Fonctions : tableau, formule, graphique

Une grandeur en fonction d’une autre : rappels de 5e (formule, question inverse, tableau, points dans un repère, proportionnalité) ; produire une formule (variable, conventions du calcul littéral, programmes de calcul) ; image et antécédent d’un nombre, par le calcul (avec des nombres relatifs et des carrés) ; tableau de valeurs produit, lu dans les deux sens et construit au tableur ; représentation graphique : construire une courbe, lire images et antécédents, maximum, minimum, comparer deux courbes.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés sur les fonctions : le plein de carburant et le lavage, le rectangle de largeur 4 cm, la balle lancée vers le haut, le tarif des photocopies, la température d’un four relevée dans un tableau, et l’aire et le périmètre d’un carré comparés sur un graphique.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’énoncé et je repère la grandeur de départ et celle qui en dépend.
Je traduis : une formule (je l’écris en faisant le calcul avec un nombre simple), un tableau ou un graphique.
Je choisis : une image se calcule ou se lit ; un antécédent se trouve en résolvant une équation, en lisant de bas en haut ou horizontalement sur la courbe.
Je vérifie en calculant l’image du nombre trouvé, puis je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · Le plein et le lavage★★★Facile

Dans une station, le carburant coûte

1, 80

€ le litre. Le prix, en euros, de

x

litres est

p = 1, 8 x

. La station propose aussi un lavage à

9

€.

1. Prix de $30$ L de carburant : €
$1, 8 \times 30 = 54$ €.
2. Antécédent de $72$ (nombre de litres pour $72$ €) : L
$1, 8 x = 72$ , donc $x = 72 \div 1, 8 = 40$ L. Vérification : $1, 8 \times 40 = 72$ ✓
3. Avec le lavage, le prix total est $T = 1, 8 x + 9$ . Prix total pour $45$ L : €
$1, 8 \times 45 + 9 = 81 + 9 = 90$ €.
4. Un client paie $99$ €, lavage compris. Nombre de litres : L
$1, 8 x + 9 = 99$ , donc $1, 8 x = 90$ , donc $x = 50$ L. Vérification : $90 + 9 = 99$ ✓

Problème 2 · Le rectangle de largeur 4 cm★★★Moyen

Un rectangle a une largeur fixe de

4

cm et une longueur variable de

x

cm. On note

P

son périmètre (en cm) et

A

son aire (en cm²).

1. Formule du périmètre : $P =$ $x +$
$P = 2 \times (x + 4) = 2 x + 8$ .
2. L’aire s’écrit $A = 4 x$ . Aire pour $x = 6$ : cm²
$A = 4 \times 6 = 24$ cm².
3. Longueur pour laquelle le périmètre vaut $30$ cm : cm
$2 x + 8 = 30$ , donc $2 x = 22$ , donc $x = 11$ cm. Vérification : $2 \times 11 + 8 = 30$ ✓
4. Longueur pour laquelle le nombre qui mesure l’aire dépasse de $10$ celui qui mesure le périmètre : cm
$4 x = 2 x + 8 + 10$ , donc $4 x = 2 x + 18$ , donc $2 x = 18$ , donc $x = 9$ . Vérification : $A = 36$ et $P = 26$ , et $36 - 26 = 10$ ✓

Problème 3 · La balle lancée vers le haut★★★Moyen

On lance une balle vers le haut. Sa hauteur, en mètres,

t

secondes après le lancer, est donnée par

h = 20 t - 5 t^{2}

, pour

t

entre

0

4

1. Hauteur au bout de $2$ s : m
$2^{2} = 4$ , puis $20 \times 2 - 5 \times 4 = 40 - 20 = 20$ m.
2. Hauteur au bout de $0, 5$ s : m
$20 \times 0, 5 - 5 \times 0, 25 = 10 - 1, 25 = 8, 75$ m.
3. Hauteur au bout de $4$ s : m
$20 \times 4 - 5 \times 16 = 80 - 80 = 0$ : la balle est retombée au sol.
4. La balle est à $15$ m de hauteur à deux instants. L’un est $t = 1$ s ; l’autre, un nombre entier de secondes, est $t =$ s
On teste $t = 2$ : $20$ m ; $t = 3$ : $60 - 45 = 15$ m ✓. Le nombre $15$ a deux antécédents, $1$ et $3$ : à la montée et à la descente.

Problème 4 · Les photocopies★★★Moyen

Un service de photocopies facture

2

€ de frais fixes, plus

0, 08

€ par page. On note

n

le nombre de pages et

c

le coût, en euros.

1. Formule du coût : $c =$ $+ 0, 08 n$
Les $2$ € se paient une fois, et chaque page coûte $0, 08$ € : $c = 2 + 0, 08 n$ .
2. Coût de $50$ pages : €
$2 + 0, 08 \times 50 = 2 + 4 = 6$ €.
3. Antécédent de $10$ (nombre de pages pour $10$ €) :
$2 + 0, 08 n = 10$ , donc $0, 08 n = 8$ , donc $n = 100$ pages.
4. Coût de $40$ pages : € ; double du coût de $20$ pages : €
$2 + 0, 08 \times 40 = 5, 20$ € ; $2 \times (2 + 0, 08 \times 20) = 2 \times 3, 60 = 7, 20$ €. Doubler le nombre de pages ne double pas le coût : à cause des frais fixes, ce n’est pas une proportionnalité.

Problème 5 · La température du four★★★Difficile

On relève la température d’un four, en °C, en fonction du temps écoulé depuis l’allumage, en minutes.

Temps (min)	0	5	10	15	20	25
Température (°C)	20	80	140	180	200	200

1. Température au bout de $10$ min : °C
Dans la colonne de $10$ min, on lit $140$ °C.
2. Hausse de température entre $5$ et $15$ min : °C
$180 - 80 = 100$ °C en $10$ minutes.
3. Hausse moyenne par minute pendant les $10$ premières minutes : °C
$(140 - 20) \div 10 = 120 \div 10 = 12$ °C par minute.
4. Nombre d’antécédents de $200$ dans le tableau :
$200$ apparaît sous $20$ min et sous $25$ min : le four a atteint sa température et ne chauffe plus davantage.

Problème 6 · Aire et périmètre d’un carré★★★Difficile

Pour un carré de côté

c

cm, l’aire vaut

c^{2}

cm² et le périmètre

4 c

cm. Le graphique donne ces deux valeurs en fonction de

c

1. Valeur de $c$ , non nulle, pour laquelle l’aire et le périmètre ont la même valeur : cm
Les deux courbes se coupent pour $c = 0$ et pour $c = 4$ . Vérification : $4^{2} = 16$ et $4 \times 4 = 16$ ✓
2. Pour $c = 2$ cm, la plus grande des deux valeurs est (écris « l’aire » ou « le périmètre »)
Pour $c = 2$ , la droite du périmètre est au-dessus : $4 \times 2 = 8$ et $2^{2} = 4$ .
3. Pour $c = 5$ cm : aire ; périmètre
$5^{2} = 25$ et $4 \times 5 = 20$ : après $4$ cm, la courbe de l’aire passe au-dessus de la droite du périmètre.
4. Pour $c = 10$ cm, de combien l’aire dépasse-t-elle le périmètre ?
$10^{2} = 100$ et $4 \times 10 = 40$ , donc $100 - 40 = 60$ : l’écart grandit avec $c$ .

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