Proportionnalité : quatrième proportionnelle et graphique

Rappels de 5ᵉ (reconnaître une situation de proportionnalité, coefficient et son unité, linéarité, passage à l’unité), quatrième proportionnelle et égalité des produits en croix, partage selon un ratio, représentation graphique (points alignés avec l’origine, lecture, formule), pourcentages (appliquer, coefficient multiplicateur d’une hausse ou d’une baisse, valeur de départ, évolutions successives), échelles (plan et réalité, trouver l’échelle, aires) ; problèmes.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés de proportionnalité : une recette de gâteau à adapter, deux tarifs d’une salle d’escalade à comparer, du jus de pommes partagé selon un ratio, des soldes avec deux remises successives, le plan d’un appartement à l’échelle 1/75 et un comparatif de prix au kilogramme de céréales.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’énoncé et je repère ce qui est proportionnel (prix au kilogramme, recette, échelle) et ce qui ne l’est pas (montant fixe, abonnement).
Je range les données dans un tableau, les grandeurs de même nature sur la même ligne, et je convertis dans la même unité (g et kg, cm et km).
Je choisis l’outil : passage à l’unité ou produit en croix pour une quatrième proportionnelle, parts égales pour un ratio, coefficient multiplicateur pour un pourcentage.
Je contrôle l’ordre de grandeur, puis je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · La recette de gâteau★★★Facile

Une recette de gâteau pour

6

personnes utilise

450

g de farine,

3

œufs et

75

cL de lait.

1. Masse de farine pour $10$ personnes : g
$450 \div 6 = 75$ g par personne ; $10 \times 75 = 750$ g.
2. Nombre d’œufs pour $10$ personnes :
$3 \div 6 = 0, 5$ œuf par personne ; $10 \times 0, 5 = 5$ œufs.
3. Volume de lait pour $10$ personnes : L
$75 \times 10 \div 6 = 750 \div 6 = 125$ cL, soit $1, 25$ L.
4. On a $1, 2$ kg de farine, et tout le reste en quantité suffisante. Pour combien de personnes au plus peut-on faire le gâteau ?
$1, 2$ kg $= 1 200$ g. Avec $75$ g par personne : $1 200 \div 75 = 16$ personnes.

Problème 2 · Les deux tarifs de la salle d’escalade★★★Facile

Tarif A :

8

€ la séance. Tarif B : une carte annuelle à

36

€, puis

5

€ la séance.

1. Prix de $10$ séances avec le tarif A : €
$10 \times 8 = 80$ €.
2. Prix de $10$ séances avec le tarif B : €
$36 + 10 \times 5 = 36 + 50 = 86$ €.
3. Sur un graphique du prix en fonction du nombre de séances, quel tarif donne des points alignés avec l’origine ? (A ou B)
Le tarif A est proportionnel au nombre de séances (coefficient $8$ € par séance). Pour le tarif B, $0$ séance coûte déjà $36$ € : ses points sont alignés sur une droite qui passe par $(0; 36)$ .
4. Pour combien de séances les deux tarifs coûtent-ils le même prix ?
Chaque séance coûte $8 - 5 = 3$ € de moins avec B, et il faut rattraper les $36$ € de la carte : $36 \div 3 = 12$ . Pour $12$ séances : A coûte $12 \times 8 = 96$ € et B $36 + 12 \times 5 = 96$ €.
5. À partir de combien de séances le tarif B est-il le moins cher ?
Au-delà de $12$ séances, B devient moins cher : pour $13$ séances, A coûte $104$ € et B $36 + 13 \times 5 = 101$ €.

Problème 3 · Le jus de pommes partagé★★★Moyen

Trois familles apportent

12

kg,

20

kg et

28

kg de pommes au pressoir du village. Le pressoir donne

0, 6

L de jus par kilogramme de pommes.

1. Volume de jus obtenu avec toutes les pommes : L
$12 + 20 + 28 = 60$ kg, et $60 \times 0, 6 = 36$ L.
2. Les masses apportées sont dans le ratio $3 : 5 :$
$12 = 3 \times 4$ , $20 = 5 \times 4$ et $28 = 7 \times 4$ : ratio $3 : 5 : 7$ .
3. Le jus est vendu $150$ € ; cette somme est partagée selon ce ratio. La famille qui a apporté $20$ kg reçoit €
$3 + 5 + 7 = 15$ parts de $150 \div 15 = 10$ € : elle reçoit $5 \times 10 = 50$ €.
4. L’an prochain, on veut $54$ L de jus. Masse de pommes nécessaire : kg
$54 \div 0, 6 = 90$ kg.

Problème 4 · Les soldes★★★Moyen

Pendant les soldes, un jean affiché

68

€ est remisé de

20 %

. À la caisse, une remise supplémentaire de

15 %

est appliquée sur le prix déjà soldé.

1. Prix après la première remise : €
$68 \times 0, 80 = 54, 40$ €.
2. Prix payé à la caisse : €
$54, 40 \times 0, 85 = 46, 24$ €.
3. Pourcentage de remise totale par rapport au prix affiché : %
$0, 8 \times 0, 85 = 0, 68 = 1 - 0, 32$ : remise totale de $32 %$ .
4. Avec une remise unique de $35 %$ , le jean aurait coûté €
$68 \times 0, 65 = 44, 20$ €, moins que $46, 24$ € : les deux remises ne font pas $35 %$ , car la seconde porte sur un prix déjà réduit.

Problème 5 · Le plan de l’appartement★★★Difficile

Le plan d’un appartement est dessiné à l’échelle

1 / 75

1. Sur le plan, la chambre a une longueur de $4, 8$ cm. Longueur réelle : m
$4, 8 \times 75 = 360$ cm $= 3, 60$ m.
2. Le salon a une longueur réelle de $6, 3$ m. Longueur sur le plan : cm
$6, 3$ m $= 630$ cm ; $630 \div 75 = 8, 4$ cm.
3. Sur le plan, la largeur du salon est $5, 6$ cm. Aire réelle du salon : m²
Largeur réelle : $5, 6 \times 75 = 420$ cm $= 4, 2$ m ; aire : $6, 3 \times 4, 2 = 26, 46$ m².
4. On photocopie le plan en divisant toutes ses longueurs par $2$ . La nouvelle échelle est $1 / n$ avec $n =$
$1$ cm sur la copie correspond à $2$ cm sur le plan, donc à $2 \times 75 = 150$ cm en réalité : échelle $1 / 150$ .

Problème 6 · Le comparatif de céréales★★★Difficile

Une boîte de céréales de

750

g coûte

3, 60

€. La boîte familiale de

1, 2

kg coûte

5, 52

€.

1. Prix au kilogramme de la boîte de $750$ g : €
$750$ g $= 0, 75$ kg ; $3, 60 \div 0, 75 = 4, 80$ € par kg.
2. Prix au kilogramme de la boîte familiale : €
$5, 52 \div 1, 2 = 4, 60$ € par kg : la boîte familiale est moins chère au kilogramme.
3. Une offre spéciale donne $25 %$ de céréales en plus dans la boîte de $750$ g, au même prix. Masse de cette boîte : g
$750 \times 1, 25 = 937, 5$ g.
4. Prix au kilogramme de cette offre : €
$937, 5$ g $= 0, 9375$ kg ; $3, 60 \div 0, 9375 = 3, 84$ € par kg.
5. La boîte familiale est ensuite remisée de $20 %$ . Son nouveau prix au kilogramme : €
$4, 60 \times 0, 8 = 3, 68$ € par kg : elle redevient la moins chère ( $3, 68$ € contre $3, 84$ €).

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