Statistiques : moyenne pondérée et médiane

1. a)Le caractère est ce que les élèves mangent le plus souvent au petit-déjeuner : il est qualitatif (ce n’est pas un nombre) (1)
2. b)$20÷80=0,25$, soit $25\%$ (1)
3. c)$360÷80=4,5$ : un élève compte pour $4,5^{\circ }$. Tartines $28\times 4,5=126$, donc ${126}^{\circ }$ ; céréales $20\times 4,5=90$, donc ${90}^{\circ }$ ; rien $12\times 4,5=54$, donc ${54}^{\circ }$ ; viennoiserie $8\times 4,5=36$, donc ${36}^{\circ }$ ; fruits ${54}^{\circ }$ (même effectif que « rien »). Total : $126+90+54+36+54=360$ ✓ (1)
4. d)$12÷80=0,15$, soit $15\%$. Dans le collège : $0,15\times 560=84$ élèves (1)

Méthode — Fréquence = effectif ÷ effectif total ; angle = fréquence × $360°$ ; on contrôle que les angles font $360°$.

1. a)Somme = moyenne × nombre de notes : $13,4\times 5=67$ (1)
2. b)$12+15+11+16=54$ et $67-54=13$ : la cinquième note est $13$ (1)
3. c)Il faut une somme de $14\times 6=84$ : $84-67=17$. Elle doit obtenir $17$ (1)
4. d)Il faudrait une somme de $15\times 6=90$, donc une note de $90-67=23$ : impossible avec une note sur $20$ (1)

Repère — Dès qu’une moyenne est donnée, on repasse par la somme : moyenne × nombre de valeurs.

1. a)$6+14+11+6+3=40$ adhérents (1)
2. b)$(0\times 6+1\times 14+2\times 11+3\times 6+4\times 3)÷40=(0+14+22+18+12)÷40=66÷40=1,65$ séance par adhérent (1)
3. c)Il a fait la moyenne des valeurs sans tenir compte des effectifs : il fallait multiplier chaque nombre de séances par son effectif et diviser par l’effectif total $40$, pas par $5$ (1)
4. d)Séances des $10$ nouveaux : $3\times 10=30$. $(66+30)÷50=96÷50=1,92$ séance (1)

Méthode — Moyenne pondérée : chaque valeur × son effectif, puis on divise par l’effectif total.

1. a)$26,9$ ; $27,4$ ; $28,7$ ; $29,3$ ; $29,8$ ; $30,1$ ; $31,1$ ; $31,2$ ; $33,5$ ; $35,0$. $N=10$ : 5ᵉ et 6ᵉ valeurs, $(29,8+30,1)÷2=29,95$ °C (1)
2. b)Somme : $303$. $303÷10=30,3$ °C (1)
3. c)La somme baisse de $35-25=10$ : $293÷10=29,3$ °C. Rangée : $25,0$ ; $26,9$ ; $27,4$ ; $28,7$ ; $29,3$ ; $29,8$ ; … : $25,0$ passe en tête, les 5ᵉ et 6ᵉ valeurs deviennent $29,3$ et $29,8$, médiane $(29,3+29,8)÷2=29,55$ °C (1)
4. d)$N=40$ : 20ᵉ et 21ᵉ valeurs. Effectifs cumulés : $6$ ; $20$ ; $31$ ; $37$ ; $40$. La 20ᵉ valeur est $1$, la 21ᵉ est $2$ : médiane $(1+2)÷2=1,5$ séance (1)

Le point clé — On range avant de chercher le milieu ; avec $N$ pair, on prend la demi-somme des deux valeurs centrales, même si elles sont différentes.

1. a)Léa : $155÷5=31$ s. Zoé : $(29,9+32,6+30,1+32,4+30,0)÷5=155÷5=31$ s. Même moyenne (1)
2. b)Léa, rangés : $30,6$ ; $30,8$ ; $31,0$ ; $31,2$ ; $31,4$ → $31,0$ s. Zoé : $29,9$ ; $30,0$ ; $30,1$ ; $32,4$ ; $32,6$ → $30,1$ s (1)
3. c)Léa : $31,4-30,6=0,8$ s. Zoé : $32,6-29,9=2,7$ s (1)
4. d)Même moyenne ; Zoé a une meilleure médiane (trois courses sur cinq sous $30,2$ s) mais une étendue bien plus grande : elle est irrégulière. Léa est régulière mais jamais sous $30,6$ s. Choix argumenté attendu : Zoé, plus souvent rapide, ou Léa, sans risque de mauvaise course (1)

Méthode — Pour comparer deux séries, un indicateur de position (moyenne, médiane) ne suffit pas : l’étendue dit laquelle est la plus régulière.