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Collège · 4ᵉ · Mathématiques

Les probabilités

Découvrir le vocabulaire du hasard, calculer la probabilité d'un événement dans une situation d'équiprobabilité et comprendre les fréquences (programme de 4e)

À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Les probabilités » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Le vocabulaire du hasard, Issues d'une expérience aléatoire, Probabilité d'un événement, Équiprobabilité : la formule des chances. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.
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Le vocabulaire du hasard

En probabilités, on étudie des situations où le hasard intervient : on ne sait pas à l'avance ce qui va se passer. Il faut d'abord apprendre le vocabulaire.

Définitions.
• Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude (lancer un dé, tirer une carte…).
• Une issue (ou éventualité) est un résultat possible de l'expérience.
• Un événement est un ensemble d'issues qui correspondent à une « phrase » qu'on observe.
Exemple. On lance un dé à 6 faces. C'est une expérience aléatoire. Les issues sont $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$. L'événement « obtenir un nombre pair » regroupe les issues $2$, $4$ et $6$.
Astuce. Une issue, c'est un seul résultat. Un événement peut contenir plusieurs issues (ou une seule, ou même aucune).
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Issues d'une expérience aléatoire

Pour calculer des probabilités, il faut d'abord lister toutes les issues possibles de l'expérience. C'est l'étape la plus importante.

Règle. On note l'ensemble de toutes les issues possibles. Le nombre total d'issues sert de référence pour tous les calculs.
Exemple 1. Une pièce de monnaie : 2 issues, Pile ou Face.
Exemple 2. Un jeu de 32 cartes : 32 issues (une par carte).
Exemple 3. Une urne contenant 3 boules rouges et 2 boules vertes : 5 issues (une par boule).

On peut représenter la composition d'une urne par un diagramme. Voici une urne avec 5 boules rouges, 3 vertes et 2 bleues :

Attention ! Si tu oublies une issue, tout le calcul est faux. Compte bien chaque résultat possible avant de continuer.
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Probabilité d'un événement

La probabilité d'un événement mesure sa chance de se produire. C'est un nombre.

Règle. La probabilité d'un événement, notée $P$, est un nombre compris entre $0$ et $1$ :
$$0 \leqslant P \leqslant 1$$
• $P = 0$ : l'événement est impossible.
• $P = 1$ : l'événement est certain.
• Plus $P$ est proche de $1$, plus l'événement a de chances de se produire.
Propriété. La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience est égale à $1$.
Exemple. Pour un dé équilibré, chaque face a une probabilité de $\dfrac{1}{6}$. La somme vaut $6 \times \dfrac{1}{6} = 1$. C'est cohérent : on est sûr d'obtenir une des six faces.
Astuce. Une probabilité peut s'écrire en fraction ($\dfrac{1}{6}$), en nombre décimal ($\approx 0{,}17$) ou en pourcentage ($\approx 17\%$). Les trois disent la même chose.
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Équiprobabilité : la formule des chances

Quand toutes les issues ont la même chance de se produire, on dit qu'il y a équiprobabilité. C'est le cas d'un dé équilibré, d'une pièce non truquée ou d'un tirage au hasard.

Règle (cas d'équiprobabilité). La probabilité d'un événement vaut :
$$P = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}$$
Les issues favorables sont celles qui réalisent l'événement.
Exemple 1. Obtenir un nombre pair avec un dé : issues favorables $2$, $4$, $6$ (soit $3$), sur $6$ issues possibles. Donc $P = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.
Exemple 2. Tirer un roi dans un jeu de 32 cartes : $4$ rois favorables sur $32$ cartes, donc $P = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$.
Exemple 3. Tirer une boule rouge dans une urne de $3$ rouges et $2$ vertes : $P = \dfrac{3}{5}$.
Attention ! La formule $P = \dfrac{\text{favorables}}{\text{possibles}}$ ne marche que si toutes les issues sont équiprobables. Avec un dé truqué, on ne peut pas l'utiliser.
Astuce. Pense à simplifier la fraction obtenue : $\dfrac{4}{32}$ devient $\dfrac{1}{8}$.
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Échelle des probabilités

On peut placer la probabilité d'un événement sur une échelle allant de $0$ (impossible) à $1$ (certain). Cela aide à interpréter le résultat.

À retenir.
• Un événement impossible a une probabilité de $0$ (ex. obtenir $7$ avec un dé à 6 faces).
• Un événement certain a une probabilité de $1$ (ex. obtenir un nombre inférieur à $7$ avec ce dé).
• Un événement a « une chance sur deux » lorsque $P = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.
Exemple. La météo annonce « $70\%$ de risque de pluie ». Cela veut dire que la probabilité qu'il pleuve est $P = 0{,}7$, soit proche de $1$ : il est très probable qu'il pleuve.
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Fréquence et loi des grands nombres

Avant de calculer, on peut aussi réaliser l'expérience plusieurs fois et observer ce qui arrive : c'est la fréquence.

Règle. La fréquence d'un événement après une série d'essais vaut :
$$f = \dfrac{\text{nombre de fois où l'événement se produit}}{\text{nombre total d'essais}}$$
Loi des grands nombres. Quand on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire, la fréquence d'un événement se rapproche de sa probabilité.
Exemple. On lance une pièce $1000$ fois et on obtient $487$ fois Pile. La fréquence de Pile est $f = \dfrac{487}{1000} = 0{,}487$, très proche de la probabilité théorique $0{,}5$.

Le graphique montre comment la fréquence de Pile se stabilise vers $0{,}5$ quand le nombre de lancers augmente :

Attention ! Sur peu d'essais, la fréquence peut être éloignée de la probabilité. Il faut beaucoup d'essais pour que les deux se rapprochent.
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Méthode : calculer une probabilité

Pour calculer la probabilité d'un événement dans un cas d'équiprobabilité, suis toujours ces étapes :

SituationProbabilité
Pile (pièce)$\dfrac{1}{2}$
Un 6 (dé)$\dfrac{1}{6}$
Un nombre pair (dé)$\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$
Un roi (32 cartes)$\dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$
Un cœur (32 cartes)$\dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}$
Astuce finale. Vérifie toujours que ton résultat est compris entre $0$ et $1$. Si tu trouves un nombre plus grand que $1$, c'est qu'il y a une erreur !
En bref
  • Une expérience aléatoire a plusieurs issues ; un événement regroupe une ou plusieurs issues.
  • Une probabilité est un nombre entre $0$ (impossible) et $1$ (certain) ; la somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$.
  • En cas d'équiprobabilité : $P = \dfrac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}$, puis on simplifie.
  • La fréquence $f = \dfrac{\text{cas observés}}{\text{essais}}$ se rapproche de la probabilité quand on répète beaucoup (loi des grands nombres).
  • Une probabilité s'écrit en fraction, en décimal ou en pourcentage.
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