Statistiques : moyenne pondérée et médiane

Notes (sur 5) d’un groupe : $4,5$ ; $3$ ; $4,5$ ; $5$ ; $3,5$ ; $4,5$ ; $3$ ; $5$. Donne un nombre.

1. Effectif total $N$ :
   On compte les données : $8$ notes.
2. Effectif de la valeur $4,5$ :
   $4,5$ apparaît trois fois.
3. Fréquence de la valeur $3$ (nombre décimal) :
   La note $3$ apparaît $2$ fois : $2÷8=0,25$.
4. Fréquence de la valeur $4,5$, en pourcentage : %
   $3÷8=0,375$, soit $37,5\%$.

Fréquences et effectifs.

1. Dans une série de $40$ données, une valeur a un effectif de $13$. Sa fréquence en pourcentage : %
   $13÷40=0,325$, soit $32,5\%$.
2. Une valeur a une fréquence de $0,15$ dans une série de $60$ données. Son effectif :
   Effectif = fréquence × effectif total : $0,15\times 60=9$.
3. Trois valeurs ont pour fréquences $0,2$ ; $0,45$ et $f$. Alors $f=$
   Les fréquences font $1$ en tout : $1-(0,2+0,45)=1-0,65=0,35$.
4. Une valeur d’effectif $21$ a une fréquence de $0,28$. Effectif total :
   Effectif total = effectif ÷ fréquence : $21÷0,28=75$. Contrôle : $0,28\times 75=21$.

Sport préféré de $90$ élèves : football $33$, basket $21$, natation $24$, tennis $12$. On veut un diagramme circulaire.

1. Angle du secteur « football » : °
   $360÷90=4$ : un élève compte pour $4°$. Football : $33\times 4=132$, donc $132°$.
2. Angle du secteur « tennis » : °
   $12\times 4=48$, donc $48°$. Contrôle : $132+84+96+48=360$.
3. Sur un autre diagramme circulaire, qui représente $200$ personnes, un secteur mesure $54°$. Effectif de ce secteur :
   $54÷360=0,15$ et $0,15\times 200=30$ personnes.

Calcule la moyenne (valeur exacte).

1. Moyenne de $7,5$ ; $13$ ; $10,25$ :
   $(7,5+13+10,25)÷3=30,75÷3=10,25$.
2. Moyenne de $18$ et $6,5$ :
   $(18+6,5)÷2=24,5÷2=12,25$.
3. Moyenne de $0$ ; $14$ ; $9$ ; $17$ :
   $(0+14+9+17)÷4=40÷4=10$ : le $0$ compte, on divise par $4$.
4. Trois valeurs ont pour moyenne $8,4$. Leur somme vaut
   Somme = moyenne × nombre de valeurs : $8,4\times 3=25,2$.

Raisonne avec la somme des valeurs.

1. Six notes ont pour moyenne $12,5$. On ajoute une note de $16$. Nouvelle moyenne :
   Somme des six notes : $12,5\times 6=75$. Avec la nouvelle : $(75+16)÷7=91÷7=13$.
2. Cinq valeurs ont pour moyenne $9$ : $6$ ; $8$ ; $11$ ; $12$ et $x$. Alors $x=$
   Somme : $9\times 5=45$. Valeurs connues : $6+8+11+12=37$. Donc $x=45-37=8$.
3. Quatorze valeurs ont pour moyenne $6,5$. On retire une valeur égale à $13$. Nouvelle moyenne :
   Somme : $6,5\times 14=91$. Sans la valeur $13$ : $(91-13)÷13=78÷13=6$.

Notes d’un contrôle : $7$ (effectif $5$), $11,5$ (effectif $6$), $14$ (effectif $7$), $18$ (effectif $2$).

1. Effectif total :
   $5+6+7+2=20$ élèves.
2. Somme de toutes les notes :
   $7\times 5+11,5\times 6+14\times 7+18\times 2=35+69+98+36=238$.
3. Moyenne de la classe :
   $238÷20=11,9$ (et non $238÷4$ : on divise par l’effectif total).

Coefficients et groupes.

1. Lina a $14$ en maths (coefficient $4$), $11$ en français (coefficient $3$), $16$ en histoire (coefficient $2$) et $18$ en EPS (coefficient $1$). Somme des coefficients :
   $4+3+2+1=10$.
2. Moyenne pondérée de Lina :
   $(14\times 4+11\times 3+16\times 2+18\times 1)÷10=(56+33+32+18)÷10=139÷10=13,9$. Sans coefficients, on trouverait $59÷4=14,75$.
3. Dans un club, les $12$ filles mesurent en moyenne $158$ cm et les $18$ garçons $163$ cm. Taille moyenne des $30$ membres : cm
   $(12\times 158+18\times 163)÷30=(1896+2934)÷30=4830÷30=161$ cm, et non $(158+163)÷2=160,5$.

Les deux premières questions portent sur le diagramme.

1. Nombre total de lancers réussis par les $25$ joueurs :
   Lecture : $2$ ; $4$ ; $7$ ; $8$ ; $4$ joueurs. $0\times 2+1\times 4+2\times 7+3\times 8+4\times 4=0+4+14+24+16=58$.
2. Nombre moyen de lancers réussis par joueur :
   $58÷25=2,32$ lancers réussis en moyenne.
3. Hugo a $10$ (coefficient $3$) et une autre note au coefficient $2$. Quelle note lui faut-il pour avoir exactement $12$ de moyenne ?
   Somme pondérée voulue : $12\times (3+2)=60$. Déjà acquis : $10\times 3=30$. Il manque $60-30=30$ points, soit une note de $30÷2=15$.

Range chaque série, puis donne sa médiane.

1. $13$ ; $6$ ; $9$ ; $21$ ; $17$ → médiane
   Rangée : $6$ ; $9$ ; $13$ ; $17$ ; $21$. $N=5$ : la 3ᵉ valeur, $13$.
2. $4,5$ ; $2$ ; $8$ ; $3,5$ → médiane
   Rangée : $2$ ; $3,5$ ; $4,5$ ; $8$. $N=4$ : $(3,5+4,5)÷2=4$, qui n’est pas une valeur de la série.
3. $10$ ; $7$ ; $7$ ; $12$ ; $9$ ; $15$ ; $7$ ; $11$ → médiane
   Rangée : $7$ ; $7$ ; $7$ ; $9$ ; $10$ ; $11$ ; $12$ ; $15$. $N=8$ : 4ᵉ et 5ᵉ valeurs, $(9+10)÷2=9,5$.
4. Une série rangée compte $31$ valeurs. Rang de la médiane :
   $N=31$ est impair : $(31+1)÷2=16$. La médiane est la 16ᵉ valeur (15 avant, 15 après).

Médiane à partir d’un tableau d’effectifs.

1. Pointures de $25$ joueuses : $37$ (effectif $4$), $38$ (effectif $7$), $39$ (effectif $8$), $40$ (effectif $4$), $41$ (effectif $2$). Médiane :
   $N=25$ : rang $13$. Effectifs cumulés : $4$ ; $11$ ; $19$… Les rangs 12 à 19 valent $39$ : médiane $39$.
2. Notes : $7$ (effectif $4$), $10,5$ (effectif $6$), $13$ (effectif $7$), $17$ (effectif $3$). Médiane :
   $N=20$ : 10ᵉ et 11ᵉ valeurs. Effectifs cumulés : $4$ ; $10$ ; $17$. La 10ᵉ note est $10,5$, la 11ᵉ est $13$ : $(10,5+13)÷2=11,75$.

Raisonne sur la médiane.

1. Série rangée : $4$ ; $6$ ; $7$ ; $x$ ; $12$ ; $15$, de médiane $8$. Alors $x=$
   $N=6$ : la médiane est $(7+x)÷2=8$, donc $7+x=16$ et $x=9$. On vérifie : $7⩽9⩽12$, la série reste rangée.
2. La série $3$ ; $5$ ; $9$ ; $14$ a pour médiane $7$. On ajoute la valeur $20$. Nouvelle médiane :
   Rangée : $3$ ; $5$ ; $9$ ; $14$ ; $20$. $N=5$ : la 3ᵉ valeur, $9$.

Étendue.

1. Étendue de $6,5$ ; $12$ ; $3,5$ ; $9$ :
   $12-3,5=8,5$.
2. Températures relevées (en °C) : $-2$ ; $5$ ; $3$ ; $-4$ ; $1$. Étendue : °C
   Plus grande valeur $5$, plus petite $-4$ : $5-(-4)=5+4=9$ °C.
3. Le maximum d’une série est $31$ et son étendue $13$. Son minimum :
   Étendue = max − min, donc min = max − étendue : $31-13=18$.

Valeurs extrêmes et transformations.

1. Une série de $25$ valeurs a pour moyenne $14$. On ajoute $2$ à chaque valeur. Nouvelle moyenne :
   La somme augmente de $25\times 2=50$ : $(350+50)÷25=16$. Toutes les valeurs augmentent de $2$, la moyenne aussi.
2. Une série a une étendue de $7$. On ajoute $3$ à chaque valeur. Nouvelle étendue :
   Le maximum et le minimum augmentent tous deux de $3$ : leur différence ne change pas, l’étendue reste $7$.
3. Série : $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ ; $86$. Quel indicateur décrit le mieux une valeur typique ? Écris « moyenne » ou « médiane » :
   Moyenne : $100÷5=20$, plus grande que quatre valeurs sur cinq ; médiane : $4$. La valeur $86$ tire la moyenne : la médiane décrit mieux la série.

Deux séries de notes : A : $9$ ; $10$ ; $10$ ; $11$ et B : $2$ ; $8$ ; $12$ ; $18$.

1. Moyenne de A : ; moyenne de B :
   A : $40÷4=10$. B : $(2+8+12+18)÷4=40÷4=10$. Même moyenne.
2. Étendue de A : ; étendue de B :
   A : $11-9=2$. B : $18-2=16$. Les notes de B sont bien plus dispersées.
3. Médiane de B :
   $N=4$ : $(8+12)÷2=10$. Même moyenne, même médiane que A, mais pas la même étendue : il faut les trois indicateurs pour comparer.