Probabilités : événement contraire et issues non équiprobables

On lance un dé équilibré à $8$ faces numérotées de $1$ à $8$. Donne chaque probabilité en fraction simplifiée (forme a/b), ou par un entier.

1. $P(\text{obtenir }3)=$
   Une issue favorable sur $8$ : ${\displaystyle \frac{1}{8}}$.
2. $P(\text{nombre pair})=$
   $2$, $4$, $6$, $8$ : $4$ issues sur $8$, ${\displaystyle \frac{4}{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
3. Probabilité d’obtenir un nombre supérieur ou égal à $6$ :
   $6$, $7$, $8$ : ${\displaystyle \frac{3}{8}}$.
4. $P(\text{multiple de }3)=$
   $3$ et $6$ : ${\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$.
5. $P(\text{obtenir }0)=$
   Aucune face ne porte $0$ : l’événement est impossible, sa probabilité est $0$.

Une urne contient $6$ boules bleues, $9$ rouges et $5$ jaunes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.

1. $P(\text{bleue})$ en fraction simplifiée :
   $6+9+5=20$ boules. $P(\text{bleue})={\displaystyle \frac{6}{20}}={\displaystyle \frac{3}{10}}$.
2. $P(\text{rouge})$ en pourcentage : %
   ${\displaystyle \frac{9}{20}}={\displaystyle \frac{45}{100}}=45\%$.
3. $P(\text{jaune})$ en écriture décimale :
   ${\displaystyle \frac{5}{20}}={\displaystyle \frac{1}{4}}=0,25$.

Raisonne sur les issues.

1. On lance une pièce (P ou F), puis un dé à $6$ faces. Nombre de cases du tableau à double entrée :
   $2$ lignes (P, F) et $6$ colonnes : $2\times 6=12$ issues de même chance.
2. Même expérience : probabilité de « face et un nombre pair » (fraction simplifiée) :
   Sur la ligne F : F2, F4, F6, soit $3$ cases sur $12$. ${\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$.
3. Une urne contient $15$ boules et $P(\text{verte})={\displaystyle \frac{2}{5}}$. Nombre de boules vertes :
   ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ de $15$ : $15÷5\times 2=6$ boules vertes.
4. On ajoute $5$ boules vertes dans cette urne. Nouvelle probabilité de tirer une boule verte (fraction simplifiée) :
   Il y a maintenant $6+5=11$ boules vertes sur $15+5=20$ : ${\displaystyle \frac{11}{20}}$. Le nombre total change aussi.

Calcule la probabilité de l’événement contraire, sous la même forme.

1. $P(A)=0,27$ ; $P(\bar{A})=$
   $1-0,27=0,73$.
2. $P(B)={\displaystyle \frac{4}{9}}$ ; $P(\bar{B})=$
   $1-{\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{9}{9}}-{\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{5}{9}}$.
3. $P(C)=64\%$ ; $P(\bar{C})=$ %
   $100\%-64\%=36\%$.
4. $P(D)=1$ ; $P(\bar{D})=$
   $D$ est certain, son contraire est impossible : $1-1=0$.

On lance un dé équilibré à $6$ faces. Complète.

1. Le contraire de « obtenir au moins $5$ » est « obtenir au plus »
   « Au moins $5$ » : $5$ et $6$. Les autres issues, $1$, $2$, $3$, $4$, forment « obtenir au plus $4$ ».
2. Le contraire de « obtenir un nombre plus grand que $2$ » est « obtenir un nombre plus petit que »
   « Plus grand que $2$ » : $3$, $4$, $5$, $6$. Le contraire est formé de $1$ et $2$, c’est « obtenir un nombre plus petit que $3$ ».
3. Probabilité de ne pas obtenir un diviseur de $6$ (fraction simplifiée) :
   Diviseurs de $6$ : $1$, $2$, $3$, $6$, donc la probabilité d’obtenir un diviseur de $6$ est ${\displaystyle \frac{4}{6}}$.
   Contraire : $1-{\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ (les issues $4$ et $5$).

Utilise l’événement contraire.

1. Des tickets sont numérotés de $1$ à $80$. Probabilité de tirer un ticket qui n’est pas un multiple de $8$ (fraction simplifiée) :
   Multiples de $8$ : $8$, $16$… $80$, soit $10$ tickets ($80=8\times 10$).
   $1-{\displaystyle \frac{10}{80}}={\displaystyle \frac{70}{80}}={\displaystyle \frac{7}{8}}$.
2. Jeu de $52$ cartes ($4$ couleurs de $13$ cartes, dont un as par couleur). Probabilité de ne pas tirer un as (fraction simplifiée) :
   $P(\text{as})={\displaystyle \frac{4}{52}}={\displaystyle \frac{1}{13}}$, donc $P(\text{pas un as})=1-{\displaystyle \frac{1}{13}}={\displaystyle \frac{12}{13}}$.
3. Un lot de $1000$ tickets à gratter contient des tickets gagnants : la probabilité qu’un ticket pris au hasard soit gagnant est $0,035$. Nombre de tickets perdants :
   $P(\text{perdant})=1-0,035=0,965$, et $0,965\times 1000=965$ tickets perdants.

On tire au hasard un jeton numéroté de $1$ à $12$. Écris le nombre d’issues communes aux deux événements ($0$ s’ils sont incompatibles).

1. « Tirer un multiple de $4$ » et « tirer un nombre impair » :
   Multiples de $4$ : $4$, $8$, $12$, tous pairs. Aucune issue commune : les événements sont incompatibles.
2. « Tirer un multiple de $3$ » et « tirer un nombre pair » :
   Multiples de $3$ : $3$, $6$, $9$, $12$. Les pairs parmi eux : $6$ et $12$, soit $2$ issues communes.
3. « Tirer un multiple de $5$ » et « tirer un nombre plus grand que $9$ » :
   Multiples de $5$ : $5$ et $10$ ; nombres plus grands que $9$ : $10$, $11$, $12$. Seul $10$ est commun : $1$ issue commune, les événements ne sont pas incompatibles.
4. « Tirer un diviseur de $12$ » et « tirer un multiple de $5$ » :
   Diviseurs de $12$ : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$ ; multiples de $5$ : $5$, $10$. Aucune issue commune : incompatibles.

Calcule $P(A\text{ ou }B)$ (fraction simplifiée ou écriture décimale).

1. $A$ et $B$ incompatibles, $P(A)=0,3$ et $P(B)=0,45$ :
   Incompatibles : $P(A\text{ ou }B)=0,3+0,45=0,75$.
2. Roue à $10$ secteurs égaux numérotés de $1$ à $10$ : « obtenir $7$ ou un multiple de $4$ » :
   Multiples de $4$ : $4$ et $8$ ; $7$ n’en est pas un, les événements sont incompatibles.
   ${\displaystyle \frac{1}{10}}+{\displaystyle \frac{2}{10}}={\displaystyle \frac{3}{10}}$.
3. Jetons de $1$ à $20$ : « multiple de $4$ ou multiple de $6$ » :
   Multiples de $4$ : $4$, $8$, $12$, $16$, $20$ ; de $6$ : $6$, $12$, $18$. Le $12$ est commun : $5+3-1=7$ issues, ${\displaystyle \frac{7}{20}}$.
4. Jeu de $32$ cartes : « tirer une dame ou une carte rouge » (cœur ou carreau) :
   $4$ dames et $16$ cartes rouges ; la dame de cœur et la dame de carreau sont communes : $4+16-2=18$ cartes.
   ${\displaystyle \frac{18}{32}}={\displaystyle \frac{9}{16}}$.

Raisonne avec « et », « ou » et le contraire.

1. $A$ et $B$ incompatibles, $P(A)=0,14$ et $P(B)=0,57$. $P(\text{ni }A\text{ ni }B)=$
   $P(A\text{ ou }B)=0,14+0,57=0,71$. « Ni $A$ ni $B$ » est le contraire de « $A$ ou $B$ » : $1-0,71=0,29$.
2. Jetons de $1$ à $30$ : probabilité de « multiple de $2$ et multiple de $3$ » (fraction simplifiée) :
   Il faut être à la fois pair et multiple de $3$ : $6$, $12$, $18$, $24$, $30$, soit $5$ issues. ${\displaystyle \frac{5}{30}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$.
3. Avec un dé à $6$ faces, un élève calcule la probabilité de « obtenir au moins $4$ ou un nombre pair » en additionnant ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, et trouve $1$. De combien son résultat dépasse-t-il la bonne probabilité (fraction simplifiée) ?
   « Au moins $4$ » : $4$, $5$, $6$ ; pairs : $2$, $4$, $6$. Les issues de « au moins $4$ ou pair » sont $2$, $4$, $5$, $6$ : la bonne probabilité est ${\displaystyle \frac{4}{6}}$, et l’événement n’est pas certain (le $1$ et le $3$ ne le réalisent pas).
   Écart : $1-{\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ : le $4$ et le $6$ ont été comptés deux fois.

Trouve la probabilité manquante (écriture décimale ou fraction simplifiée).

1. Dé truqué : $P(1)=0,1$, $P(2)=0,15$, $P(3)=0,2$, $P(4)=0,25$, $P(5)=0,1$. $P(6)=$
   $1-(0,1+0,15+0,2+0,25+0,1)=1-0,8=0,2$.
2. Une roue a trois couleurs : $P(\text{rouge})=0,4$ et $P(\text{bleu})=0,32$. $P(\text{vert})=$
   $1-0,4-0,32=0,28$.
3. Une expérience a quatre issues : $P(A)={\displaystyle \frac{1}{3}}$, $P(B)={\displaystyle \frac{1}{4}}$, $P(C)={\displaystyle \frac{1}{6}}$. $P(D)=$
   Au dénominateur $12$ : ${\displaystyle \frac{4}{12}}+{\displaystyle \frac{3}{12}}+{\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{9}{12}}$. $P(D)=1-{\displaystyle \frac{9}{12}}={\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$.

Une toupie à $5$ faces (A, B, C, D, E) est mal équilibrée : $P(\text{A})=0,3$ ; $P(\text{B})=0,15$ ; $P(\text{C})=0,25$ ; $P(\text{D})=0,1$ ; $P(\text{E})=0,2$.

1. $P(\text{A ou C})=$
   Deux issues différentes : $0,3+0,25=0,55$.
2. $P(\text{ne pas obtenir E})=$
   Contraire : $1-0,2=0,8$.
3. $P(\text{obtenir une voyelle})=$
   Les voyelles sont A et E : $0,3+0,2=0,5$.

Roues à secteurs inégaux.

1. Une roue a un secteur jaune de $135°$. $P(\text{jaune})$ (fraction simplifiée) :
   ${\displaystyle \frac{135}{360}}={\displaystyle \frac{27}{72}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$ (on divise par $5$, puis par $9$).
2. Sur une roue, $P(\text{bleu})=0,35$. Angle du secteur bleu : °
   Le secteur occupe $0,35$ du tour : $0,35\times 360=126$, soit $126°$.
3. Une roue a trois secteurs : rouge de $100°$, vert de $140°$, et un secteur blanc. $P(\text{blanc})$ (fraction simplifiée) :
   Blanc : $360-100-140=120$, soit $120°$. $P(\text{blanc})={\displaystyle \frac{120}{360}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Calcule la fréquence en écriture décimale.

1. Sur $250$ lancers d’un dé, le $6$ sort $43$ fois. Fréquence du $6$ :
   $43÷250=0,172$.
2. Une pièce lancée $80$ fois tombe $46$ fois sur pile. Fréquence de pile :
   $46÷80=0,575$.
3. Sur $40$ services au tennis, Inès en réussit $30$. Fréquence de réussite :
   ${\displaystyle \frac{30}{40}}={\displaystyle \frac{3}{4}}=0,75$.

Fréquences et nombres de réalisations.

1. La fréquence d’un événement sur $60$ essais vaut $0,35$. Nombre de réalisations :
   $0,35\times 60=21$.
2. On lance $1200$ fois un dé équilibré à $6$ faces. Nombre de $3$ attendu, environ :
   $1200\times {\displaystyle \frac{1}{6}}=200$ : environ $200$ fois, pas exactement.
3. On tire $500$ fois une boule, en la remettant à chaque fois, dans une urne de $20$ boules dont $7$ noires. Nombre de boules noires attendu, environ :
   $P(\text{noire})={\displaystyle \frac{7}{20}}=0,35$ et $500\times 0,35=175$.

Estime une probabilité par une fréquence (écriture décimale).

1. Une punaise lancée $800$ fois retombe $472$ fois pointe en l’air. Estimation de $P(\text{pointe en l’air})$ :
   $472÷800=0,59$. $800$ lancers, c’est beaucoup : on estime la probabilité à $0,59$.
2. Avec cette estimation, combien de fois environ la punaise retombera-t-elle pointe en l’air sur $3000$ lancers ?
   $3000\times 0,59=1770$ fois environ.
3. Un dé lancé $1800$ fois donne $540$ fois le $6$. Combien de $6$ aurait-on attendu, environ, avec un dé équilibré ?
   $1800\times {\displaystyle \frac{1}{6}}=300$. Le dé a donné $540$ fois le $6$ (fréquence $0,3$), bien plus que $300$ sur un grand nombre de lancers : il est probablement truqué.