Expériences aléatoires, événements, calculs de probabilités
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Les probabilités » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'expérience aléatoire, les issues, Un événement, La probabilité d'un événement, L'échelle des probabilités (de 0 à 1). Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Expérience aléatoire, issues
2 · Événement (certain, impossible)
3 · Probabilité d'un événement
4 · L'échelle de 0 à 1
5 · Équiprobabilité : favorables / possibles
6 · Événement contraire
7 · Fréquence et probabilité
8 · Expériences à deux épreuves (tableau)
1L'expérience aléatoire, les issues
Certaines situations ont un résultat que l'on ne peut pas prévoir à l'avance, même en connaissant bien le départ : c'est le hasard.
Définition. Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat avant de l'avoir réalisée. Chaque résultat possible s'appelle une issue.
Exemples d'expériences aléatoires et de leurs issues :
Lancer une pièce de monnaie → 2 issues : Pile ou Face.
Lancer un dé à 6 faces → 6 issues : 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
Tirer une boule dans un sac qui contient des boules de couleurs → une issue par couleur possible.
Faire tourner une roue de loterie partagée en secteurs.
⚠️ Une expérience n'est pas aléatoire si on connaît son résultat d'avance. « Quel jour sera demain ? » n'est pas une expérience aléatoire : la réponse est certaine.
💡 Pour bien démarrer un exercice, commence toujours par lister toutes les issues possibles. On les regroupe parfois dans un ensemble noté entre accolades, par exemple pour le dé : { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }.
2Un événement
Définition. Un événement est une phrase qui décrit un ou plusieurs résultats de l'expérience. On dit qu'un événement est réalisé quand l'issue obtenue fait partie de cet événement.
Avec le lancer d'un dé à 6 faces :
« Obtenir 5 » : un seul résultat le réalise (l'issue 5). On parle d'événement élémentaire.
« Obtenir un nombre pair » : il est réalisé par 3 issues → 2, 4 et 6.
« Obtenir un nombre plus grand que 4 » : réalisé par 5 et 6.
Deux événements particuliers.
• Un événement certain est réalisé à coup sûr (ex. « obtenir un nombre entre 1 et 6 » avec un dé).
• Un événement impossible ne se réalise jamais (ex. « obtenir 7 » avec un dé à 6 faces).
💡 Méthode : pour un événement donné, écris la liste des issues qui le réalisent. C'est cette liste qui servira ensuite à calculer la probabilité.
3La probabilité d'un événement
Définition. La probabilité d'un événement est un nombre qui mesure la chance qu'il a de se réaliser. On la note souvent p. C'est un nombre compris entre 0 et 1.
On peut la donner sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage : par exemple 12 = 0,5 = 50 %.
Une probabilité de 0 signifie : événement impossible.
Une probabilité de 1 signifie : événement certain.
Plus la probabilité est proche de 1, plus l'événement a de chances de se produire.
⚠️ Une probabilité ne peut jamais être négative ni plus grande que 1. Un résultat comme « 1,3 » ou « 75 » signale forcément une erreur de calcul.
4L'échelle des probabilités (de 0 à 1)
On peut placer chaque événement sur une échelle qui va de 0 (impossible) à 1 (certain). Plus on va vers la droite, plus l'événement est probable.
Un événement impossible est tout à gauche : p = 0.
Un événement certain est tout à droite : p = 1.
Quand un événement a « autant de chances de se produire que de ne pas se produire », sa probabilité est 0,5 (le milieu).
💡 Vocabulaire utile : improbable / peu probable (proche de 0), aussi probable que le contraire (0,5), probable / très probable (proche de 1).
5L'équiprobabilité : favorables / possibles
Situation d'équiprobabilité. Quand toutes les issues ont la même chance de se produire (dé bien équilibré, pièce non truquée, boules identiques au toucher), on dit qu'il y a équiprobabilité.
Dans ce cas, on calcule une probabilité avec une formule simple :
p(événement) = nombre d'issues favorablesnombre d'issues possibles
« Favorables » = les issues qui réalisent l'événement. « Possibles » = toutes les issues de l'expérience.
Méthode pas à pas
Étape 1. Compter le nombre total d'issues possibles.
Étape 2. Compter les issues favorables (celles qui réalisent l'événement).
Étape 3. Écrire la fraction favorablespossibles, puis la simplifier si possible.
Exemple. On lance un dé équilibré. Probabilité d'obtenir un nombre pair ? Possibles : 6 issues (1 à 6). Favorables : 2, 4, 6 → 3 issues. p(pair) = 36 = 12 = 0,5.
Exemple. Un sac contient 5 boules : 2 rouges, 3 vertes (identiques au toucher). On en tire une. p(rouge) = 25 = 0,4 · p(verte) = 35 = 0,6.
⚠️ La formule favorablespossibles n'est valable que s'il y a équiprobabilité. Si les issues n'ont pas la même chance (roue avec des secteurs inégaux, dé truqué), elle ne s'applique pas.
6L'événement contraire
Définition. L'événement contraire d'un événement A est l'événement qui se réalise exactement quand A ne se réalise pas. On le note souvent « non A ».
Comme A se réalise, ou bien ne se réalise pas, la somme de leurs deux probabilités vaut toujours 1 :
p(A) + p(non A) = 1 donc p(non A) = 1 − p(A)
Exemple. Avec un dé, A = « obtenir 6 » a pour probabilité p(A) = 16. Le contraire « ne pas obtenir 6 » a pour probabilité 1 − 16 = 66 − 16 = 56.
💡 Astuce gain de temps. Quand l'événement « au moins un… » ou « pas… » est compliqué à dénombrer directement, calcule plutôt la probabilité du contraire, puis fais 1 − cette probabilité.
⚠️ Le contraire de « obtenir un nombre plus petit que 3 » n'est pas « obtenir un nombre plus grand que 3 » : c'est « obtenir un nombre supérieur ou égal à 3 » (il ne faut pas oublier le 3 lui-même).
7Fréquence et probabilité
Si on répète une expérience un grand nombre de fois, on peut compter combien de fois un résultat apparaît. La fréquence d'un résultat est :
fréquence = nombre de fois où le résultat apparaîtnombre total d'essais
Loi des grands nombres (idée). Quand on répète l'expérience de très nombreuses fois, la fréquence d'un résultat se rapproche de sa probabilité.
On lance une pièce équilibrée. La probabilité de Pile est 0,5. Voici des résultats fictifs d'expériences :
Nombre de lancers
Nombre de Piles
Fréquence de Pile
10
7
0,7
100
54
0,54
1000
503
0,503
10 000
4 998
0,4998
On voit que plus on lance, plus la fréquence s'approche de 0,5 = la probabilité.
⚠️ Ne confonds pas fréquence et probabilité. La fréquence se mesure après avoir fait l'expérience (elle change à chaque fois) ; la probabilité est une valeur théorique fixe, calculée à l'avance.
💡 Sur peu d'essais, la fréquence peut être très éloignée de la probabilité (avec 10 lancers, 7 Piles n'est pas étonnant). Cela ne se « rééquilibre » que sur un grand nombre d'essais.
8Expériences à deux épreuves (tableau à double entrée)
Quand une expérience est faite de deux épreuves (par exemple lancer deux dés, ou une pièce puis un dé), on dresse un tableau à double entrée pour lister toutes les issues sans en oublier.
Méthode. On met les résultats de la 1re épreuve sur les lignes, ceux de la 2e épreuve sur les colonnes. Chaque case du tableau correspond à une issue de l'expérience à deux épreuves.
Exemple : on lance deux dés et on note la somme des deux faces. Le tableau donne toutes les sommes possibles :
+
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Le tableau contient 6 × 6 = 36 cases : il y a donc 36 issues possibles, toutes équiprobables.
Exemple. Probabilité d'obtenir une somme égale à 7 ? On compte les cases qui valent 7 dans le tableau : il y en a 6. p(somme = 7) = 636 = 16.
Exemple. Probabilité d'obtenir une somme égale à 12 ? Une seule case vaut 12 → p(somme = 12) = 136.
💡 Pour deux épreuves, le nombre total d'issues = (nombre d'issues de la 1re) × (nombre d'issues de la 2e). Une pièce (2) puis un dé (6) → 2 × 6 = 12 issues.
9Récapitulatif des méthodes
Pour…
On fait…
Calculer une probabilité (équiprobabilité)
favorablespossibles
Trouver le contraire
p(non A) = 1 − p(A)
Vérifier un résultat
la probabilité est entre 0 et 1
Deux épreuves
tableau à double entrée, puis on compte les cases
Lien avec l'expérience
fréquence ≈ probabilité si beaucoup d'essais
🎓 Récap express : expérience aléatoire = résultat imprévisible · issue = un résultat possible · événement = phrase réalisée par certaines issues · probabilité entre 0 et 1 (0 impossible, 1 certain) · en équiprobabilité p = favorables ÷ possibles · contraire : p(non A) = 1 − p(A) · deux épreuves → tableau à double entrée · la fréquence se rapproche de la probabilité quand on répète beaucoup.