À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Proportionnalité & vitesse » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Reconnaître une situation de proportionnalité, Tableau de proportionnalité & coefficient, Propriétés : additivité & passage à l'unité, Quatrième proportionnelle & produit en croix. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Reconnaître une situation de proportionnalité
2 · Tableau de proportionnalité & coefficient
3 · Propriétés : additivité & passage à l'unité
4 · Quatrième proportionnelle & produit en croix
5 · Les pourcentages : appliquer t %
6 · Augmenter ou diminuer de t %
7 · La vitesse moyenne (v = d ÷ t)
8 · Convertir des durées & changer d'unité de vitesse
9 · Débit & échelles
1Reconnaître une situation de proportionnalité
Définition. Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre fixe s'appelle le coefficient de proportionnalité.
L'idée à retenir : si je double une grandeur, l'autre double aussi ; si je multiplie par 3, l'autre est aussi multipliée par 3, etc. C'est le cas par exemple du prix payé et de la quantité achetée (à prix unitaire fixe), ou de la distance et du temps quand on roule à vitesse constante.
Exemple qui MARCHE (proportionnel)
Des croissants à 1,20 € pièce :
| Nombre de croissants | 1 | 2 | 5 | 10 |
| Prix (€) | 1,20 | 2,40 | 6,00 | 12,00 |
On passe toujours de la 1ʳᵉ ligne à la 2ᵉ en multipliant par 1,20 : c'est proportionnel.
Exemple qui NE marche PAS
L'âge et la taille d'une personne : à 2 ans on ne mesure pas le double de sa taille à 1 an. Il n'y a aucun nombre fixe qui relie les deux : ce n'est pas proportionnel.
⚠️ Une addition constante n'est PAS une proportionnalité. Si on ajoute toujours 5 (par exemple un abonnement + un prix), on n'a pas de coefficient multiplicateur : ce n'est pas proportionnel.
💡 Test rapide : à 0, une grandeur proportionnelle vaut 0 (0 croissant → 0 €). Si « pour 0 d'un côté, l'autre n'est pas 0 », ce n'est pas proportionnel.
2Tableau de proportionnalité & coefficient
Un tableau de proportionnalité est un tableau à deux lignes où l'on passe de la 1ʳᵉ ligne à la 2ᵉ en multipliant toujours par le même coefficient k.
Trouver le coefficient. On choisit une colonne
complète et on calcule :
coefficient = valeur de la 2ᵉ lignevaleur de la 1ʳᵉ ligne
| Litres d'essence | 10 | 30 | ? | 50 |
|---|
| Prix (€) | 18 | 54 | 72 | 90 |
|---|
Coefficient : 1810 = 1,8. On vérifie : 30 × 1,8 = 54 ✓ 50 × 1,8 = 90 ✓. La case « ? » : 72 ÷ 1,8 = 40 litres.
Vérifier qu'un tableau est proportionnel
On calcule le rapport 2ᵉ ligne1ʳᵉ ligne pour chaque colonne. Si on trouve toujours le même nombre → proportionnel. Sinon → non proportionnel.
Exemple. Tableau (3 ; 12) et (5 ; 20) : 123 = 4 et 205 = 4. Même rapport → proportionnel, coefficient 4.
💡 Le coefficient peut aussi servir dans l'autre sens : pour remonter de la 2ᵉ ligne à la 1ʳᵉ, on divise par k.
3Propriétés : additivité & passage à l'unité
Dans un tableau de proportionnalité, on peut calculer de plusieurs façons malines sans toujours connaître le coefficient.
Le passage à l'unité
On cherche d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie. C'est la méthode reine pour les prix.
Exemple. 4 stylos coûtent 5 €. Prix d'un stylo : 5 ÷ 4 = 1,25 €. Prix de 7 stylos : 1,25 × 7 = 8,75 €.
Linéarité (additivité et multiplication)
- Additivité : si 3 kg coûtent 6 € et 2 kg coûtent 4 €, alors 5 kg coûtent 6 + 4 = 10 €.
- Multiplication : si 2 m coûtent 7 €, alors 6 m (= 3 × 2 m) coûtent 3 × 7 = 21 €.
💡 Combine les deux : pour 7 kg, fais 5 kg + 2 kg, ou bien 1 kg × 7. On prend le chemin le plus simple selon les nombres.
4Quatrième proportionnelle & produit en croix
Dans un tableau de proportionnalité, quand trois cases sont connues et une inconnue, cette case manquante s'appelle la quatrième proportionnelle.
Produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les
produits en croix sont égaux : a × x = b × c. On en déduit :
x = b × ca
Méthode pas-à-pas :
- 1) On range les données dans un tableau (bien aligner les grandeurs de même nature sur une même ligne).
- 2) On repère la case vide x et la case seule en diagonale de x.
- 3) On multiplie les deux cases d'une même diagonale connue, puis on divise par la case restante.
Exemple. 6 cahiers coûtent 9 €. Combien coûtent 10 cahiers ?
x =
10 × 96 =
906 =
15 €.
⚠️ Le produit en croix ne s'utilise que si la situation est proportionnelle. Sur des données non proportionnelles, il donne un résultat faux.
5Les pourcentages : appliquer t %
Définition. « t % » signifie « t sur 100 », c'est-à-dire la fraction t100. Appliquer t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100.
Un pourcentage est une situation de proportionnalité où l'on rapporte tout à 100.
Exemple. 20 % de 350 € = 350 × 20100 = 350 × 0,2 = 70 €.
| Pourcentage | Fraction | Multiplier par… |
|---|
| 10 % | 10100 | 0,1 |
| 25 % | 25100 | 0,25 |
| 50 % | 50100 | 0,5 |
| 100 % | 100100 | 1 |
Astuces de calcul mental
- 10 % : on divise par 10 (10 % de 80 = 8).
- 50 % : c'est la moitié (50 % de 80 = 40).
- 25 % : c'est le quart (25 % de 80 = 20).
💡 Trouver le pourcentage : « 12 élèves sur 30 » = 1230 = 40100 = 40 %. On ramène la fraction sur 100.
6Augmenter ou diminuer de t %
Pour modifier une quantité d'un pourcentage, on calcule d'abord la variation (le « + » ou le « − »), puis on l'ajoute ou on la retire.
Méthode en 2 étapes
Augmenter de t %. 1) calculer t % de la valeur ; 2) ajouter cette variation.
Diminuer de t %. 1) calculer t % de la valeur ; 2) retirer cette variation.
Augmentation. Un article à 80 € augmente de 15 %.
Variation : 80 × 15100 = 12 €. Nouveau prix : 80 + 12 = 92 €.
Diminution (solde). Un jean à 60 € est soldé à −30 %.
Variation : 60 × 30100 = 18 €. Prix soldé : 60 − 18 = 42 €.
Méthode directe (coefficient multiplicateur)
On peut aller plus vite en multipliant en une seule fois :
- Augmenter de 15 % → multiplier par 1,15 (100 % + 15 % = 115 % = 1,15).
- Diminuer de 30 % → multiplier par 0,70 (100 % − 30 % = 70 % = 0,70).
80 × 1,15 = 92 € · 60 × 0,70 = 42 €. On retrouve les mêmes résultats.
⚠️ Augmenter de 50 % puis diminuer de 50 % ne ramène pas au prix de départ : 100 → 150 → 75. Les pourcentages successifs ne s'additionnent pas !
7La vitesse moyenne (v = d ÷ t)
Définition. La
vitesse moyenne est le quotient de la distance parcourue par la durée du trajet :
v = dt
avec
d la distance,
t la durée et
v la vitesse.
La distance et la durée sont proportionnelles quand on avance à vitesse constante : la vitesse est exactement le coefficient de proportionnalité (distance par unité de temps).
Les trois formules à connaître
| Je cherche… | Formule |
|---|
| la vitesse v | v = dt |
| la distance d | d = v × t |
| la durée t | t = dv |
Exemple. Une voiture parcourt 240 km en 3 h.
v = 2403 = 80 km/h.
⚠️ Unités cohérentes. Pour des km/h, la distance est en km et la durée en heures. 30 min = 0,5 h ; 15 min = 0,25 h ; 1 h 30 = 1,5 h. Une vitesse en m/s demande des mètres et des secondes.
💡 « km/h » se lit « kilomètres par heure » : c'est la distance parcourue en une heure. À 80 km/h, on fait 80 km en 1 h, donc 160 km en 2 h.
8Convertir des durées & changer d'unité de vitesse
Les erreurs de vitesse viennent presque toujours des durées mal converties. Une durée n'est pas décimale au sens des minutes : 1 h 30 n'est pas 1,30 h.
Minutes → heures
Pour passer des minutes aux heures, on
divise par 60 :
durée en heures = durée en minutes60
| Durée | 15 min | 30 min | 45 min | 1 h 30 | 2 h 15 |
|---|
| En heures | 0,25 h | 0,5 h | 0,75 h | 1,5 h | 2,25 h |
|---|
⚠️ 1 h 30 = 1 h + 30 min = 1 h + 0,5 h = 1,5 h. On ne « colle » jamais les minutes après la virgule.
De m/s à km/h
1 m/s correspond à 3,6 km/h (car 1 m en 1 s → 3600 m = 3,6 km en 1 h). Donc :
- m/s → km/h : on multiplie par 3,6 (10 m/s = 36 km/h).
- km/h → m/s : on divise par 3,6 (90 km/h = 25 m/s).
9Débit & échelles
Le débit
Définition. Le
débit est le volume (ou la masse) qui s'écoule par unité de temps :
débit = volumedurée
Il se mesure par exemple en L/min ou L/s.
Comme la vitesse, c'est une proportionnalité : à débit constant, volume et durée sont proportionnels.
Exemple. Un robinet verse 60 L en 4 min → débit = 604 = 15 L/min. En 10 min : 15 × 10 = 150 L.
Les échelles
Définition. L'
échelle d'un plan ou d'une carte est le rapport :
échelle = distance sur le plandistance réelle
(les deux distances étant dans la
même unité).
Une échelle de 1/200 signifie : 1 cm sur le plan représente 200 cm (soit 2 m) dans la réalité.
- Plan → réel : on multiplie la mesure du plan par le dénominateur de l'échelle.
- Réel → plan : on divise la mesure réelle par le dénominateur de l'échelle.
Exemple. Échelle 1/25000. Sur la carte, deux villes sont à 8 cm.
Distance réelle : 8 × 25000 = 200000 cm = 2 km.
⚠️ Une échelle plus petite que 1 (carte, plan d'immeuble) réduit ; une échelle plus grande que 1 (microscope, schéma de fourmi) agrandit.
🎓 Récap express : proportionnel = on multiplie toujours par le même k · quatrième proportionnelle = produit en croix · t % = × t100 · augmenter de t % = × (1 + t100), diminuer = × (1 − t100) · v = dt (unités cohérentes !) · débit = volumedurée · échelle = planréel.