dispersion :
étendue = valeur la plus grande − valeur la plus petite
Une étendue faible signifie que les valeurs sont resserrées ; une étendue grande signifie qu'elles sont très dispersées.
⚠️ L'étendue n'est pas une « valeur du milieu » : c'est un écart. Une réponse comme « l'étendue vaut 6 et 15 » est fausse : l'étendue est un seul nombre (ici 9).
8Regrouper en classes
Quand les valeurs sont trop nombreuses et toutes différentes (par exemple des tailles en cm), on les regroupe en classes : des intervalles de même largeur, comme [150 ; 160[.
Notation. La classe [150 ; 160[ contient toutes les valeurs supérieures ou égales à 150 et strictement inférieures à 160. Le crochet « [ » ouvert exclut 160 : ainsi 160 appartient à la classe suivante, et chaque valeur tombe dans une seule classe.
Exemple. Tailles (cm) de 20 élèves regroupées :
Classe (taille en cm)
[150 ; 160[
[160 ; 170[
[170 ; 180[
Total
Effectif
5
11
4
20
La classe la plus « peuplée » (ici [160 ; 170[) est la classe modale.
💡 Avec des classes, on ne connaît plus les valeurs exactes. Pour estimer une moyenne, on remplace chaque classe par son centre (le milieu de l'intervalle) : le centre de [150 ; 160[ est 155.
9Tableaux & diagrammes
Un tableau est précis, mais un diagramme rend la série plus parlante d'un coup d'œil. Au collège, on rencontre surtout :
le diagramme en barres (ou en bâtons) : la hauteur de chaque barre représente l'effectif (ou la fréquence) d'une valeur ;
le diagramme circulaire (« camembert ») : chaque part est proportionnelle à l'effectif. L'angle se calcule par : angle = fréquence × 360°.
Diagramme en barres du tableau de notes (§2) :
Lecture d'un diagramme. On lit la hauteur de chaque barre pour retrouver l'effectif. Sur ce diagramme, la note 12 (barre la plus haute, effectif 3… puis 4 selon l'échelle) est la plus fréquente : c'est le mode de la série.
Le mode. Le mode d'une série est la valeur qui a le plus grand effectif. Ici, le mode est 12.
10Interpréter & comparer deux séries
Moyenne, médiane et étendue ne disent pas la même chose. Pour bien décrire une série, on les utilise ensemble :
Indicateur
Ce qu'il indique
Moyenne
le niveau « partagé également » ; sensible aux valeurs extrêmes
Médiane
la valeur du milieu ; peu sensible aux extrêmes
Étendue
l'écart entre le plus petit et le plus grand : la dispersion
Comparer. Deux classes ont la même moyenne de 10. Classe A : étendue 4 (notes resserrées) ; classe B : étendue 16 (notes très dispersées). Même moyenne, mais des profils très différents : l'étendue le révèle.
⚠️ Quand une série a quelques valeurs très grandes (ou très petites), la moyenne peut être « tirée » dans leur sens. Dans ce cas, la médiane décrit mieux le « cas typique ».
🎓 Récap express : effectif = nombre d'apparitions · fréquence = effectif ÷ N (×100 pour %) · moyenne = somme ÷ nombre de valeurs (pondérée avec les effectifs) · médiane = valeur du milieu de la série rangée (moyenne des 2 centrales si N pair) · étendue = max − min · mode = valeur la plus fréquente · on range TOUJOURS avant de chercher la médiane.