À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Proportionnalité & vitesse » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Reconnaître une situation de proportionnalité, Le coefficient de proportionnalité, Compléter un tableau : quatrième proportionnelle, Le produit en croix. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Reconnaître une situation de proportionnalité
2 · Le coefficient de proportionnalité
3 · Compléter un tableau : quatrième proportionnelle
4 · Le produit en croix
5 · Pourcentages : appliquer et calculer
6 · Échelles : plans et cartes
7 · Vitesse moyenne : $v = \dfrac{d}{t}$
1Reconnaître une situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par un même nombre. C'est le cas, par exemple, du prix payé en fonction du nombre d'objets identiques achetés.
Définition. Deux grandeurs sont proportionnelles si, en multipliant l'une par un nombre, on multiplie l'autre par le même nombre. Si je prends $2$ fois plus d'objets, je paie $2$ fois plus cher.
Exemple. Un paquet de gâteaux coûte $3$ €. Voici le prix selon le nombre de paquets :
| Nombre de paquets | $1$ | $2$ | $3$ | $5$ |
| Prix (en €) | $3$ | $6$ | $9$ | $15$ |
On passe de la 1re ligne à la 2e en multipliant toujours par $3$ : c'est bien une situation de proportionnalité. On peut la visualiser : les points sont alignés avec l'origine.
Attention ! Une situation n'est pas proportionnelle si l'on ajoute toujours le même nombre (croissance « additive ») au lieu de multiplier. Exemple : un abonnement de $10$ € + $2$ € par séance n'est pas proportionnel à cause des $10$ € de départ.
Astuce. Sur un graphique, une situation est proportionnelle si et seulement si les points sont alignés et la droite passe par l'origine $(0\,;0)$.
2Le coefficient de proportionnalité
Le nombre par lequel on multiplie pour passer d'une grandeur à l'autre s'appelle le coefficient de proportionnalité.
Définition. Dans un tableau de proportionnalité, le coefficient de proportionnalité $k$ est le nombre tel que : (2e ligne) $= k \times$ (1re ligne). On le calcule par une division : $k = \dfrac{\text{valeur 2e ligne}}{\text{valeur 1re ligne}}$.
Exemple. Avec le tableau des paquets de gâteaux, $k = \dfrac{6}{2} = \dfrac{9}{3} = \dfrac{15}{5} = 3$. Le coefficient est $3$ : pour tout nombre de paquets, $\text{prix} = 3 \times \text{nombre}$.
Vérifier la proportionnalité. On calcule tous les quotients $\dfrac{\text{2e ligne}}{\text{1re ligne}}$ : s'ils sont tous égaux, le tableau est proportionnel ; sinon, il ne l'est pas.
Contre-exemple. Pour le tableau ci-dessous, $\dfrac{10}{2} = 5$ mais $\dfrac{18}{4} = 4{,}5$ : les quotients diffèrent, ce n'est pas proportionnel.
| Grandeur A | $2$ | $4$ | $6$ |
| Grandeur B | $10$ | $18$ | $30$ |
3Compléter un tableau : quatrième proportionnelle
On connaît souvent trois valeurs d'un tableau de proportionnalité et l'on cherche la quatrième : on l'appelle la quatrième proportionnelle.
Méthode du coefficient. Si l'on connaît le coefficient $k$, on multiplie (ou on divise) pour compléter. Sinon, on le calcule d'abord avec deux valeurs connues d'une même colonne.
Exemple. $4$ croissants coûtent $5$ €. Combien coûtent $10$ croissants ?
Coefficient : $k = \dfrac{5}{4} = 1{,}25$ € par croissant.
Prix de $10$ croissants : $10 \times 1{,}25 = 12{,}50$ €.
Méthode du passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour $1$ unité, puis on multiplie par le nombre voulu. Très pratique pour les recettes et les prix.
Exemple. Pour $6$ personnes, une recette utilise $300$ g de farine. Pour $1$ personne : $\dfrac{300}{6} = 50$ g. Pour $9$ personnes : $9 \times 50 = 450$ g.
4Le produit en croix
Le produit en croix est une méthode rapide et sûre pour trouver une quatrième proportionnelle, surtout quand le coefficient n'est pas un nombre simple.
Propriété (produit en croix). Dans un tableau de proportionnalité, les produits en diagonale sont égaux. Si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, alors $a \times d = b \times c$.
| Ligne 1 | $a$ | $c$ |
| Ligne 2 | $b$ | $d$ |
Calculer la valeur manquante. Si $x$ est inconnu, on isole : $x = \dfrac{\text{produit des deux valeurs « en croix » connues}}{\text{valeur opposée}}$.
Exemple résolu. $3$ stylos coûtent $4{,}20$ €. Combien coûtent $7$ stylos ?
On pose : $\dfrac{3}{4{,}20} = \dfrac{7}{x}$.
Produit en croix : $3 \times x = 4{,}20 \times 7$, donc $x = \dfrac{4{,}20 \times 7}{3} = \dfrac{29{,}40}{3} = 9{,}80$ €.
Attention ! Place bien les grandeurs : les valeurs de même nature doivent être sur la même ligne (les nombres de stylos ensemble, les prix ensemble).
5Pourcentages : appliquer et calculer
Un pourcentage est une proportionnalité particulière, rapportée à $100$. « $25\%$ » signifie « $25$ pour $100$ », soit le coefficient $\dfrac{25}{100} = 0{,}25$.
Appliquer un pourcentage. Prendre $t\%$ d'une quantité, c'est la multiplier par $\dfrac{t}{100}$. Par exemple, $30\%$ de $80$ valent $\dfrac{30}{100} \times 80 = 0{,}30 \times 80 = 24$.
Exemple (remise). Un article à $50$ € subit une remise de $20\%$.
Montant de la remise : $\dfrac{20}{100} \times 50 = 10$ €.
Nouveau prix : $50 - 10 = 40$ €. (Ou directement : $50 \times 0{,}80 = 40$ €.)
Calculer un pourcentage. Pour savoir quel pourcentage représente une part, on calcule $\dfrac{\text{part}}{\text{total}} \times 100$.
Exemple. Dans une classe de $25$ élèves, $15$ sont des filles. Le pourcentage de filles est $\dfrac{15}{25} \times 100 = 60\%$.
Voici la répartition de cette classe :
Attention ! Augmenter de $50\%$ puis diminuer de $50\%$ ne ramène pas au prix de départ ! ($100 \to 150 \to 75$). Les pourcentages successifs ne s'additionnent pas.
6Échelles : plans et cartes
Sur un plan ou une carte, les longueurs réelles et les longueurs sur le dessin sont proportionnelles. Le coefficient s'appelle l'échelle.
Définition. L'échelle est le quotient $\dfrac{\text{longueur sur le plan}}{\text{longueur réelle}}$, exprimé avec la même unité en haut et en bas. Une échelle $\dfrac{1}{200}$ (notée $1:200$) signifie : $1$ cm sur le plan représente $200$ cm en réalité.
Attention aux unités ! Convertis toujours dans la même unité avant de calculer. $1$ m $= 100$ cm, $1$ km $= 100\,000$ cm.
Exemple (du plan vers la réalité). Sur un plan à l'échelle $\dfrac{1}{200}$, un mur mesure $4$ cm. Longueur réelle : $4 \times 200 = 800$ cm $= 8$ m.
Exemple (de la réalité vers le plan). Une distance réelle de $30$ km doit être représentée sur une carte à l'échelle $\dfrac{1}{1\,000\,000}$.
$30$ km $= 3\,000\,000$ cm. Sur la carte : $\dfrac{3\,000\,000}{1\,000\,000} = 3$ cm.
Astuce. Échelle plus petite ($\dfrac{1}{1\,000\,000}$) = on voit plus grand (un pays). Échelle plus grande ($\dfrac{1}{100}$) = on voit les détails (une pièce).
7Vitesse moyenne : $v = \dfrac{d}{t}$
La vitesse moyenne relie la distance parcourue à la durée du trajet. C'est une grandeur composée, étroitement liée à la proportionnalité.
Définition. La vitesse moyenne est $v = \dfrac{d}{t}$, où $d$ est la distance parcourue et $t$ la durée. À vitesse constante, la distance est proportionnelle à la durée.
Les trois formules. À partir de $v = \dfrac{d}{t}$, on déduit : $d = v \times t$ et $t = \dfrac{d}{v}$.
| Je cherche la vitesse | $v = \dfrac{d}{t}$ |
| Je cherche la distance | $d = v \times t$ |
| Je cherche la durée | $t = \dfrac{d}{v}$ |
Exemple. Une voiture parcourt $180$ km en $2$ h. Sa vitesse moyenne est $v = \dfrac{180}{2} = 90$ km/h.
Exemple. Un cycliste roule à $20$ km/h pendant $3$ h. Distance parcourue : $d = 20 \times 3 = 60$ km.
Attention aux unités ! La vitesse s'exprime en km/h ou en m/s. Si la durée est en minutes, convertis en heures : $30$ min $= 0{,}5$ h, $45$ min $= 0{,}75$ h.
Le graphique distance-temps d'un trajet à vitesse constante est une droite passant par l'origine :
★À retenir
En bref :
• Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant par un même nombre $k$, le coefficient de proportionnalité ($k = \dfrac{\text{2e ligne}}{\text{1re ligne}}$).
• Graphique : points alignés passant par l'origine.
• Produit en croix : si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, alors $a \times d = b \times c$ ; on en déduit la quatrième proportionnelle.
• Pourcentage : prendre $t\%$, c'est multiplier par $\dfrac{t}{100}$.
• Échelle $= \dfrac{\text{plan}}{\text{réel}}$ (même unité).
• Vitesse : $v = \dfrac{d}{t}$, donc $d = v \times t$ et $t = \dfrac{d}{v}$ (attention aux unités).