Probabilités : événement contraire et issues non équiprobables

Rappels de 5e (issues, événements, probabilité entre 0 et 1, équiprobabilité, tableau à double entrée), propriétés des probabilités (somme des probabilités des issues égale à 1), événement contraire et sa probabilité, événements « A et B », « A ou B » et événements incompatibles, issues non équiprobables (tableau de probabilités, roue à secteurs inégaux), fréquence et probabilité : fluctuation, stabilisation sur un grand nombre d’essais, estimation d’une probabilité.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés de probabilités : la roue d’une fête foraine, les lettres du mot PROBABILITÉ, le tirage au sort d’un élève de 4e B, les lancers d’une capsule de bouteille, la somme de deux dés à quatre faces et une urne de boules rouges et bleues dont on cherche la composition.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je repère l’expérience et je liste ses issues (ou je fais le tableau) ; je me demande si elles ont toutes la même chance.
Je traduis chaque question : « ne pas » → événement contraire ; « ou » → incompatibles ou non ; « environ combien sur … essais » → nombre d’essais × probabilité.
Je calcule avec la bonne règle : favorables ÷ total, somme des probabilités égale à 1, 1 − P(A), addition si les événements sont incompatibles.
Je contrôle que chaque probabilité est entre 0 et 1, puis je réponds par une phrase.

Problème 1 · La roue de la fête foraine★★★Facile

Une roue de fête foraine a

12

secteurs égaux :

1

secteur « peluche »,

3

secteurs « bonbon »,

4

secteurs « rejouer » et

4

secteurs « perdu ». On la fait tourner une fois.

1. $P (peluche)$ (fraction) :
Un secteur sur $12$ : $\frac{1}{12}$ .
2. Probabilité de gagner un objet, c’est-à-dire une peluche ou un bonbon (fraction simplifiée) :
$1 + 3 = 4$ secteurs : $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ .
3. $P (ne pas perdre)$ (fraction simplifiée) :
Contraire de « perdre » : $1 - \frac{4}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ .
4. Sur $600$ tours de roue, combien de peluches le forain doit-il prévoir, environ ?
$600 \times \frac{1}{12} = 50$ peluches environ (le hasard peut en donner un peu plus ou un peu moins).

Problème 2 · Les lettres du mot PROBABILITÉ★★★Facile

On écrit chaque lettre du mot PROBABILITÉ sur un jeton (

11

jetons indiscernables au toucher) et on en tire un au hasard.

1. $P (tirer un B)$ :
Deux B sur $11$ lettres : $\frac{2}{11}$ .
2. $P (tirer une voyelle)$ :
O, A, I, I, É : $5$ voyelles, $\frac{5}{11}$ .
3. $P (tirer une consonne)$ :
C’est le contraire de « tirer une voyelle » : $1 - \frac{5}{11} = \frac{6}{11}$ (P, R, B, B, L, T).
4. $P (tirer un I ou un L)$ :
Deux I et un L ; un jeton ne peut pas être à la fois un I et un L, les événements sont incompatibles : $\frac{2}{11} + \frac{1}{11} = \frac{3}{11}$ .

Problème 3 · La classe de 4ᵉ B★★★Moyen

La classe de 4ᵉ B compte

30

élèves :

16

filles, dont

10

demi-pensionnaires, et

14

garçons, dont

8

demi-pensionnaires. On choisit un élève au hasard. Donne les probabilités en fractions simplifiées.

1. $P (fille)$ :
$\frac{16}{30} = \frac{8}{15}$ .
2. $P (demi-pensionnaire)$ :
$10 + 8 = 18$ demi-pensionnaires : $\frac{18}{30} = \frac{3}{5}$ .
3. Probabilité de choisir un garçon qui n’est pas demi-pensionnaire :
$14 - 8 = 6$ garçons ne sont pas demi-pensionnaires : $\frac{6}{30} = \frac{1}{5}$ .
4. $P (fille ou demi-pensionnaire)$ :
Les $16$ filles, plus les $8$ garçons demi-pensionnaires : $24$ élèves, $\frac{24}{30} = \frac{4}{5}$ .
On ne peut pas additionner $\frac{8}{15}$ et $\frac{3}{5}$ : les $10$ filles demi-pensionnaires seraient comptées deux fois, et l’on trouverait $\frac{17}{15}$ , plus que $1$ .

Problème 4 · La capsule de bouteille★★★Moyen

On lance

500

fois une capsule de bouteille. Elle retombe

35

fois sur la tranche,

380

fois côté bombé en haut et

85

fois côté creux en haut. Réponds en écriture décimale ou par un nombre entier.

1. Fréquence de « sur la tranche » :
$35 \div 500 = 0, 07$ .
2. Fréquence de « côté bombé en haut » :
$380 \div 500 = 0, 76$ . Les trois issues n’ont pas du tout la même chance : la probabilité de chacune n’est pas $\frac{1}{3}$ .
3. Sur $2 000$ lancers, combien de fois environ la capsule retombera-t-elle sur la tranche ?
On estime $P (tranche)$ à $0, 07$ : $2 000 \times 0, 07 = 140$ fois environ.
4. Estimation de la probabilité de « ne pas retomber sur la tranche » :
Contraire : $1 - 0, 07 = 0, 93$ (ou $\frac{380 + 85}{500} = \frac{465}{500} = 0, 93$ ).

Problème 5 · Les deux dés à quatre faces★★★Difficile

On lance deux dés équilibrés à

4

faces (numérotées de

1

4

), un rouge et un bleu, et on additionne les deux nombres. Construis le tableau à double entrée des sommes.

1. Nombre d’issues (cases du tableau) :
$4$ lignes et $4$ colonnes : $4 \times 4 = 16$ cases de même chance.
2. $P (somme = 5)$ (fraction simplifiée) :
$1 + 4$ , $2 + 3$ , $3 + 2$ , $4 + 1$ : $4$ cases, $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ . C’est la somme la plus probable.
3. $P (somme ⩾ 7)$ :
Somme $7$ : $3 + 4$ et $4 + 3$ ; somme $8$ : $4 + 4$ . Soit $3$ cases : $\frac{3}{16}$ .
4. $P (somme différente de 5)$ (fraction simplifiée) :
Contraire de « somme $= 5$ » : $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .

Problème 6 · Les boules rouges et bleues★★★Difficile

Une urne contient des boules rouges et

12

boules bleues, indiscernables au toucher. La probabilité de tirer une boule rouge est

\frac{1}{4}

1. $P (bleue)$ (fraction) :
Contraire de « rouge » : $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .
2. Nombre de boules rouges :
Les $12$ boules bleues représentent $\frac{3}{4}$ des boules : un quart vaut $12 \div 3 = 4$ . Il y a $4$ boules rouges ( $16$ boules en tout, et $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ ).
3. Combien de boules rouges faut-il ajouter pour que $P (rouge) = \frac{1}{2}$ ?
Il faut autant de rouges que de bleues, soit $12$ rouges : on en ajoute $12 - 4 = 8$ .
4. Dans l’urne de départ ( $4$ rouges, $12$ bleues), on remplace $2$ boules bleues par $2$ rouges. Nouvelle probabilité de tirer une rouge (fraction simplifiée) :
$6$ rouges sur $16$ boules (le total ne change pas) : $\frac{6}{16} = \frac{3}{8}$ , plus que $\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$ .

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