Proportionnalité : quatrième proportionnelle et graphique

Calcule le coefficient de proportionnalité $k$ qui fait passer de la première valeur à la seconde.

1. $8\to 30$ : $k=$
   $30÷8=3,75$.
2. $12\to 9$ : $k=$
   $9÷12=0,75$ : un coefficient peut être plus petit que $1$.
3. $2,5\to 6$ : $k=$
   $6÷2,5=2,4$.
4. $15\to 6$ : $k=$
   $6÷15=0,4$.

Si le tableau est un tableau de proportionnalité, écris son coefficient ; sinon, écris « non ».

1. $4\to 14$ ; $6\to 21$ ; $10\to 35$ :
   $14÷4=21÷6=35÷10=3,5$ : coefficient $3,5$.
2. $3\to 8$ ; $6\to 16$ ; $9\to 27$ :
   $27÷9=3$, mais $8÷3\approx 2,67$ : les quotients ne sont pas égaux.
3. $2,5\to 4$ ; $5\to 8$ ; $7,5\to 12$ :
   $4÷2,5=8÷5=12÷7,5=1,6$ : coefficient $1,6$.
4. $1\to 4$ ; $2\to 5$ ; $4\to 7$ :
   On ajoute $3$ au lieu de multiplier : $4÷1=4$, mais $5÷2=2,5$.

$4$ sacs de terreau identiques pèsent $22$ kg, et $6$ sacs pèsent $33$ kg. Complète sans calculer la masse d’un sac pour les deux premières questions.

1. Masse de $10$ sacs : kg
   $10=4+6$, donc $22+33=55$ kg (on additionne deux colonnes).
2. Masse de $2$ sacs : kg
   $2=6-4$, donc $33-22=11$ kg (on soustrait deux colonnes).
3. Masse d’un sac : kg
   $22÷4=5,5$ kg : c’est le coefficient, en kg par sac.
4. Nombre de sacs pour $77$ kg de terreau :
   $77÷5,5=14$ sacs (on divise par le coefficient).

Calcule la quatrième proportionnelle (méthode au choix).

1. $7$ crayons coûtent $6,30$ €. Prix de $12$ crayons : €
   $6,30÷7=0,90$ € par crayon ; $12\times 0,90=10,80$ €.
2. $250$ g de farine pour $8$ crêpes. Masse pour $20$ crêpes : g
   $250÷8=31,25$ g par crêpe ; $20\times 31,25=625$ g.
3. Une voiture consomme $3,5$ L pour $50$ km. Consommation pour $280$ km : L
   $3,5\times 280÷50=980÷50=19,6$ L.
4. $9$ m de tuyau d’arrosage coûtent $24,30$ €. Prix de $15$ m : €
   $24,30÷9=2,70$ € par mètre ; $15\times 2,70=40,50$ €.

Dans chaque tableau de proportionnalité, calcule $x$ avec le produit en croix.

1. $6\to 15$ et $14\to x$ : $x=$
   $x=15\times 14÷6=210÷6=35$.
2. $x\to 21$ et $8\to 12$ : $x=$
   Produit en croix : $x=21\times 8÷12=168÷12=14$.
3. $0,8\to 3,2$ et $2,5\to x$ : $x=$
   $x=3,2\times 2,5÷0,8=8÷0,8=10$.
4. Colonnes $1,5\to 4$ et $2,5\to 7$ : produits en croix $1,5\times 7=$ et $4\times 2,5=$
   $1,5\times 7=10,5$ et $4\times 2,5=10$ : les produits en croix ne sont pas égaux, ces deux colonnes ne sont pas proportionnelles.

Partage selon un ratio.

1. On partage $56$ € dans le ratio $3:4$. Les deux parts : € et €
   $3+4=7$ parts de $56÷7=8$ € : $3\times 8=24$ € et $4\times 8=32$ €.
2. Une boisson mélange eau et sirop dans le ratio $7:1$. Volume de sirop pour $2$ L de boisson : cL
   $7+1=8$ parts ; $2$ L $=200$ cL et $200÷8=25$ cL de sirop.
3. Trois nombres sont dans le ratio $1:2:4$ et leur somme vaut $84$. Le plus grand :
   $1+2+4=7$ parts de $84÷7=12$ : les nombres sont $12$, $24$ et $48$.
4. $a$ et $b$ sont dans le ratio $2:5$, et $a=14$. Alors $b=$
   $a÷2=b÷5$ : $14÷2=7$, donc $b=5\times 7=35$.

Une droite passe par l’origine et par le point $(5;8)$. Complète.

1. Coefficient (ordonnée du point d’abscisse $1$) :
   $8÷5=1,6$.
2. Ordonnée du point d’abscisse $15$ :
   $15\times 1,6=24$ (ou : $15=5\times 3$, donc $8\times 3=24$).
3. Abscisse du point d’ordonnée $4$ :
   $4÷1,6=2,5$ (ou : $4$ est la moitié de $8$, donc la moitié de $5$).

Si les trois points sont alignés avec l’origine, écris le coefficient ; sinon, écris « non ».

1. $(2;5)$, $(4;10)$, $(7;17,5)$ :
   $5÷2=10÷4=17,5÷7=2,5$ : alignés avec l’origine, coefficient $2,5$.
2. $(3;4)$, $(6;8)$, $(9;13)$ :
   Il faudrait $9\times 4÷3=12$ pour le troisième point, et non $13$ : pas alignés avec l’origine.
3. $(0,5;3)$, $(2;12)$, $(5;30)$ :
   $3÷0,5=12÷2=30÷5=6$ : coefficient $6$.
4. $(1;3)$, $(2;5)$, $(3;7)$ :
   $3÷1=3$ mais $5÷2=2,5$ : ces points sont alignés, mais sur une droite qui ne passe pas par l’origine (on ajoute $2$ à chaque fois).

Tarif A : $0,25$ € par photo imprimée. Tarif B : $2$ € de frais d’envoi, puis $0,20$ € par photo. On représente le prix en fonction du nombre de photos.

1. Avec le tarif A, nombre de photos imprimées pour $7,50$ € :
   Le prix est proportionnel au nombre de photos ($p=0,25\times n$) : $7,50÷0,25=30$ photos.
2. Pour $20$ photos, le tarif le moins cher coûte €
   A : $20\times 0,25=5$ € ; B : $2+20\times 0,20=6$ €. Le tarif A est le moins cher. Les points du tarif B sont sur une droite qui passe par $(0;2)$ : pour $0$ photo, on paie déjà les frais.
3. Pour $40$ photos, le tarif A coûte € et le tarif B €
   A : $40\times 0,25=10$ € ; B : $2+40\times 0,20=2+8=10$ €. Pour $40$ photos, les deux droites se croisent.
4. Pour $60$ photos, le tarif le moins cher coûte €
   A : $60\times 0,25=15$ € ; B : $2+60\times 0,20=14$ €. Le tarif B est le moins cher : $14$ €.

Coefficients multiplicateurs.

1. Une hausse de $6\%$ revient à multiplier par
   $1+{\displaystyle \frac{6}{100}}=1,06$.
2. Une baisse de $40\%$ revient à multiplier par
   $1-{\displaystyle \frac{40}{100}}=0,6$.
3. Une hausse de $120\%$ revient à multiplier par
   $1+{\displaystyle \frac{120}{100}}=2,2$ : la valeur fait plus que doubler.
4. Une baisse de $3\%$ revient à multiplier par
   $1-0,03=0,97$.
5. Multiplier par $1,45$, c’est une hausse de %
   $1,45=1+0,45$ : hausse de $45\%$.
6. Multiplier par $0,92$, c’est une baisse de %
   $0,92=1-0,08$ : baisse de $8\%$.

Calcule.

1. $7,5\%$ de $480$ $=$
   $480\times 0,075=36$.
2. $18$ élèves sur $72$, cela représente % des élèves
   $18÷72\times 100=0,25\times 100=25$.
3. Une tablette à $320$ € augmente de $5\%$. Nouveau prix : €
   $320\times 1,05=336$ €.
4. Un club passe de $120$ à $138$ adhérents. C’est une hausse de %
   $138÷120=1,15=1+0,15$ : hausse de $15\%$.

Remonter à la valeur de départ, enchaîner deux évolutions.

1. Après une remise de $30\%$, un sac coûte $49$ €. Prix de départ : €
   $49÷0,7=70$ € (contrôle : $70\times 0,7=49$).
2. Après une hausse de $4\%$, une facture vaut $78$ €. Avant la hausse : €
   $78÷1,04=75$ €.
3. Une hausse de $20\%$ puis une baisse de $20\%$ : au total, une baisse de %
   $1,2\times 0,8=0,96=1-0,04$ : baisse de $4\%$.
4. Deux hausses successives de $5\%$ : au total, une hausse de %
   $1,05\times 1,05=1,1025=1+0,1025$ : hausse de $10,25\%$, un peu plus que $10\%$.

Attention aux unités demandées.

1. Plan à $1/50$ : un meuble mesure $7,5$ cm sur le plan. Longueur réelle : m
   $7,5\times 50=375$ cm $=3,75$ m.
2. Carte à $1/25000$ : $12$ cm sur la carte représentent km
   $12\times 25000=300000$ cm $=3$ km.
3. Carte à $1/300000$ : $4,2$ km réels mesurent sur la carte cm
   $4,2$ km $=420000$ cm ; $420000÷300000=1,4$ cm.
4. Sur un plan, $3$ cm représentent $12$ m. L’échelle est $1/n$ avec $n=$
   $12$ m $=1200$ cm et $1200÷3=400$ : échelle $1/400$.
5. Sur un schéma à l’échelle $20:1$, un insecte de $0,8$ cm mesure cm
   Agrandissement : $0,8\times 20=16$ cm.

Sur une carte, $4$ cm représentent $6$ km.

1. Distance réelle pour $10$ cm sur la carte : km
   Produit en croix : $10\times 6÷4=60÷4=15$ km.
2. L’échelle de la carte est $1/n$ avec $n=$
   $6$ km $=600000$ cm et $600000÷4=150000$ : échelle $1/150000$.
3. Longueur sur la carte d’une route de $4,5$ km : cm
   $4,5$ km $=450000$ cm et $450000÷150000=3$ cm.

Échelle et aires ($1$ m² $=10000$ cm²).

1. Plan à $1/100$ : une pièce mesure $4$ cm sur $3$ cm sur le plan. Aire réelle : m²
   $4\times 100=400$ cm $=4$ m et $3\times 100=300$ cm $=3$ m ; aire $4\times 3=12$ m².
2. À l’échelle $1/100$, $1$ cm² du plan représente m²
   $100\times 100=10000$ cm² $=1$ m².
3. Plan à $1/500$ : un parc a une aire de $6$ cm² sur le plan. Aire réelle : m²
   $1$ cm² représente $500\times 500=250000$ cm² $=25$ m², donc $6\times 25=150$ m².
4. Plan à $1/50$ : une terrasse a une aire réelle de $20$ m². Aire sur le plan : cm²
   $20$ m² $=200000$ cm² ; on divise par $50\times 50=2500$ : $200000÷2500=80$ cm².