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Proportionnalité : quatrième proportionnelle et graphique
Rappels de 5ᵉ (reconnaître une situation de proportionnalité, coefficient et son unité, linéarité, passage à l’unité), quatrième proportionnelle et égalité des produits en croix, partage selon un ratio, représentation graphique (points alignés avec l’origine, lecture, formule), pourcentages (appliquer, coefficient multiplicateur d’une hausse ou d’une baisse, valeur de départ, évolutions successives), échelles (plan et réalité, trouver l’échelle, aires) ; problèmes.
À propos de cette page
Rappels de 5ᵉ : reconnaître la proportionnalité et compléter un tableau
En 5ᵉ, tu as appris à reconnaître une situation de proportionnalité et à compléter un tableau : on reprend tout ici, avec de nouveaux exemples. Les nouveautés de 4ᵉ sont l’égalité des produits en croix et le ratio (partie 2) et le coefficient multiplicateur des pourcentages (partie 4) ; le graphique et les échelles, vus en 5ᵉ, sont repris et prolongés (parties 3 et 5).
Pour tester un tableau, on calcule dans chaque colonne le quotient « 2e ligne ÷ 1re ligne » :
• si tous les quotients sont égaux, c’est un tableau de proportionnalité, et ce quotient est le coefficient ;
• s’il y a un seul quotient différent, ce n’est pas un tableau de proportionnalité.
Le coefficient a une unité : 1,85 €/L se lit « 1,85 euro par litre », c’est le prix d’un litre.
Pour compléter un tableau de proportionnalité :
• le coefficient : de la 1re ligne à la 2e, on multiplie par le coefficient ; dans l’autre sens, on divise ;
• la linéarité : on multiplie une colonne par un même nombre, ou on additionne (on soustrait) deux colonnes ;
• le passage à l’unité : on calcule la valeur pour 1, puis on multiplie.
| Volume de carburant (L) | 4 | 10 | 25 |
|---|---|---|---|
| Prix (€) | 7,40 | 18,50 | 46,25 |
Un carburant coûte 1,85 € le litre.
Carburant : 7,40 ÷ 4 = 1,85 · 18,50 ÷ 10 = 1,85 · 46,25 ÷ 25 = 1,85. Les quotients sont tous égaux : le prix est proportionnel au volume, de coefficient 1,85 €/L.
Fête foraine : 3 € l’entrée du parc, puis 2 € par tour de manège. 2 tours coûtent 3 + 4 = 7 € ; 4 tours coûtent 3 + 8 = 11 €, et non 2 × 7 = 14 €. À cause du montant fixe, le prix n’est pas proportionnel au nombre de tours.
Carré : le périmètre est proportionnel au côté (on multiplie toujours par 4). L’aire ne l’est pas : un côté de 2 cm donne 4 cm², un côté de 3 cm donne 9 cm², et 4 ÷ 2 = 2 mais 9 ÷ 3 = 3.
Compléter un tableau de proportionnalité
| Nombre de rouleaux | 3 | 5 | 8 | 6 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| Surface couverte (m²) | 15,6 | 26 | … | … | … |
Des rouleaux de papier peint identiques : on complète les trois dernières colonnes.
8 rouleaux (on additionne deux colonnes) : 8 = 3 + 5, donc 15,6 + 26 = 41,6 m².
6 rouleaux (on multiplie une colonne) : 6 = 3 × 2, donc 15,6 × 2 = 31,2 m².
1 rouleau (passage à l’unité) : 15,6 ÷ 3 = 5,2 m². C’est le coefficient : 5,2 m² par rouleau.
Dans l’autre sens : pour couvrir 72,8 m², il faut 72,8 ÷ 5,2 = 14 rouleaux (on divise par le coefficient).
Quand le coefficient n’est pas un nombre décimal, la linéarité évite d’arrondir : une machine remplit 7 bouteilles en 3 secondes, et 3 ÷ 7 ne tombe pas juste. Mais 21 bouteilles, c’est 3 fois 7 bouteilles : 3 × 3 = 9 secondes ; et 70 bouteilles, c’est 10 fois 7 bouteilles : 30 secondes.
Réflexe — pour tester un tableau, je calcule le quotient « 2e ligne ÷ 1re ligne » dans toutes les colonnes ; pour le compléter, je cherche d’abord un lien simple entre les nombres de la 1re ligne (double, somme, différence), sinon je passe par l’unité.
Attention — « les deux grandeurs augmentent ensemble » ne suffit pas : un enfant de 12 ans ne mesure pas le double d’un enfant de 6 ans. Et on n’ajoute jamais le même nombre aux deux lignes : 3 rouleaux couvrent 15,6 m², mais 4 rouleaux ne couvrent pas 16,6 m² (4 × 5,2 = 20,8 m²).
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Quatrième proportionnelle, produit en croix et ratio
Égalité des produits en croix : dans un tableau de proportionnalité à deux colonnes, les produits « en diagonale » sont égaux.
| Colonne 1 | Colonne 2 | |
|---|---|---|
| Ligne 1 | a | c |
| Ligne 2 | b | d |
Tableau de proportionnalité : a × d = b × c, donc d = b × c ÷ a.
Valeur manquante : on multiplie les deux nombres de la diagonale complète, puis on divise par le nombre qui reste.
Pourquoi ça marche ? Si k est le coefficient, alors b = a × k et d = c × k. Donc a × d = a × c × k et b × c = a × k × c : c’est le même produit. Inversement, si les produits en croix de deux colonnes de nombres non nuls sont égaux, ces deux colonnes sont proportionnelles.
Stylos. 7 stylos identiques coûtent 9,45 €. Prix de 11 stylos ? Passage à l’unité : 9,45 ÷ 7 = 1,35 € par stylo, puis 11 × 1,35 = 14,85 €. Produit en croix : 11 × 9,45 ÷ 7 = 103,95 ÷ 7 = 14,85 €.
Consommation. Une voiture consomme 4,2 L pour 70 km. On range les kilomètres sur une ligne, les litres sur l’autre : pour 245 km, 4,2 × 245 ÷ 70 = 1 029 ÷ 70 = 14,7 L.
Dans l’autre sens. 9 m de gouttière coûtent 31,50 €. Avec 52,50 €, on achète 9 × 52,50 ÷ 31,50 = 472,5 ÷ 31,5 = 15 m.
Choisir sa méthode
6 boîtes de conserve identiques pèsent 5,4 kg. Combien pèsent 9 boîtes ? Les trois méthodes donnent le même résultat :
Linéarité : 9 = 6 + 3, et 3 boîtes, c’est la moitié de 6 boîtes : 5,4 + 2,7 = 8,1 kg.
Passage à l’unité : 5,4 ÷ 6 = 0,9 kg par boîte, puis 9 × 0,9 = 8,1 kg.
Produit en croix : 9 × 5,4 ÷ 6 = 48,6 ÷ 6 = 8,1 kg.
Partager selon un ratio
Deux nombres a et b sont dans le ratio 3 : 2 (on lit « 3 pour 2 ») lorsque a ÷ 3 = b ÷ 2 : les nombres a et b sont proportionnels à 3 et 2. De même, trois nombres a, b, c sont dans le ratio 2 : 3 : 5 lorsque a ÷ 2 = b ÷ 3 = c ÷ 5. Pour partager une quantité dans le ratio 3 : 2, on la découpe en 3 + 2 = 5 parts égales : l’un reçoit 3 parts, l’autre 2 parts.
Une peinture orange mélange du jaune et du rouge dans le ratio 3 : 2. Pour 7,5 L de peinture : 3 + 2 = 5 parts, et une part vaut 7,5 ÷ 5 = 1,5 L. Il faut 3 × 1,5 = 4,5 L de jaune et 2 × 1,5 = 3 L de rouge. Contrôle : 4,5 + 3 = 7,5 et 4,5 ÷ 3 = 3 ÷ 2 = 1,5.
Une association partage 1 200 € entre trois projets dans le ratio 2 : 3 : 5 : 2 + 3 + 5 = 10 parts de 1 200 ÷ 10 = 120 €. Les projets reçoivent 2 × 120 = 240 €, 3 × 120 = 360 € et 5 × 120 = 600 €.
Réflexe — je range les valeurs de même nature sur la même ligne (les litres ensemble, les kilomètres ensemble), puis je multiplie les deux nombres de la diagonale complète et je divise par le nombre qui reste.
Attention — un tableau mal rempli donne un résultat faux, même si le calcul est juste. Le produit en croix ne s’utilise que si la situation est proportionnelle : un enfant de 1,20 m à 8 ans ne mesurera pas 1,80 m à 12 ans. Et dans le ratio 3 : 2, le jaune représente 3 parts sur 5, c’est-à-dire 3/5 de la peinture, et non 3/2.
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Représentation graphique de la proportionnalité
Repris de la 5ᵉ et prolongé : en 4ᵉ, on passe du graphique au calcul et du calcul au graphique, et on relie la proportionnalité à une formule.
Une situation est une situation de proportionnalité si et seulement si elle est représentée par des points alignés avec l’origine du repère, c’est-à-dire sur une droite qui passe par le point (0 ; 0).
« Si et seulement si » dit deux choses : une situation de proportionnalité donne des points alignés avec l’origine ; et des points alignés avec l’origine traduisent toujours une situation de proportionnalité.
Le coefficient est l’ordonnée du point d’abscisse 1 ; c’est aussi le quotient « ordonnée ÷ abscisse » de n’importe quel point de la droite, autre que l’origine.
Une formule du type y = k × x, avec un nombre k fixé, traduit une situation de proportionnalité de coefficient k.
Une bordure de jardin est vendue au mètre. Le graphique est une droite qui passe par l’origine : le prix est proportionnel à la longueur. Pour 1 m, on lit 2,5 € (le quadrillage horizontal va de 2,5 en 2,5) : le coefficient est 2,5 €/m. Pour 6 m, on lit 15 €, et 6 × 2,5 = 15. Dans l’autre sens, pour 10 €, on lit 4 m, et 10 ÷ 2,5 = 4.
Une droite, et qui passe par l’origine
Tarif A : 4 € par heure de kayak. C’est une droite qui passe par l’origine : le prix est proportionnel à la durée, de coefficient 4 €/h.
Tarif B : 6 € de location du gilet, puis 2 € par heure. C’est une droite, mais elle coupe l’axe vertical en 6 : pour 0 h, on paie déjà 6 €. Pas de proportionnalité.
Les deux droites se croisent au point (3 ; 12) : pour 3 h, les deux tarifs coûtent 12 € (4 × 3 = 12 et 6 + 2 × 3 = 12). Au-delà de 3 h, la droite B est en dessous : le tarif B est le moins cher.
L’aire d’un carré en fonction de son côté (partie 1) : la courbe passe par l’origine, mais ce n’est pas une droite. Pas de proportionnalité.
Prouver par le calcul, utiliser une formule
Les points (2 ; 7), (4 ; 14) et (6 ; 20) sont-ils alignés avec l’origine ? 7 ÷ 2 = 3,5 et 14 ÷ 4 = 3,5, mais 20 ÷ 6 ≈ 3,33 : non, le troisième point n’est pas sur la droite des deux premiers (il faudrait 6 × 3,5 = 21).
La longueur d’un cercle est donnée par la formule L = π × d : elle est proportionnelle au diamètre d, de coefficient π ≈ 3,14. Un cercle de 10 cm de diamètre a une longueur de 10π cm, environ 31,4 cm.
L’aire d’un carré, A = c × c, n’est pas de la forme k × c avec un nombre k fixé : ce n’est pas une formule de proportionnalité.
Réflexe — devant un graphique, je vérifie deux choses : est-ce une droite (des points alignés) ? passe-t-elle par l’origine ? Il faut les deux.
Attention — une lecture graphique est approchée : si on peut, on la vérifie par un calcul. Une droite qui coupe l’axe vertical au-dessus de l’origine signale un montant fixe. Et quand la grandeur en abscisse est un nombre d’objets, on place des points sans les relier : on ne loue pas 2,5 kayaks.
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Pourcentages : appliquer, augmenter, diminuer
Rappels de 5ᵉ, puis la nouveauté de 4ᵉ : le coefficient multiplicateur, qui fait une hausse ou une baisse en une seule multiplication.
Calculer un pourcentage : partie ÷ total × 100.
Augmenter de t % revient à multiplier par 1 + t/100 ; diminuer de t % revient à multiplier par 1 − t/100. Ce nombre est le coefficient multiplicateur : plus grand que 1 pour une hausse, plus petit que 1 pour une baisse.
Retrouver la valeur de départ : on divise la nouvelle valeur par le coefficient multiplicateur.
Plusieurs évolutions à la suite : on multiplie les coefficients multiplicateurs.
Rappels : 12 % de 350, c’est 350 × 0,12 = 42. Et 27 élèves sur 45, c’est 27 ÷ 45 × 100 = 60 % des élèves.
Pourquoi ça marche ? Augmenter une valeur N de 8 %, c’est lui ajouter 8 % d’elle-même : N + N × 0,08 = N × (1 + 0,08) = N × 1,08 (distributivité). De même, diminuer de 35 %, c’est multiplier par 1 − 0,35 = 0,65.
| Évolution | hausse de 8 % | hausse de 50 % | baisse de 35 % | baisse de 5 % |
|---|---|---|---|---|
| Coefficient multiplicateur | 1,08 | 1,5 | 0,65 | 0,95 |
Baisse. Un sac de couchage à 84 € est soldé à −35 % : 84 × 0,65 = 54,60 €.
Hausse. Un abonnement de 9 € par mois augmente de 15 % : 9 × 1,15 = 10,35 €.
Valeur de départ. Après une hausse de 20 %, une paire de baskets coûte 42 €. Avant la hausse, elle coûtait 42 ÷ 1,2 = 35 € (contrôle : 35 × 1,2 = 42).
Retrouver le pourcentage. Un prix passe de 40 € à 46 € : 46 ÷ 40 = 1,15 = 1 + 0,15, c’est une hausse de 15 %. Un prix passe de 25 € à 21 € : 21 ÷ 25 = 0,84 = 1 − 0,16, c’est une baisse de 16 %.
Deux évolutions à la suite
Une baisse de 30 % puis une baisse de 10 % : 0,7 × 0,9 = 0,63 = 1 − 0,37. C’est une baisse de 37 %, et non de 40 %.
Une hausse de 25 % puis une baisse de 25 % : 1,25 × 0,75 = 0,9375. On ne revient pas au départ : la valeur a baissé de 6,25 %.
Réflexe — je traduis chaque évolution par son coefficient multiplicateur, puis je multiplie (ou je divise pour remonter à la valeur de départ). Contrôle : après une hausse, le résultat est plus grand ; après une baisse, il est plus petit.
Attention — une hausse de 5 %, c’est × 1,05 et non × 1,5. Pour remonter au prix d’avant la hausse de 20 %, on ne retire pas 20 % de 42 € (on trouverait 33,60 €) : on divise par 1,2. Et deux pourcentages successifs ne s’additionnent pas.
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Échelles d’un plan ou d’une carte
Rappels de 5ᵉ, puis trouver une échelle avec un produit en croix, et l’effet d’une échelle sur les aires.
L’échelle 1/n (on écrit aussi 1 : n) signifie que 1 cm sur le plan représente n cm en réalité :
• longueur réelle = longueur sur le plan × n ;
• longueur sur le plan = longueur réelle ÷ n, après avoir écrit la longueur réelle en cm ;
• pour trouver l’échelle, on calcule « plan ÷ réel » dans la même unité, et on l’écrit sous la forme 1/n.
Conversions utiles : 1 m = 100 cm ; 1 km = 100 000 cm.
| Question | Calcul | Exemple à l’échelle 1/250 |
|---|---|---|
| Du plan à la réalité | plan × 250 | 6,4 cm → 6,4 × 250 = 1 600 cm = 16 m |
| De la réalité au plan | réel ÷ 250 | 37,5 m = 3 750 cm → 3 750 ÷ 250 = 15 cm |
| Trouver l’échelle | plan ÷ réel | 2 cm pour 15 m = 1 500 cm : 1 500 ÷ 2 = 750, échelle 1/750 |
Une échelle, c’est une quatrième proportionnelle
Sur une carte, 3,5 cm représentent 14 km. Distance réelle pour 9 cm, sans chercher l’échelle : 9 × 14 ÷ 3,5 = 126 ÷ 3,5 = 36 km.
L’échelle de cette carte : 14 km = 1 400 000 cm et 1 400 000 ÷ 3,5 = 400 000. 1 cm représente 400 000 cm : l’échelle est 1/400 000.
Agrandissement. Pour un objet minuscule, l’échelle est plus grande que 1 : à l’échelle 15 : 1, 15 cm sur le schéma représentent 1 cm réel. Une puce électronique de 0,4 cm de côté y mesure 0,4 × 15 = 6 cm.
Échelle et aires
Les longueurs sont multipliées par n, mais une aire est un produit de deux longueurs : elle est multipliée par n × n.
Sur un plan à l’échelle 1/250, une chambre rectangulaire mesure 2 cm sur 1,6 cm. En réalité : 2 × 250 = 500 cm = 5 m et 1,6 × 250 = 400 cm = 4 m, donc une aire de 5 × 4 = 20 m². Sur le plan, l’aire est 2 × 1,6 = 3,2 cm², et 3,2 × 250 × 250 = 200 000 cm² = 20 m² (1 m² = 10 000 cm²). À cette échelle, 1 cm² du plan représente 250 × 250 = 62 500 cm², soit 6,25 m².
Réflexe — j’écris les deux longueurs en cm avant de multiplier ou de diviser par n, et je convertis le résultat dans l’unité demandée à la fin.
Attention — 1 km = 100 000 cm, et non 1 000 cm. À l’échelle 1/250, l’aire réelle n’est pas l’aire du plan × 250 : pour la chambre, 3,2 × 250 = 800 cm², bien loin de 20 m². Plus n est grand, plus la réalité est réduite sur le plan.
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Pour aller plus loin
Vitesse, débit, masse volumique — à vitesse constante, la distance parcourue est proportionnelle à la durée, et le coefficient est la vitesse ; de même pour le volume écoulé (coefficient : le débit) ou la masse d’un matériau (coefficient : la masse volumique). Vitesse moyenne, conversions de km/h en m/s : voir Grandeurs composées : vitesse, débit, masse volumique.
Fonctions — une grandeur qui dépend d’une autre, avec un tableau de valeurs, une formule ou un graphique, la proportionnalité étant un cas particulier : voir Fonctions : tableau, formule, graphique.
Proportionnalité en géométrie — dans des triangles emboîtés, les longueurs des côtés sont proportionnelles ; un agrandissement de rapport k multiplie les longueurs par k : voir Théorème de Thalès : triangles emboîtés, et pour les aires, Racine carrée : définition et carrés parfaits.
Se verra en 3ᵉ — les fonctions linéaires : une situation de proportionnalité de coefficient a se note x ↦ ax, et sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine.
- Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient, qui a une unité (€/L, m² par rouleau) ; un montant fixe empêche la proportionnalité.
- Quatrième proportionnelle : coefficient, passage à l’unité, linéarité ou produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité à deux colonnes a, c / b, d : a × d = b × c, donc d = b × c ÷ a.
- Ratio 3 : 2 : a ÷ 3 = b ÷ 2. Pour partager une quantité dans ce ratio, on la découpe en 3 + 2 = 5 parts égales.
- Une situation est de proportionnalité si et seulement si elle est représentée par des points alignés avec l’origine du repère.
- Augmenter de t % : multiplier par 1 + t/100 ; diminuer de t % : multiplier par 1 − t/100. Pour remonter, on divise ; deux évolutions à la suite : on multiplie les coefficients.
- Échelle 1/n : 1 cm sur le plan représente n cm en réalité (réel = plan × n, plan = réel ÷ n) ; les aires sont multipliées par n × n.
Questions fréquentes
Comment savoir si un tableau est un tableau de proportionnalité ?
On calcule, dans chaque colonne, le quotient « 2e ligne ÷ 1re ligne ». S’ils sont tous égaux, c’est un tableau de proportionnalité et ce quotient est le coefficient : pour 4 L → 7,40 € et 10 L → 18,50 €, on trouve 1,85 €/L deux fois. Un seul quotient différent suffit pour dire non.
Comment calculer une quatrième proportionnelle avec le produit en croix ?
Dans un tableau de proportionnalité à deux colonnes, les produits en croix sont égaux. On multiplie les deux nombres de la diagonale complète et on divise par le troisième : si 7 stylos coûtent 9,45 €, 11 stylos coûtent 11 × 9,45 ÷ 7 = 14,85 €.
Comment reconnaître la proportionnalité sur un graphique ?
Une situation est de proportionnalité si et seulement si ses points sont alignés avec l’origine du repère. Une droite qui coupe l’axe vertical au-dessus de 0 (un montant fixe) ou une courbe ne conviennent pas. Le coefficient est l’ordonnée du point d’abscisse 1.
Par quel nombre multiplier pour augmenter ou diminuer d’un pourcentage ?
Augmenter de t %, c’est multiplier par 1 + t/100 : une hausse de 8 % correspond à × 1,08. Diminuer de t %, c’est multiplier par 1 − t/100 : une baisse de 35 % correspond à × 0,65. Pour retrouver la valeur de départ, on divise par ce coefficient.
Comment utiliser l’échelle d’un plan ?
À l’échelle 1/n, 1 cm sur le plan représente n cm en réalité : on multiplie par n pour passer du plan à la réalité, on divise par n dans l’autre sens, avec les longueurs en cm. À 1/250, 6,4 cm représentent 1 600 cm, soit 16 m. Les aires, elles, sont multipliées par n × n.
Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.
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