Probabilités : événement contraire et issues non équiprobables

1. a)${\displaystyle \frac{15}{40}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$ (1)
2. b)${\displaystyle \frac{23}{40}}$ (1)
3. c)$7$ confirmés en escalade : ${\displaystyle \frac{7}{40}}$ (1)
4. d)$12+23-8=27$ membres : ${\displaystyle \frac{27}{40}}$. Les deux événements ne sont pas incompatibles : additionner compterait deux fois les $8$ débutants en natation (${\displaystyle \frac{12}{40}}+{\displaystyle \frac{23}{40}}={\displaystyle \frac{35}{40}}$, faux) (1)

Méthode — Dans un tableau, « et » se lit dans une case, « ou » réunit une ligne et une colonne : la case commune ne se compte qu’une fois.

1. a)$4$, $8$, $12$ : ${\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ (1)
2. b)$2$, $3$, $5$, $7$, $11$ : ${\displaystyle \frac{5}{12}}$ (1)
3. c)Multiples de $5$ : $5$ et $10$, donc $P(\text{multiple de }5)={\displaystyle \frac{2}{12}}$. Contraire : $1-{\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{10}{12}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$ (1)
4. d)Pairs : $6$ issues ; multiples de $3$ : $3$, $6$, $9$, $12$, soit $4$ issues ; $6$ et $12$ sont comptés deux fois : $6+4-2=8$ issues, ${\displaystyle \frac{8}{12}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ (1)

Repère — Avant d’additionner, je cherche les issues communes ; « pas un multiple de $5$ » se calcule plus vite par le contraire.

1. a)La somme des probabilités vaut $1$ : $P(5)=1-(0,12+0,18+0,20+0,15+0,20)=1-0,85=0,15$ (1)
2. b)$P(2)+P(4)+P(6)=0,18+0,15+0,20=0,53$ (1)
3. c)$P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=0,20+0,15+0,15+0,20=0,70$ (ou $1-P(1)-P(2)=1-0,30=0,70$) (1)
4. d)Environ $500\times 0,2=100$ fois. Pas exactement : le nombre de $6$ fluctue, il sera seulement proche de $100$ (1)

Le point clé — Sans équiprobabilité, on additionne les probabilités des issues ; la somme de toutes vaut toujours $1$.

1. a)Faux : la pièce n’a pas de mémoire, $P(\text{face})=0,5$ à chaque lancer (1)
2. b)Vrai : son contraire a la probabilité $1-0,999=0,001$, qui n’est pas $0$ ; seule une probabilité de $1$ garantit la réalisation (1)
3. c)Faux : $2$ est à la fois premier et pair, les deux événements peuvent se réaliser en même temps (1)
4. d)Faux : $20$ essais sont trop peu ; la fréquence ne se rapproche de la probabilité que sur un grand nombre d’essais (1)

Méthode — Pour montrer qu’une affirmation est fausse, un contre-exemple suffit (ici l’issue $2$) ; pour la fréquence, on regarde toujours le nombre d’essais.

1. a)$P(\text{vélo})={\displaystyle \frac{5}{200}}={\displaystyle \frac{1}{40}}$ ; $5+15+30=50$ lots, $P(\text{lot})={\displaystyle \frac{50}{200}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ (1)
2. b)$200-50=150$ tickets perdants : ${\displaystyle \frac{150}{200}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$ ; ou par le contraire : $1-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$ (1)
3. c)Il reste $200-120=80$ tickets, dont les $5$ vélos : ${\displaystyle \frac{5}{80}}={\displaystyle \frac{1}{16}}$ (1)
4. d)Avec $x$ tickets ajoutés : ${\displaystyle \frac{50+x}{200+x}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$, soit $3(50+x)=200+x$, $150+3x=200+x$, $2x=50$, $x=25$. Vérification : ${\displaystyle \frac{75}{225}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ (1)

Méthode — Une probabilité dépend du nombre total d’issues : quand des tickets sont tirés ou ajoutés, on recompte le total avant de calculer.