Devoir surveillé : Proportionnalité, vitesse et notion de fonction

1. a)$p(5)=2,4\times 5=12$ et $p(0,5)=2,4\times 0,5=1,2$. Donc $5$ kg coûtent $12$ € et $0,5$ kg coûte $1,20$ €. (1 pt : 0,5 pt par image) (1)
2. b)On cherche $m$ tel que $2,4m=6$, donc $m=6÷2,4=2,5$. Vérification : $2,4\times 2,5=6$. Avec $6$ €, on achète $2,5$ kg de pommes. (1 pt : 0,5 pt pour le calcul, 0,5 pt pour la phrase) (1)
3. c)Oui : $p(m)=2,4\times m$, on multiplie toujours la masse par le même nombre ; $p$ est une fonction linéaire. Le coefficient est $2,4$ €/kg, c'est le prix d'un kilogramme. (1 pt : 0,5 pt pour la justification, 0,5 pt pour le coefficient avec son unité) (1)
4. d)Second maraîcher : $6,90÷3=2,30$ €/kg. Premier maraîcher : $2,40$ €/kg. Comme $2,30<2,40$, le second est le moins cher au kilogramme. (1 pt : 0,5 pt pour le prix au kg, 0,5 pt pour la conclusion) (1)

Méthode — une situation de proportionnalité se traduit toujours par une fonction de la forme $x\mapsto ax$ : le coefficient $a$ est la valeur pour une unité (ici le prix d'un kilogramme).

1. a)$f(4)=3\times 4-7=12-7=5$. L'image de $4$ par $f$ est $5$. (1 pt) (1)
2. b)$f(-2)=3\times (-2)-7=-6-7=-13$. (1 pt) (1)
3. c)$f(-1)=-3-7=-10$ ; $f(0)=0-7=-7$ ; $f(2,5)=7,5-7=0,5$. (1 pt : 0,5 pt si une seule erreur) (1)
4. d)On résout $3x-7=11$ : $3x=11+7=18$, donc $x=18÷3=6$. Vérification : $f(6)=18-7=11$. L'antécédent de $11$ est $6$. (1 pt : 0,5 pt pour l'équation, 0,5 pt pour la résolution) (1)

Piège — l'image se calcule en remplaçant $x$ par le nombre ; l'antécédent se trouve en résolvant une équation. Ne pas confondre $f(11)$ et « l'antécédent de $11$ ».

1. a)Remise : ${\displaystyle \frac{15}{100}}\times 40=6$ €. Prix après remise : $40-6=34$ €. (1 pt : 0,5 pt pour la remise, 0,5 pt pour le prix) (1)
2. b)Remise : ${\displaystyle \frac{15}{100}}\times x=0,15x$. Prix après remise : $x-0,15x=(1-0,15)x=0,85x$. (1 pt) (1)
3. c)Oui, $r(x)$ est de la forme $a\times x$ avec $a=0,85$ : $r$ est linéaire de coefficient $0,85$. (1 pt) (1)
4. d)On cherche l'antécédent de $68$ : $0,85x=68$, donc $x=68÷0,85=80$. Vérification : $0,85\times 80=68$. Le prix affiché était $80$ €. (1 pt : 0,5 pt pour l'équation, 0,5 pt pour le résultat) (1)

Astuce — baisser de $15\%$, c'est multiplier par $0,85$ ; pour retrouver le prix de départ, on divise par $0,85$ et surtout pas on ajoute $15\%$.

1. a)$18\times 25000=450000$ cm $=4500$ m $=4,5$ km. (1 pt : 0,5 pt pour le calcul, 0,5 pt pour la conversion) (1)
2. b)$t={\displaystyle \frac{d}{v}}={\displaystyle \frac{4,5}{3}}=1,5$ h $=1$ h $30$ min. Arrivée : $9$ h $15+1$ h $30=10$ h $45$. (1 pt : 0,5 pt pour la durée, 0,5 pt pour l'heure) (1)
3. c)$27$ min $={\displaystyle \frac{27}{60}}$ h $=0,45$ h. $v={\displaystyle \frac{4,5}{0,45}}=10$ km/h. (1 pt : 0,5 pt pour la conversion, 0,5 pt pour la vitesse) (1)
4. d)$2,4\times 25000=60000$ cm $=600$ m. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — $1,5$ h ne vaut pas $1$ h $50$ min mais $1$ h $30$ min : une heure compte $60$ minutes, pas $100$.

1. a)$V(4)=150+30\times 4=150+120=270$. Au bout de $4$ minutes, la piscine contient $270$ L. (1 pt : 0,5 pt pour le calcul, 0,5 pt pour la phrase) (1)
2. b)Non : $V(0)=150\ne 0$. Autre justification : $V(2)=210$ et $V(4)=270$ ; la durée double mais $270\ne 2\times 210$. La fonction $V$ n'est pas linéaire. (1 pt) (1)
3. c)On résout $150+30t=600$ : $30t=450$, donc $t=450÷30=15$. La piscine est pleine au bout de $15$ min. (1 pt : 0,5 pt pour l'équation, 0,5 pt pour la solution) (1)
4. d)$30\times 60=1800$ L/h ; $1800$ L $=1,8$ m³, donc le débit est $1,8$ m³/h. (1 pt : 0,5 pt par conversion) (1)

Piège — une grandeur qui augmente régulièrement n'est pas forcément proportionnelle : s'il y a une valeur de départ non nulle, le tableau n'est pas un tableau de proportionnalité.

1. a)Faux. Après une réduction de $30\%$, il reste $100\%-30\%=70\%$ du prix : on multiplie par $0,7$. Exemple : $100$ € devient $70$ €, et non $30$ €. (1 pt) (1)
2. b)Vrai. $g(x)=-4\times x$ est de la forme $ax$ avec $a=-4$ ; $g(-2,5)=-4\times (-2,5)=10$. (1 pt : 0,5 pt par partie) (1)
3. c)Faux. ${\displaystyle \frac{7,5}{3}}=2,5$ et ${\displaystyle \frac{20}{8}}=2,5$, mais $14\times 2,5=35\ne 34$. (1 pt) (1)
4. d)Faux. $h(2)=4+1=5$ et $h(-2)=4+1=5$ : $5$ a au moins deux antécédents, $2$ et $-2$. (1 pt) (1)

Méthode — pour prouver qu'une affirmation est fausse, un seul contre-exemple suffit ; pour prouver qu'elle est vraie, il faut un calcul ou un argument général.

1. a)$d(30)=11$ : au bout de $30$ minutes, le cycliste a parcouru $11$ km. (1 pt : 0,5 pt pour la valeur, 0,5 pt pour la phrase) (1)
2. b)$d(20)=8$ donc l'antécédent de $8$ est $20$ ; $d(40)=14$ donc l'antécédent de $14$ est $40$. (1 pt : 0,5 pt chacun) (1)
3. c)Non. ${\displaystyle \frac{4}{10}}=0,4$ et ${\displaystyle \frac{8}{20}}=0,4$, mais ${\displaystyle \frac{11}{30}}\approx 0,37\ne 0,4$. La distance n'est proportionnelle au temps que sur les $20$ premières minutes. (1 pt) (1)
4. d)$20$ min $={\displaystyle \frac{1}{3}}$ h : $v=8÷{\displaystyle \frac{1}{3}}=8\times 3=24$ km/h. Toute la sortie : $50$ min $={\displaystyle \frac{5}{6}}$ h, $v=17\times {\displaystyle \frac{6}{5}}=20,4$ km/h. (1 pt : 0,5 pt par vitesse) (1)

Erreur fréquente — diviser $17$ km par $50$ ne donne pas une vitesse en km/h : il faut d'abord convertir les minutes en heures ($50$ min $={\displaystyle \frac{5}{6}}$ h, et non $0,5$ h).

1. a)$P(x)=x+{\displaystyle \frac{12}{100}}x=x+0,12x=1,12x$. C'est de la forme $ax$ : $P$ est linéaire, de coefficient $1,12$. (1 pt : 0,5 pt pour la formule, 0,5 pt pour la justification) (1)
2. b)$P(250)=1,12\times 250=280$ €. (1 pt) (1)
3. c)$1,12x=42$, donc $x=42÷1,12=37,5$. Vérification : $1,12\times 37,5=42$. Le prix était $37,50$ €. (1 pt) (1)
4. d)Baisser de $12\%$, c'est multiplier par $0,88$ : $280\times 0,88=246,40$ €. Il ne retrouve pas $250$ €. Globalement, $1,12\times 0,88=0,9856$ : le prix a baissé de $1,44\%$ (vérification : $250\times 0,9856=246,40$). (1 pt : 0,5 pt pour le nouveau prix, 0,5 pt pour le pourcentage global) (1)

Piège — une hausse et une baisse du même pourcentage ne se compensent pas : la baisse s'applique à un prix plus grand, donc elle retire davantage d'euros.

1. a)$1$ km $=100000$ cm. $5$ cm représentent $100000$ cm, donc $1$ cm représente $100000÷5=20000$ cm : l'échelle est ${\displaystyle \frac{1}{20000}}$. (1 pt : 0,5 pt pour la conversion, 0,5 pt pour l'échelle) (1)
2. b)$1$ cm représente $1÷5=0,2$ km, donc $L(c)=0,2c$. C'est de la forme $ax$ : $L$ est linéaire, de coefficient $0,2$ km/cm. (1 pt) (1)
3. c)$L(23)=0,2\times 23=4,6$ km. Pour $3$ km : $0,2c=3$, donc $c=3÷0,2=15$ cm. (1 pt : 0,5 pt par réponse) (1)
4. d)$t={\displaystyle \frac{4,6}{12}}$ h $={\displaystyle \frac{4,6}{12}}\times 60$ min $=4,6\times 5=23$ min. (1 pt : 0,5 pt pour la formule, 0,5 pt pour la conversion en minutes) (1)

Astuce — pour trouver une échelle, on exprime les deux longueurs dans la même unité (ici en cm) avant de diviser la longueur réelle par la longueur sur la carte.

1. a)$9$ km/h $={\displaystyle \frac{9000\text{ m}}{60\text{min}}}=150$ m/min ; $7,2$ km/h $={\displaystyle \frac{7200}{60}}=120$ m/min. (1 pt : 0,5 pt par conversion) (1)
2. b)En $t$ minutes, Inès parcourt $150\times t$ m depuis son départ. Noé parcourt $120t$ m mais part $800$ m plus loin : $N(t)=800+120t$. Seule $I$ est linéaire ($N(0)=800\ne 0$). (1 pt) (1)
3. c)$I(20)=150\times 20=3000$ m ; $N(20)=800+120\times 20=800+2400=3200$ m. Noé est encore devant, de $200$ m. (1 pt : 0,5 pt pour les calculs, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
4. d)On résout $150t=800+120t$ : $30t=800$, $t={\displaystyle \frac{800}{30}}={\displaystyle \frac{80}{3}}$ min $=26$ min $+{\displaystyle \frac{2}{3}}$ min $=26$ min $40$ s. Inès a parcouru $150\times {\displaystyle \frac{80}{3}}=4000$ m (vérification : $800+120\times {\displaystyle \frac{80}{3}}=800+3200=4000$). (1 pt : 0,5 pt pour l'équation, 0,5 pt pour la durée et la distance) (1)

Méthode — « rattraper » se traduit par « même position au même instant » : on écrit l'égalité $I(t)=N(t)$ et on résout l'équation du premier degré obtenue.

1. a)$f(x)=ax$ avec $6a=-9$, donc $a=-{\displaystyle \frac{9}{6}}=-1,5$. $f(-10)=-1,5\times (-10)=15$. Antécédent de $21$ : $-1,5x=21$, $x={\displaystyle \frac{21}{-1,5}}=-14$. (1 pt : 0,5 pt pour $f(-10)$, 0,5 pt pour l'antécédent) (1)
2. b)Hausse de $20\%$ : on multiplie par $1,2$. Prix initial : $57,6÷1,2={\displaystyle \frac{576}{12}}=48$ €. Vérification : $48\times 1,2=57,6$. (1 pt) (1)
3. c)$54$ km/h $={\displaystyle \frac{54000\text{ m}}{3600\text{ s}}}=15$ m/s. En $12$ s : $15\times 12=180$ m. (1 pt : 0,5 pt par réponse) (1)

Astuce — pour passer des km/h aux m/s, on divise par $3,6$ ; sans calculatrice, $54÷3,6=540÷36=15$ se fait de tête.

1. a)${\displaystyle \frac{2}{3}}\times (-{\displaystyle \frac{3}{4}})=-{\displaystyle \frac{6}{12}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ ; $f(-{\displaystyle \frac{3}{4}})=-{\displaystyle \frac{2}{4}}-{\displaystyle \frac{5}{4}}=-{\displaystyle \frac{7}{4}}$. (1 pt : 0,5 pt pour le produit, 0,5 pt pour la différence) (1)
2. b)${\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{9}{8}}={\displaystyle \frac{18}{24}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$ ; $f\left({\displaystyle \frac{9}{8}}\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{5}{4}}=-{\displaystyle \frac{2}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. (1 pt) (1)
3. c)${\displaystyle \frac{2}{3}}x-{\displaystyle \frac{5}{4}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$ ; ${\displaystyle \frac{2}{3}}x={\displaystyle \frac{2}{12}}+{\displaystyle \frac{15}{12}}={\displaystyle \frac{17}{12}}$ ; $x={\displaystyle \frac{17}{12}}\times {\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{51}{24}}={\displaystyle \frac{17}{8}}$. Vérification : ${\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{17}{8}}={\displaystyle \frac{17}{12}}$ et ${\displaystyle \frac{17}{12}}-{\displaystyle \frac{15}{12}}={\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$. (1 pt : 0,5 pt pour l'équation, 0,5 pt pour la solution) (1)
4. d)Non : $f(0)=-{\displaystyle \frac{5}{4}}\ne 0$, alors qu'une situation de proportionnalité associe $0$ à $0$. Autre justification : $f$ n'est pas de la forme $x\mapsto ax$, elle n'est pas linéaire. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — pour isoler $x$ dans ${\displaystyle \frac{2}{3}}x={\displaystyle \frac{17}{12}}$, on multiplie par l'inverse ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ ; multiplier par ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ une seconde fois est l'erreur classique.

1. a)Durée en heures : ${\displaystyle \frac{12}{v}}$ ; en minutes : ${\displaystyle \frac{12}{v}}\times 60={\displaystyle \frac{720}{v}}$. $t(16)={\displaystyle \frac{720}{16}}=45$ min. (1 pt : 0,5 pt pour la formule, 0,5 pt pour $t(16)$) (1,25)
2. b)$t(10)=72$ et $t(20)=36$ : quand la vitesse double, la durée est divisée par $2$ au lieu d'être multipliée par $2$. La durée n'est pas proportionnelle à la vitesse. (1 pt) (1,25)
3. c)${\displaystyle \frac{720}{v}}=48$ donne $v={\displaystyle \frac{720}{48}}=15$. À $15$ km/h, le trajet dure $48$ minutes. (1 pt) (1,25)
4. d)$t(v)$ est entier exactement quand $v$ est un diviseur de $720$. Or $720=2^4\times 3^2\times 5$ : un diviseur de $720$ n'a pour facteurs premiers que $2$ (au plus $4$ fois), $3$ (au plus $2$ fois) et $5$ (au plus une fois). Entre $10$ et $40$, les entiers dont les seuls facteurs premiers sont $2$, $3$ ou $5$ sont : $10,12,15,16,18,20,24,25,27,30,32,36,40$. On élimine $25=5^2$, $27=3^3$ et $32=2^5$. Il reste $10$ vitesses : $10,12,15,16,18,20,24,30,36,40$ km/h (durées $72,60,48,45,40,36,30,24,20,18$ min). Tout autre entier de cet intervalle a un facteur premier $7$, $11$, $13$, … qui ne divise pas $720$. (2 pts : 1 pt pour la liste complète, 1 pt pour la justification par la décomposition) (1,25)

Méthode — pour être sûr de n'oublier aucune solution, on s'appuie sur la décomposition en facteurs premiers plutôt que sur des essais au hasard.

1. a)$15\times 400=6000$ cm $=60$ m ; $7,5\times 400=3000$ cm $=30$ m. (1 pt : 0,5 pt par dimension) (1)
2. b)Façade : $60\times 30=1800$ m². Vitres : ${\displaystyle \frac{40}{100}}\times 1800=720$ m². (1 pt) (1)
3. c)$C(s)=2,5s+150$. $C(720)=2,5\times 720+150=1800+150=1950$ €. $C$ n'est pas linéaire car $C(0)=150\ne 0$. Budget : $2,5s+150=1400$, $2,5s=1250$, $s=500$ m². (1 pt : 0,5 pt pour $C(720)$ et la linéarité, 0,5 pt pour l'antécédent) (1)
4. d)Première façon : façade sur la maquette $15\times 7,5=112,5$ cm², vitres $0,4\times 112,5=45$ cm². Seconde façon : les aires sont divisées par ${400}^2=160000$ ; $720$ m² $=7200000$ cm² et $7200000÷160000=45$ cm². (1 pt : 0,5 pt par méthode) (1)

Piège — une échelle ${\displaystyle \frac{1}{400}}$ divise les longueurs par $400$, mais les aires par $400\times 400=160000$ ; diviser $720$ m² par $400$ seulement donne un résultat faux.

1. a)$f(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f(x)+f(y)$ par distributivité. (1 pt) (1)
2. b)$f(kx)=a\times (kx)=k\times (ax)=k\times f(x)$, car on peut changer l'ordre des facteurs d'un produit. (1 pt) (1)
3. c)Si $g$ était linéaire, on aurait, d'après la première question, $g(10)=g(4+6)=g(4)+g(6)=10+15=25$. Or $g(10)=24\ne 25$ : $g$ ne peut pas être linéaire. (1 pt) (1)
4. d)Un prix $x$ devient $1,6x$, puis $1,6x\times (1-{\displaystyle \frac{p}{100}})$. On veut $1,6\times (1-{\displaystyle \frac{p}{100}})=1$, soit $1-{\displaystyle \frac{p}{100}}={\displaystyle \frac{1}{1,6}}={\displaystyle \frac{10}{16}}=0,625$, donc ${\displaystyle \frac{p}{100}}=0,375$ et $p=37,5$. La réponse ne dépend pas de $x$ car les deux évolutions sont des fonctions linéaires : leur enchaînement multiplie tout prix par le même nombre, ici $1,6\times 0,625=1$. (1 pt : 0,5 pt pour $p$, 0,5 pt pour l'explication) (1)

Astuce — la propriété $f(x+y)=f(x)+f(y)$ est une signature des fonctions linéaires : il suffit d'un seul cas où elle échoue pour prouver qu'une fonction n'est pas linéaire.