Fonctions : tableau, formule, graphique

Calcule avec la formule donnée.

1. Avec $V=50-4\times t$, pour $t=7$ : $V=$
   $V=50-4\times 7=50-28=22$.
2. Avec $A=3\times c+12$, pour $c=2,5$ : $A=$
   $A=3\times 2,5+12=7,5+12=19,5$.
3. Avec $y=6\times (x+3)$, pour $x=4$ : $y=$
   Les parenthèses d’abord : $4+3=7$, puis $6\times 7=42$.
4. « Le temps de cuisson d’un rôti dépend de sa masse. » La grandeur de départ est (écris « le temps » ou « la masse »)
   On choisit la masse du rôti, et on en déduit le temps de cuisson : la grandeur de départ est la masse.

Question inverse : trouve la valeur de départ.

1. Une imprimante 3D coûte $9$ € de préparation, puis $0,50$ € par gramme de plastique : $P=9+0,5\times m$. Avec $34$ €, on imprime g
   On défait à l’envers : $34-9=25$, puis $25÷0,5=50$. Vérification : $9+0,5\times 50=9+25=34$ ✓
2. Avec $y=7\times x-10$, pour $y=39$ : $x=$
   On défait à l’envers : $39+10=49$, puis $49÷7=7$. Vérification : $7\times 7-10=39$ ✓
3. Avec $C=4\times (n+5)$, pour $C=64$ : $n=$
   La dernière opération est « $\times 4$ » : $64÷4=16$, puis $16-5=11$. Vérification : $4\times (11+5)=4\times 16=64$ ✓

Graphique et proportionnalité.

1. Parmi $A(2;11)$, $B(4;20)$, $C(0;1)$ et $D(6;31)$, écris les points du graphique de $y=5\times x+1$ : ; ;
   $5\times 2+1=11$ ✓ ; $5\times 4+1=21$, pas $20$ ✗ ; $5\times 0+1=1$ ✓ ; $5\times 6+1=31$ ✓. Les points $A$, $C$ et $D$ sont sur le graphique.
2. (a) $p=2,5\times n$ ; (b) $p=n+2,5$ ; (c) $p=n\times n$. Lettre de la seule situation de proportionnalité :
   Seule (a) multiplie toujours $n$ par le même nombre, $2,5$ : ses points sont alignés avec l’origine. (b) donne $2,5$ pour $n=0$ ; (c) donne des points qui ne sont pas alignés.
3. Le graphique de $y=3\times x+4$ coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée
   Sur l’axe des ordonnées, l’abscisse vaut $0$ : $3\times 0+4=4$. La droite passe par $(0;4)$, pas par l’origine.

Écris la formule en complétant (forme réduite, sans signe ×).

1. Un triangle a deux côtés de $x$ cm et un côté de $9$ cm. Périmètre : $P=$ $x+$
   $P=x+x+9=2x+9$.
2. Un rectangle mesure $(x+3)$ cm sur $5$ cm. Aire, développée : $A=$ $x+$
   $A=5\times (x+3)=5x+15$. Contrôle avec $x=1$ : $5\times 4=20$ et $5+15=20$ ✓
3. On achète $n$ croissants à $1,20$ € et une baguette à $1,10$ €. Prix : $p=$ $n+$
   Chaque croissant coûte $1,20$ €, la baguette se paie une fois : $p=1,2n+1,1$.

Programmes de calcul avec des nombres relatifs.

1. « Choisir un nombre, l’élever au carré, puis ajouter le triple du nombre choisi. » Résultat pour $-5$ :
   En partant de $x$ : $x^2+3x$. Pour $x=-5$ : $(-5{)}^2=25$ et $3\times (-5)=-15$, donc $25-15=10$.
2. « Choisir un nombre, lui ajouter $6$, puis multiplier par le nombre choisi. » Résultat développé : $x^2+$ $x$
   En partant de $x$ : $(x+6)\times x=x^2+6x$.
3. Avec ce même programme, résultat pour $-6$ :
   $(-6+6)\times (-6)=0\times (-6)=0$. Avec la forme développée : $36-36=0$ ✓

Dans un carré de $10$ cm de côté, on découpe au centre un carré de $x$ cm de côté.

1. Aire restante pour $x=4$ : cm²
   $10\times 10-4\times 4=100-16=84$ cm².
2. Formule de l’aire restante : $A=$ $-x^2$
   Avec $4$ : $100-4\times 4$. On remplace $4$ par $x$ : $A=100-x^2$.
3. Côté du carré découpé quand l’aire restante vaut $19$ cm² : $x=$ cm
   Il faut $100-x^2=19$, donc $x^2=81$ ; une longueur est positive et $9\times 9=81$ : $x=9$ cm. Vérification : $100-81=19$ ✓

Vocabulaire et calcul d’images.

1. Un programme transforme $7$ en $-2$. Le nombre $-2$ est de $7$ (écris « l’image » ou « un antécédent »)
   $-2$ est le résultat obtenu en partant de $7$ : c’est l’image de $7$.
2. Un programme transforme $4$ en $15$. Le nombre $4$ est de $15$ (écris « l’image » ou « un antécédent »)
   $4$ est un nombre de départ qui donne $15$ : c’est un antécédent de $15$.
3. Programme « multiplier par $-2$, puis ajouter $9$ ». Image de $-3$ :
   $(-3)\times (-2)+9=6+9=15$.
4. Avec $y=x^2-6$, image de $-4$ :
   $(-4{)}^2=16$, puis $16-6=10$.
5. Avec $y=(x+1)(x-2)$, image de $-5$ :
   $(-5+1)\times (-5-2)=(-4)\times (-7)=28$.

Antécédent par le calcul : résous l’équation, puis vérifie.

1. Avec $y=4x+7$, antécédent de $-5$ :
   $4x+7=-5$, donc $4x=-12$, donc $x=-3$. Vérification : $4\times (-3)+7=-5$ ✓
2. Avec $y=9-2x$, antécédent de $20$ :
   $9-2x=20$, donc $-2x=11$, donc $x=-5,5$. Vérification : $9-2\times (-5,5)=9+11=20$ ✓
3. Avec $y=6x-1$, antécédent de $2$ :
   $6x-1=2$, donc $6x=3$, donc $x=0,5$. Vérification : $6\times 0,5-1=2$ ✓

On considère $y=x^2+3$.

1. Nombre d’antécédents de $147$ :
   Il faut $x^2=144$ : ${12}^2=144$ et $(-12{)}^2=144$. Deux antécédents : $12$ et $-12$.
2. Nombre d’antécédents de $3$ :
   Il faut $x^2=0$ : seul $0$ convient. Un seul antécédent.
3. Nombre d’antécédents de $-6$ :
   Il faudrait $x^2=-9$ : impossible, un carré n’est jamais négatif. Aucun antécédent.
4. Le plus petit antécédent de $403$ :
   Il faut $x^2=400$ : les antécédents sont $20$ et $-20$. Le plus petit est $-20$.

Complète le tableau de valeurs de $y=2x^2-1$.

1. Pour $x=-3$ : $y=$
   Le carré d’abord : $(-3{)}^2=9$, puis $2\times 9-1=17$.
2. Pour $x=-1$ : $y=$
   $(-1{)}^2=1$, puis $2\times 1-1=1$.
3. Pour $x=0$ : $y=$
   $2\times 0-1=-1$.
4. Pour $x=0,5$ : $y=$
   $0,5^2=0,25$, puis $2\times 0,25-1=0,5-1=-0,5$.
5. Pour $x=2$ : $y=$
   $2^2=4$, puis $2\times 4-1=7$.

Voici un tableau de valeurs de $y=x^2-5$.

1. Image de $-2$ :
   Dans la colonne de $-2$, on lit $-1$.
2. Antécédents de $-4$, dans l’ordre croissant : ;
   $-4$ apparaît deux fois sur la deuxième ligne, sous $-1$ et sous $1$.
3. Nombre d’antécédents de $-5$ dans le tableau :
   $-5$ n’apparaît qu’une fois, sous $0$.
4. Image de $6$, avec la formule :
   $6$ n’est pas dans le tableau : $6^2=36$, puis $36-5=31$.

Dans un tableur, les nombres de départ sont sur la ligne 1, de B1 à H1. En B2, on a tapé =3*B1+4, puis on a recopié la formule vers la droite.

1. Dans la cellule E2, la formule est =3*+4
   En recopiant vers la droite, le tableur remplace B1 par C1, D1, puis E1 : =3*E1+4.
2. Si E1 contient $-6$, la cellule E2 affiche :
   $3\times (-6)+4=-18+4=-14$.
3. La cellule F2 affiche $25$. La cellule F1 contient :
   Question inverse : $3x+4=25$, donc $3x=21$, donc $x=7$. Vérification : $3\times 7+4=25$ ✓

Le graphique représente une fonction.

1. Image de $1$ :
   Je monte de $1$ jusqu’à la courbe et je lis $4$ sur l’axe des ordonnées.
2. Image de $5$ :
   Je descends de $5$ jusqu’à la courbe et je lis $-4$.
3. Antécédents de $1$, dans l’ordre croissant : ;
   L’horizontale d’ordonnée $1$ coupe la courbe en deux points, d’abscisses $0$ et $4$.
4. Valeur maximale : ; elle est atteinte pour $x=$
   Le point le plus haut de la courbe est $(2;5)$ : le maximum est $5$, atteint pour $x=2$.
5. Nombre d’antécédents de $6$ :
   La courbe ne monte pas plus haut que $5$ : l’horizontale d’ordonnée $6$ ne la coupe pas. Aucun antécédent.

Points d’une courbe, par le calcul : on considère $y=2x^2-3$.

1. Parmi $A(-2;5)$, $B(2;1)$, $C(3;15)$ et $D(-1;-5)$, écris les points de la courbe : ;
   $2\times 4-3=5$ ✓ ; $2\times 4-3=5$, pas $1$ ✗ ; $2\times 9-3=15$ ✓ ; $2\times 1-3=-1$, pas $-5$ ✗. Ce sont $A$ et $C$.
2. Ordonnée du point de la courbe d’abscisse $-0,5$ :
   $(-0,5{)}^2=0,25$, puis $2\times 0,25-3=0,5-3=-2,5$.

Le bassin A contient $900$ L et se vide de $50$ L par minute ; le bassin B contient $100$ L et se remplit de $30$ L par minute. Au bout de $t$ minutes, ils contiennent $900-50t$ et $100+30t$ litres.

1. Au bout de combien de minutes les deux bassins contiennent-ils le même volume ? min
   Les droites se coupent pour $t=10$. Par le calcul : $900-50\times 10=400$ et $100+30\times 10=400$ ✓
2. Ce volume commun : L
   Le point d’intersection a pour ordonnée $400$ : chaque bassin contient $400$ L.
3. Au bout de $4$ min, de combien de litres le bassin A dépasse-t-il le bassin B ? L
   $900-50\times 4=700$ L et $100+30\times 4=220$ L : $700-220=480$ L.
4. Au bout de combien de minutes le bassin A est-il vide ? min
   La droite du bassin A coupe l’axe des abscisses en $18$ : $900-50\times 18=0$ ✓