Probabilités : événement contraire et issues non équiprobables

Rappels de 5e (issues, événements, probabilité entre 0 et 1, équiprobabilité, tableau à double entrée), propriétés des probabilités (somme des probabilités des issues égale à 1), événement contraire et sa probabilité, événements « A et B », « A ou B » et événements incompatibles, issues non équiprobables (tableau de probabilités, roue à secteurs inégaux), fréquence et probabilité : fluctuation, stabilisation sur un grand nombre d’essais, estimation d’une probabilité.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 4e sur les probabilités reprend d’abord les rappels de 5e (issue, événement, équiprobabilité, tableau à double entrée), puis enseigne les propriétés des probabilités et l’événement contraire, les événements « et », « ou » et incompatibles, le tableau de probabilités quand les issues n’ont pas la même chance (dé truqué, roue à secteurs inégaux) et le lien entre fréquence et probabilité.

Rappels de 5ᵉ : issues, événements, équiprobabilité

Ce chapitre reprend tout le travail de 5ᵉ sur le hasard, avec de nouveaux exemples, puis le prolonge : propriétés des probabilités, événement contraire, événements incompatibles, issues qui n’ont pas la même chance et lien entre fréquence et probabilité.

Ce qu’il faut savoir Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles, connus à l’avance, mais on ne peut pas prévoir lequel se produira. Chaque résultat possible est une issue.
Un événement est décrit par une phrase ; il est formé d’issues, les issues favorables, et il est réalisé quand l’issue obtenue en fait partie. Un événement formé d’une seule issue est un événement élémentaire. Il est certain si toutes les issues le réalisent, impossible si aucune.
La probabilité d’un événement

A

, notée

P (A)

, est un nombre compris entre 0 (impossible) et 1 (certain). Elle s’écrit en fraction, en décimal ou en pourcentage :

\frac{3}{8} = 0, 375 = 37, 5 %

.
Quand toutes les issues ont la même chance (équiprobabilité : dé ou pièce équilibrés, tirage au hasard d’objets indiscernables au toucher, roue à secteurs égaux) :
$P (A) = \frac{nombre d’issues favorables à A}{nombre total d’issues}$ .

Exemples

On fait tourner une roue à 5 secteurs égaux numérotés de 1 à 5 : 5 issues. L’événement $A$ « obtenir un nombre pair » est formé des issues 2 et 4 : si la roue s’arrête sur 4, $A$ est réalisé ; sur 3, il ne l’est pas. $P (A) = \frac{2}{5} = 0, 4 = 40 %$ .

Une urne contient 5 boules vertes, 7 rouges et 3 noires, indiscernables au toucher : 15 issues de même chance. $P (rouge) = \frac{7}{15}$ .

Un jeu de 32 cartes compte 4 couleurs (cœur, carreau, pique, trèfle) de 8 cartes : as, roi, dame, valet, 10, 9, 8 et 7. Les figures sont les rois, les dames et les valets : 3 × 4 = 12 cartes. $P (figure) = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}$ .

Un sac contient 45 billes et $P (bleue) = \frac{2}{9}$ : il y a $\frac{2}{9}$ de 45 billes bleues, soit 45 ÷ 9 × 2 = 10 billes bleues.

Deux étapes : le tableau à double entrée

On lance une pièce équilibrée (P pour pile, F pour face), puis on fait tourner une roue à 3 secteurs égaux numérotés 1, 2 et 3. Chaque case du tableau est une issue : les 2 × 3 = 6 cases ont la même chance.

	1	2	3
P	P1	P2	P3
F	F1	F2	F3

« Obtenir face et un nombre impair » : les cases F1 et F3 (en gras), donc $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .

Réflexe — j’écris toutes les issues (ou le tableau à double entrée), je vérifie qu’elles ont la même chance, puis je compte : issues favorables au numérateur, nombre total d’issues au dénominateur ; je simplifie.

Attention — le dénominateur est le nombre total d’issues : 7 boules rouges sur 15, c’est $\frac{7}{15}$ , pas $\frac{7}{8}$ (7 rouges contre 8 autres). Une probabilité ne dépasse jamais 1 : un résultat comme 1,3 ou $\frac{7}{5}$ cache une erreur. Simplifier est conseillé, mais $\frac{12}{32}$ reste une réponse juste : l’essentiel est de bien compter les issues.

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Propriétés des probabilités et événement contraire

Ce qu’il faut savoir • Pour tout événement

A

0 ⩽ P (A) ⩽ 1

;

P (A) = 0

A

est impossible,

P (A) = 1

A

est certain.
• La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1, que les issues aient la même chance ou non.
• La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le forment.
• L’événement contraire de

A

, noté

\overset{―}{A}

(on lit «

A

barre » ou « non

A

»), est formé des issues qui ne sont pas dans

A

: il est réalisé exactement quand

A

ne l’est pas.
$P (\overset{―}{A}) = 1 - P (A)$

Pourquoi ? Chaque issue est soit dans $A$ , soit dans $\overset{―}{A}$ , jamais dans les deux. $P (A) + P (\overset{―}{A})$ est donc la somme des probabilités de toutes les issues, c’est-à-dire 1.

Exemples

Dé équilibré à 6 faces. $A$ : « obtenir 6 » ; $\overset{―}{A}$ : « ne pas obtenir 6 », c’est-à-dire « obtenir 1, 2, 3, 4 ou 5 ». $P (\overset{―}{A}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ .

La probabilité qu’un bus arrive en retard est 0,12 ; la probabilité qu’il n’arrive pas en retard est 1 − 0,12 = 0,88. En pourcentage : 100 % − 12 % = 88 %.

Passer par le contraire pour aller plus vite

Quand les issues favorables sont nombreuses, ou quand l’énoncé dit « ne pas », il est souvent plus court de compter les issues du contraire.

Exemples

Des tickets sont numérotés de 1 à 50. $B$ : « le numéro n’est pas un multiple de 7 ». Le contraire $\overset{―}{B}$ est « le numéro est un multiple de 7 » : 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, soit 7 tickets. $P (\overset{―}{B}) = \frac{7}{50}$ , donc $P (B) = 1 - \frac{7}{50} = \frac{43}{50} = 0, 86$ .

Dé à 6 faces : le contraire de « obtenir au moins 3 » (3, 4, 5, 6) est « obtenir au plus 2 » (1 et 2), et non « obtenir au plus 3 ». $P (au moins 3) = 1 - \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .

Réflexe — devant « ne pas », « aucun », ou quand il y a trop d’issues favorables à compter, je calcule la probabilité du contraire, puis je fais 1 moins elle.

Attention — le contraire de « au moins 3 » est « au plus 2 » : l’issue 3 ne doit être ni oubliée ni comptée deux fois. $P (\overset{―}{A})$ vaut $1 - P (A)$ , ni $\frac{1}{P (A)}$ ni $- P (A)$ . Et une liste de probabilités dont la somme ne fait pas 1 est fausse.

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Événements « et », « ou » et événements incompatibles

Ce qu’il faut savoir Soit

A

B

deux événements d’une même expérience aléatoire.
• L’événement «

A

B

» est réalisé quand

A

B

sont réalisés tous les deux : il est formé des issues communes à

A

et à

B

.
• L’événement «

A

B

» est réalisé quand au moins l’un des deux l’est : il est formé des issues de

A

et de celles de

B

, les issues communes n’étant comptées qu’une fois.
•

A

B

sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps : ils n’ont aucune issue commune. Alors $P (A ou B) = P (A) + P (B)$ .
• S’ils ne sont pas incompatibles, on ne peut pas additionner : on compte les issues de «

A

B

».

Exemples

Dé équilibré à 6 faces : « obtenir 1 » et « obtenir un nombre pair » (2, 4, 6) n’ont aucune issue commune, ils sont incompatibles. $P (1 ou pair) = \frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .

Jetons numérotés de 1 à 20. $A$ : « multiple de 5 » (5, 10, 15, 20) ; $B$ : « multiple de 3 » (3, 6, 9, 12, 15, 18). L’issue 15 est commune : ils ne sont pas incompatibles. « $A$ et $B$ » : seulement 15, donc $\frac{1}{20}$ . « $A$ ou $B$ » : 4 + 6 − 1 = 9 issues, donc $\frac{9}{20}$ , et non $\frac{4}{20} + \frac{6}{20} = \frac{10}{20}$ .

Jeu de 32 cartes : « tirer un roi » (4 cartes) et « tirer un cœur » (8 cartes) ont une issue commune, le roi de cœur. « Roi ou cœur » : 4 + 8 − 1 = 11 cartes, soit $\frac{11}{32}$ .

Contraires et incompatibles

Deux événements contraires sont toujours incompatibles, et à eux deux ils contiennent toutes les issues. Deux événements incompatibles ne sont pas toujours contraires : « obtenir 1 » et « obtenir un nombre pair » laissent de côté les issues 3 et 5.

Le contraire de « $A$ ou $B$ » est « ni $A$ ni $B$ » : aucun des deux n’est réalisé. Avec le dé, « ni 1 ni pair » est formé des issues 3 et 5 : $P = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ , soit $\frac{2}{6}$ .

Réflexe — je cherche une issue commune : aucune, les événements sont incompatibles et j’additionne leurs probabilités ; au moins une, je compte les issues de « $A$ ou $B$ » sans compter deux fois les issues communes.

Attention — en mathématiques, « ou » n’exclut pas les deux à la fois : le roi de cœur réalise « roi ou cœur ». Additionner les probabilités d’événements qui ne sont pas incompatibles compte deux fois les issues communes, et peut même donner plus que 1.

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Issues non équiprobables : le tableau de probabilités

Ce qu’il faut savoir Les issues n’ont pas toujours la même chance : dé truqué, roue à secteurs inégaux, punaise qui retombe « pointe en l’air » ou « sur le côté »… La formule « issues favorables ÷ nombre total d’issues » ne s’applique plus à ces issues.
On donne alors la probabilité de chaque issue dans un tableau de probabilités, et l’on utilise les deux propriétés :
• la somme des probabilités de toutes les issues vaut 1 (pour trouver une case manquante) ;
• la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le forment.
Pour une roue à secteurs inégaux, la probabilité d’un secteur est la part de la roue qu’il occupe : angle du secteur ÷ 360°.

Exemple

Une roue a trois secteurs inégaux. On connaît deux des trois probabilités :

Issue	rouge	bleu	jaune
Probabilité	0,5	0,3	?

Calculs

La somme des probabilités vaut 1 : $P (jaune) = 1 - 0, 5 - 0, 3 = 0, 2$ .

$P (rouge ou jaune) = 0, 5 + 0, 2 = 0, 7$ : deux issues différentes sont incompatibles, on additionne.

$P (pas bleu) = 1 - 0, 3 = 0, 7$ : c’est le même événement que « rouge ou jaune ».

Une roue à secteurs inégaux

Exemples

120° + 90° + 150° = 360° : la roue est complète. $P (vert) = \frac{150}{360} = \frac{5}{12}$ ; $P (rouge) = \frac{120}{360} = \frac{1}{3}$ ; $P (bleu) = \frac{90}{360} = \frac{1}{4}$ .

Vérification : $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{12}{12} = 1$ .

Dans l’urne de 5 boules vertes, 7 rouges et 3 noires, si l’on ne regarde que la couleur, il y a 3 issues qui n’ont pas la même chance : $P (verte) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ , $P (rouge) = \frac{7}{15}$ , $P (noire) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$ .

Réflexe — je vérifie d’abord si les issues ont la même chance ; sinon, je travaille avec le tableau des probabilités : la somme fait 1, et j’additionne les probabilités des issues de l’événement.

Attention — trois issues ne veulent pas dire $\frac{1}{3}$ chacune : sur la roue ci-dessus, $P (vert) = \frac{5}{12}$ . Dans un tableau de probabilités, on additionne des probabilités, on ne compte pas des issues.

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Fréquence et probabilité

Ce qu’il faut savoir On répète

n

fois une expérience aléatoire. La fréquence d’un événement

A

est $f = \frac{nombre de fois où A est réalisé}{n}$ , en fraction, en décimal ou en pourcentage.
La fréquence change d’une série d’essais à l’autre : c’est la fluctuation. Quand le nombre d’essais devient très grand, la fréquence de

A

se stabilise autour de

P (A)

: c’est la loi des grands nombres.
Ainsi, quand on ne sait pas calculer une probabilité (punaise, dé truqué, objet sans symétrie), on l’estime par la fréquence observée sur un grand nombre d’essais. Inversement, sur

n

essais, on peut s’attendre à environ

n \times P (A)

réalisations de

A

Exemple

Léo lance une brique de jeu de construction et note combien de fois elle retombe « tenons en haut ».

Nombre de lancers	20	100	1 000	10 000
« Tenons en haut »	13	58	613	6 052
Fréquence	0,65	0,58	0,613	0,605 2

Exemples

Sur 20 ou 100 lancers, la fréquence bouge beaucoup ; ensuite, elle se stabilise vers 0,6. On estime P(tenons en haut) à environ 0,6.

Sur 900 lancers d’un dé équilibré, on peut s’attendre à obtenir le 5 environ $900 \times \frac{1}{6} = 150$ fois : environ, pas exactement.

Une roue à 4 secteurs égaux n’est pas tombée sur le jaune lors des 12 derniers tours. Au tour suivant, $P (jaune)$ vaut toujours $\frac{1}{4}$ : le hasard n’a pas de mémoire.

Réflexe — fréquence = nombre de réalisations ÷ nombre d’essais ; je ne m’en sers comme estimation de la probabilité que si le nombre d’essais est grand.

Attention — une fréquence calculée sur 20 essais n’est pas une probabilité : sur 20 lancers, la brique a donné 0,65. Quelques essais ne suffisent pas pour dire qu’un dé est truqué. Et un nombre attendu (150 fois le 5) n’est qu’un ordre de grandeur.

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Pour aller plus loin

Fréquences et statistiques — calculer des effectifs et des fréquences, les représenter par un diagramme circulaire : voir Statistiques : moyenne pondérée et médiane.

Additionner des fractions — pour additionner des probabilités écrites en fractions ( $\frac{1}{6} + \frac{1}{3}$ ), on les met au même dénominateur : voir Fractions : comparer, additionner, soustraire avec des relatifs.

En 3ᵉ — les expériences à deux épreuves (deux dés, une pièce puis un dé…) deviennent une notion à part entière, et l’on simule un grand nombre d’expériences, par exemple avec un tableur, pour observer la stabilisation des fréquences.

À retenir

En équiprobabilité, P(A) = nombre d’issues favorables ÷ nombre total d’issues ; une probabilité est comprise entre 0 (impossible) et 1 (certain) et s’écrit en fraction, en décimal ou en pourcentage.
La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1 ; la probabilité d’un événement est la somme des probabilités de ses issues.
L’événement contraire de A, noté Ā (« non A »), est réalisé exactement quand A ne l’est pas : P(Ā) = 1 − P(A).
A et B sont incompatibles s’ils n’ont aucune issue commune : alors P(A ou B) = P(A) + P(B) ; sinon, on compte les issues de « A ou B » sans compter deux fois les issues communes.
Sur un grand nombre d’essais, la fréquence d’un événement se stabilise autour de sa probabilité : on estime ainsi une probabilité qu’on ne sait pas calculer. Le hasard n’a pas de mémoire.

Questions fréquentes

Comment calculer une probabilité ?

Si toutes les issues ont la même chance (dé équilibré, tirage au hasard…), on divise le nombre d’issues favorables par le nombre total d’issues. Dans une urne de 5 boules vertes, 7 rouges et 3 noires, P(rouge) = 7/15. Le résultat est toujours compris entre 0 et 1.

Qu’est-ce que l’événement contraire et comment calculer sa probabilité ?

Le contraire de A, noté Ā ou « non A », est réalisé exactement quand A ne l’est pas. Comme P(A) + P(Ā) = 1, on a P(Ā) = 1 − P(A) : si un bus arrive en retard avec la probabilité 0,12, il n’arrive pas en retard avec la probabilité 0,88. Attention : le contraire de « au moins 3 » est « au plus 2 ».

Que veut dire « événements incompatibles » ?

Deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps : ils n’ont aucune issue commune. On peut alors additionner leurs probabilités : P(A ou B) = P(A) + P(B). Pour « roi » et « cœur » dans un jeu de 32 cartes, le roi de cœur est commun : on compte 4 + 8 − 1 = 11 cartes, et P(roi ou cœur) = 11/32.

Comment faire quand les issues n’ont pas la même chance ?

On utilise un tableau de probabilités : la somme des probabilités de toutes les issues vaut 1, ce qui permet de trouver une case manquante, et la probabilité d’un événement est la somme des probabilités de ses issues. Pour une roue à secteurs inégaux, on divise l’angle du secteur par 360° : un secteur de 150° a une probabilité de 150/360 = 5/12.

Quel est le lien entre fréquence et probabilité ?

La fréquence est le nombre de réalisations divisé par le nombre d’essais. Elle fluctue d’une série à l’autre, mais sur un très grand nombre d’essais elle se stabilise autour de la probabilité (loi des grands nombres) : c’est ainsi qu’on estime la probabilité qu’une punaise retombe pointe en l’air. Sur 20 essais, ce n’est qu’une indication.

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