Statistiques : moyenne pondérée et médiane

Rappels de 5e (série statistique, caractère, effectifs, fréquences, diagramme circulaire ; moyenne, somme et valeur manquante), moyenne pondérée par des effectifs ou des coefficients (tableau, diagramme en barres, deux groupes), médiane d’une série d’effectif pair ou impair et à partir d’un tableau d’effectifs cumulés, étendue et choix d’un indicateur (valeur extrême, comparer deux séries).

À propos de cette page

Six problèmes corrigés de statistiques : les trajets de Nadia un jour de grève, les buts d’une saison de football, le prix des pommes dans sept magasins, les frères et sœurs de 30 élèves, le bulletin de Jade avec coefficients et le choix entre deux basketteurs.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’énoncé et je repère les données : liste de valeurs, tableau d’effectifs, diagramme ou coefficients. Je calcule l’effectif total.
Je choisis l’indicateur demandé : fréquence (une part), moyenne (pondérée s’il y a des effectifs ou des coefficients), médiane (on range d’abord), étendue (la dispersion).
Je calcule sans oublier les effectifs ; si une moyenne est donnée, je repasse par la somme : moyenne × nombre de valeurs.
Je contrôle (fréquences qui font 1, moyenne entre la plus petite et la plus grande valeur) et je réponds par une phrase, avec l’unité ; pour comparer, j’utilise un indicateur de position et l’étendue.

Problème 1 · Les trajets de Nadia★★★Facile

Temps de trajet (en minutes) de Nadia pour aller au collège, du lundi au vendredi :

22

;

18

;

25

;

31

;

19

1. Temps moyen de trajet : min
$(22 + 18 + 25 + 31 + 19) \div 5 = 115 \div 5 = 23$ min.
2. Temps médian : min
Rangée : $18$ ; $19$ ; $22$ ; $25$ ; $31$ . $N = 5$ : la 3ᵉ valeur, $22$ min.
3. Étendue : min
$31 - 18 = 13$ min.
4. La semaine suivante, tout est pareil sauf jeudi : $61$ min au lieu de $31$ , à cause d’une grève. Nouvelle moyenne : min
La somme augmente de $61 - 31 = 30$ : $(115 + 30) \div 5 = 145 \div 5 = 29$ min. Une seule valeur extrême fait monter la moyenne de $6$ min.
5. Nouvelle médiane : min
Rangée : $18$ ; $19$ ; $22$ ; $25$ ; $61$ . La 3ᵉ valeur est toujours $22$ min : la médiane ne bouge pas, elle ne dépend que du rang.

Problème 2 · Les buts de la saison★★★Facile

Un club de football relève le nombre de buts marqués à chacun de ses

24

matchs de la saison :

0

but (

5

matchs),

1

but (

8

matchs),

2

buts (

6

matchs),

3

buts (

4

matchs),

5

buts (

1

match).

1. Nombre total de buts marqués :
$0 \times 5 + 1 \times 8 + 2 \times 6 + 3 \times 4 + 5 \times 1 = 0 + 8 + 12 + 12 + 5 = 37$ buts.
2. Nombre moyen de buts par match, arrondi au centième :
$37 \div 24 = 1, 541 \dots \approx 1, 54$ but par match.
3. Fréquence des matchs sans but, en pourcentage arrondi au dixième : %
$5 \div 24 = 0, 2083 \dots$ , soit environ $20, 8 %$ .
4. Nombre médian de buts par match :
$N = 24$ : 12ᵉ et 13ᵉ valeurs. Effectifs cumulés : $5$ ; $13$ . Les rangs 6 à 13 valent $1$ : médiane $(1 + 1) \div 2 = 1$ . Au moins la moitié des matchs se sont terminés avec $1$ but marqué ou moins.

Problème 3 · Le prix des pommes★★★Moyen

Prix d’un kilo de pommes (en €) dans sept magasins :

2, 40

;

2, 95

;

2, 10

;

3, 20

;

2, 70

;

2, 30

;

2, 55

1. Prix moyen : €
Somme : $18, 20$ €. $18, 2 \div 7 = 2, 6$ : le prix moyen est $2, 60$ €.
2. Prix médian : €
Rangés : $2, 10$ ; $2, 30$ ; $2, 40$ ; $2, 55$ ; $2, 70$ ; $2, 95$ ; $3, 20$ . $N = 7$ : la 4ᵉ valeur, $2, 55$ €.
3. Étendue : €
$3, 20 - 2, 10 = 1, 10$ €.
4. Un huitième magasin, une épicerie fine, vend le kilo $5$ €. Nouveau prix moyen : €
$(18, 2 + 5) \div 8 = 23, 2 \div 8 = 2, 9$ : le prix moyen passe à $2, 90$ €, il augmente de $0, 30$ €.
5. Nouveau prix médian : €
Rangés : $2, 10$ ; $2, 30$ ; $2, 40$ ; $2, 55$ ; $2, 70$ ; $2, 95$ ; $3, 20$ ; $5$ . $N = 8$ : $(2, 55 + 2, 70) \div 2 = 2, 625$ €. La médiane bouge à peine : elle décrit mieux le prix habituel.

Problème 4 · Frères et sœurs★★★Moyen

On a demandé à

30

élèves leur nombre de frères et sœurs :

0

(

7

élèves),

1

(

12

élèves),

2

(

6

élèves),

3

(

4

élèves),

4

(

1

élève).

1. Fréquence de la valeur $1$ , en pourcentage : %
$12 \div 30 = 0, 4$ , soit $40 %$ .
2. Angle du secteur « $0$ frère ou sœur » dans un diagramme circulaire : °
$360 \div 30 = 12$ : un élève compte pour $12 °$ . $7 \times 12 = 84$ , donc $84 °$ .
3. Nombre moyen de frères et sœurs, arrondi au centième :
$(0 \times 7 + 1 \times 12 + 2 \times 6 + 3 \times 4 + 4 \times 1) \div 30 = 40 \div 30 = 1, 333 \dots \approx 1, 33$ .
4. Médiane de la série :
$N = 30$ : 15ᵉ et 16ᵉ valeurs. Effectifs cumulés : $7$ ; $19$ . Les rangs 8 à 19 valent $1$ : médiane $1$ .
5. Pourcentage des élèves qui ont au moins $2$ frères et sœurs, arrondi au dixième : %
$6 + 4 + 1 = 11$ élèves. $11 \div 30 = 0, 3666 \dots$ , soit environ $36, 7 %$ .

Problème 5 · Le bulletin de Jade★★★Difficile

Bulletin de Jade : maths

12

(coefficient

4

), français

9, 5

(coefficient

4

), anglais

15

(coefficient

2

), SVT

13

(coefficient

2

), EPS

17

(coefficient

1

1. Moyenne sans tenir compte des coefficients :
$(12 + 9, 5 + 15 + 13 + 17) \div 5 = 66, 5 \div 5 = 13, 3$ .
2. Somme des coefficients :
$4 + 4 + 2 + 2 + 1 = 13$ .
3. Moyenne pondérée par les coefficients, arrondie au dixième :
$12 \times 4 + 9, 5 \times 4 + 15 \times 2 + 13 \times 2 + 17 \times 1 = 48 + 38 + 30 + 26 + 17 = 159$ . $159 \div 13 = 12, 23 \dots \approx 12, 2$ . Elle est plus basse que $13, 3$ : le français, sa note la plus faible, a un gros coefficient.
4. Quelle note en français lui aurait donné exactement $13$ de moyenne pondérée, les autres notes restant les mêmes ?
Somme pondérée voulue : $13 \times 13 = 169$ . Sans le français : $159 - 38 = 121$ . Il faut $169 - 121 = 48$ points en français, soit une note de $48 \div 4 = 12$ .

Problème 6 · Le match décisif★★★Difficile

Points marqués par deux joueurs de basket lors de

6

matchs. Maëlle :

12

;

15

;

8

;

22

;

3

;

18

. Ilyes :

13

;

13

;

14

;

12

;

13

;

14

1. Moyenne de Maëlle :
$(12 + 15 + 8 + 22 + 3 + 18) \div 6 = 78 \div 6 = 13$ points.
2. Moyenne d’Ilyes, arrondie au centième :
$(13 + 13 + 14 + 12 + 13 + 14) \div 6 = 79 \div 6 = 13, 166 \dots \approx 13, 17$ points.
3. Médiane de Maëlle : ; médiane d’Ilyes :
Maëlle, rangés : $3$ ; $8$ ; $12$ ; $15$ ; $18$ ; $22$ → $(12 + 15) \div 2 = 13, 5$ . Ilyes : $12$ ; $13$ ; $13$ ; $13$ ; $14$ ; $14$ → $(13 + 13) \div 2 = 13$ .
4. Étendue de Maëlle : ; étendue d’Ilyes :
Maëlle : $22 - 3 = 19$ . Ilyes : $14 - 12 = 2$ . Moyennes et médianes sont proches, mais Ilyes est bien plus régulier : un entraîneur qui veut éviter un mauvais match choisit Ilyes ; celui qui cherche un exploit peut tenter Maëlle, qui a marqué jusqu’à $22$ points.

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