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Fonctions : tableau, formule, graphique
Une grandeur en fonction d’une autre : rappels de 5e (formule, question inverse, tableau, points dans un repère, proportionnalité) ; produire une formule (variable, conventions du calcul littéral, programmes de calcul) ; image et antécédent d’un nombre, par le calcul (avec des nombres relatifs et des carrés) ; tableau de valeurs produit, lu dans les deux sens et construit au tableur ; représentation graphique : construire une courbe, lire images et antécédents, maximum, minimum, comparer deux courbes.
À propos de cette page
Rappels de 5ᵉ : une grandeur en fonction d’une autre
Cette dépendance se donne de trois façons : une formule, un tableau de valeurs ou un graphique.
• Utiliser une formule : on remplace la lettre par la valeur choisie et on calcule en respectant les priorités.
• Question inverse : on connaît le résultat et on cherche la valeur de départ, en défaisant les opérations à l’envers (en commençant par la dernière), puis on vérifie.
• Dans un repère, la grandeur de départ se place en abscisse (axe horizontal), celle qui en dépend en ordonnée (axe vertical). On relie les points si la grandeur de départ prend toutes les valeurs (courbe) ; sinon, on obtient un nuage de points.
• Une situation est une situation de proportionnalité si, et seulement si, les points de son graphique sont alignés avec l’origine du repère.
C’est ce qu’on a vu en 5ᵉ. En 4ᵉ, on apprend à écrire soi-même la formule, on parle d’image et d’antécédent, et on travaille aussi avec des nombres négatifs et des carrés.
Une salle d’escalade fait payer une carte d’adhésion de 15 €, puis 8 € par séance. Le prix P (en €) est en fonction du nombre de séances n : P = 15 + 8 × n.
Pour 6 séances : P = 15 + 8 × 6 = 15 + 48 = 63. On paie 63 €.
Question inverse : avec 111 €, combien de séances ? On défait à l’envers : 111 − 15 = 96, puis 96 ÷ 8 = 12. C’est 12 séances. Vérification : 15 + 8 × 12 = 15 + 96 = 111 ✓
| Séances n | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Prix P (€) | 23 | 31 | 39 | 47 |
Dans un repère, ces colonnes donnent les points (1 ; 23), (2 ; 31), (3 ; 39) et (4 ; 47). On ne fait pas 2,5 séances : on ne relie pas les points, c’est un nuage de points. Les points sont alignés, mais pas avec l’origine (pour 0 séance, on paierait déjà 15 €) : le prix n’est pas proportionnel au nombre de séances.
Réflexe — je repère la grandeur qu’on choisit et celle qu’on obtient ; je calcule avec la formule en respectant les priorités ; pour la question inverse, je défais à l’envers, puis je vérifie avec la formule.
Attention — la multiplication passe avant l’addition : 15 + 8 × 6 = 63, et non 23 × 6. Et des points alignés ne suffisent pas pour la proportionnalité : il faut qu’ils soient alignés avec l’origine.
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Produire une formule
1. on choisit une lettre pour la grandeur de départ ; cette lettre peut prendre plusieurs valeurs : on l’appelle la variable ;
2. on écrit le calcul qu’on ferait avec un nombre simple, puis on remplace ce nombre par la lettre ;
3. on contrôle la formule avec une autre valeur, calculée à la main.
La formule s’écrit avec les conventions du calcul littéral : 4 × x = 4x ; x × x = x² ; x × x × x = x³.
Deux formules qui se transforment l’une en l’autre (en développant, en réduisant) donnent toujours les mêmes résultats : elles décrivent la même dépendance.
Dans un carton rectangulaire de 30 cm sur 20 cm, on découpe un carré de x cm de côté à chacun des quatre coins. L’aire restante A (en cm²) dépend de x.
Avec 3 cm : 30 × 20 − 4 × 3 × 3 = 600 − 36 = 564 cm². On remplace 3 par x : A = 600 − 4x².
Contrôle avec x = 5 : 600 − 4 × 5 × 5 = 600 − 100 = 500 cm², et la formule donne 600 − 4 × 25 = 500 ✓
Programme de calcul : « Choisir un nombre ; lui soustraire 4 ; multiplier le résultat par le nombre choisi. » En partant de x, le résultat est R = (x − 4) × x, qu’on écrit aussi x(x − 4) ou, en développant, x² − 4x.
Pour x = −2 : (−2 − 4) × (−2) = (−6) × (−2) = 12. Avec la forme développée : (−2)² = 4 et 4 × (−2) = −8, donc 4 − (−8) = 4 + 8 = 12 ✓
| Situation | Formule |
|---|---|
| Périmètre d’un triangle de côtés x cm, x cm et 6 cm | P = 2x + 6 |
| Prix de n cahiers à 2,40 € et d’un classeur à 5 € | p = 2,4n + 5 |
| Volume d’un cube d’arête a | V = a³ |
| Aire d’un disque de rayon r | A = πr² |
Réflexe — je fais d’abord le calcul avec un nombre simple (par exemple 3), puis je remplace ce nombre par la lettre ; je contrôle ma formule avec une autre valeur.
Attention — 2x n’est pas x² : pour x = 5, 2x = 10 mais x² = 25. Et les parenthèses comptent : pour x = 10, (x − 4) × x = 6 × 10 = 60, alors que x − 4 × x = 10 − 40 = −30.
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Image et antécédent
Vocabulaire : si le nombre de départ 5 donne le résultat 13, on dit que :
• 13 est l’image de 5 (c’est le résultat) ;
• 5 est un antécédent de 13 (c’est un nombre de départ qui donne 13).
Un nombre a une seule image. Un nombre peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents.
• Calculer une image : on remplace la lettre par le nombre, puis on calcule (c’est utiliser la formule).
• Chercher un antécédent : c’est la question inverse ; avec une formule comme 3x − 5, on résout une équation, puis on vérifie.
Programme : « multiplier par 3, puis soustraire 5 », c’est-à-dire y = 3x − 5.
Image de −4 : 3 × (−4) − 5 = −12 − 5 = −17. L’image de −4 est −17.
Antécédent de 22 : on résout 3x − 5 = 22, donc 3x = 27, donc x = 9. Vérification : 3 × 9 − 5 = 27 − 5 = 22 ✓ Le nombre 22 a un seul antécédent : 9.
Un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun
Image de 5 : 5² = 25, puis 25 + 4 = 29. Image de −5 : (−5)² = 25, puis 25 + 4 = 29. Le nombre 29 a deux antécédents : 5 et −5.
Le nombre 4 a un seul antécédent, 0 : il faut x² = 0, et seul 0 a pour carré 0.
Le nombre 3 n’a aucun antécédent : il faudrait x² = −1, or un carré n’est jamais négatif.
À l’inverse, associer à un nombre positif « le nombre dont il est le carré » n’est pas une fonction : 49 donnerait à la fois 7 et −7, puisque 7² = 49 et (−7)² = 49. Il n’y aurait pas une seule image.
Réflexe — « image de… » : je remplace et je calcule ; « antécédent de… » : je cherche le nombre de départ (je défais à l’envers ou je résous une équation), puis je vérifie en calculant son image.
Attention — l’image est le résultat, l’antécédent est le nombre de départ : ne les inverse pas. Avec un nombre négatif, j’écris des parenthèses : (−3)² = 9, mais −3² = −9.
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Le tableau de valeurs
• Produire un tableau : on fait un calcul par colonne avec la formule, en écrivant les nombres négatifs entre parenthèses.
• Lire un tableau : de haut en bas, on lit une image ; de bas en haut, on lit un antécédent. Si un nombre apparaît plusieurs fois sur la deuxième ligne, il a plusieurs antécédents dans le tableau.
• Un tableau ne donne que quelques valeurs : pour un nombre qui n’y figure pas, on utilise la formule, s’il y en a une.
• Avec un tableur, on écrit la formule une seule fois, en utilisant le nom de la cellule du nombre de départ, puis on la recopie vers la droite.
Pour x = −2 : (−2)² = 4 et 2 × (−2) = −4, donc y = 4 − (−4) + 1 = 4 + 4 + 1 = 9.
Pour x = 3 : 3² = 9 et 2 × 3 = 6, donc y = 9 − 6 + 1 = 4. Et ainsi de suite, colonne par colonne :
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Image de −1 : dans la colonne de −1, on lit 4.
Antécédents de 4 : le nombre 4 apparaît deux fois sur la deuxième ligne, sous −1 et sous 3. Ses antécédents dans le tableau sont −1 et 3. De même, 1 a pour antécédents 0 et 2. Le nombre 0 n’apparaît qu’une fois : son seul antécédent dans le tableau est 1.
Image de 10 : 10 n’est pas dans le tableau, on utilise la formule : 10² = 100 et 2 × 10 = 20, donc y = 100 − 20 + 1 = 81.
Le tableur
On écrit les nombres de départ sur la ligne 1. Dans la cellule B2, on tape =B1*B1-2*B1+1 (le signe = annonce une formule, * veut dire « multiplié par »). En recopiant vers la droite, le tableur adapte la formule : en C2, il calcule =C1*C1-2*C1+1, et ainsi de suite.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | x | −2 | −1 | 0 |
| 2 | y | =B1*B1-2*B1+1 | 4 | 1 |
Un tableau de mesures (par exemple la température relevée chaque heure) n’a souvent pas de formule : pour une valeur qui n’y figure pas, on ne peut que l’estimer.
Réflexe — une colonne = un calcul avec la formule ; pour les antécédents, je parcours toute la deuxième ligne avant de répondre.
Attention — je n’oublie pas les parenthèses autour des nombres négatifs : (−2)² = 4, pas −4. Et je ne m’arrête pas au premier antécédent trouvé dans le tableau.
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La représentation graphique : construire et lire
Construire la courbe : on fait un tableau de valeurs, on choisit une unité adaptée sur chaque axe, on place les points, puis on les relie à main levée par une courbe régulière (si le nombre de départ peut prendre toutes les valeurs).
Lire une image : je pars du nombre sur l’axe des abscisses, je vais verticalement jusqu’à la courbe, puis je lis l’ordonnée.
Lire les antécédents : je pars du nombre sur l’axe des ordonnées, je vais horizontalement ; chaque point de la courbe rencontré donne un antécédent, son abscisse.
Une droite verticale coupe la courbe en un point au plus (un nombre a une seule image) ; une droite horizontale peut la couper plusieurs fois.
Une lecture graphique donne une valeur approchée ; la formule, quand on l’a, donne la valeur exacte.
La courbe de y = x² − 2x + 1, construite avec le tableau de la partie précédente (points rouges) :
Image de 4 (en rouge) : je monte de 4 jusqu’à la courbe et je lis 9 sur l’axe des ordonnées. Par le calcul : 4² = 16 et 2 × 4 = 8, donc y = 16 − 8 + 1 = 9 ✓
Antécédents de 4 (en vert) : l’horizontale d’ordonnée 4 coupe la courbe en deux points, d’abscisses −1 et 3. Le nombre 4 a deux antécédents.
La courbe descend jusqu’au point (1 ; 0), puis elle monte : la plus petite valeur, le minimum, est 0, atteint pour x = 1. Le nombre 0 a un seul antécédent, 1 ; le nombre −2 n’en a aucun : l’horizontale d’ordonnée −2 ne coupe pas la courbe.
Antécédents de 5 : l’horizontale d’ordonnée 5 coupe la courbe entre −2 et −1, puis entre 3 et 4. On lit environ −1,2 et 3,2 : ce sont des valeurs approchées.
Comparer deux courbes
Une pousse de haricot mesure 6 cm et grandit de 2 cm par jour ; une pousse de tournesol mesure 12 cm et grandit de 1 cm par jour. Au bout de j jours, elles mesurent 6 + 2j et 12 + j centimètres.
Les deux droites se coupent au point (6 ; 18) : au bout de 6 jours, les deux pousses mesurent 18 cm. Par le calcul : 6 + 2 × 6 = 18 et 12 + 6 = 18 ✓
Avant 6 jours, la droite du tournesol est au-dessus : le tournesol est plus haut. Après 6 jours, c’est le haricot.
Réflexe — avant de lire, je regarde ce que porte chaque axe et sa graduation ; je trace les traits de lecture à la règle ; pour des antécédents, je cherche tous les points d’intersection.
Attention — l’image se lit sur l’axe des ordonnées, l’antécédent sur l’axe des abscisses. Et une lecture graphique est approchée : si j’ai la formule, je vérifie par le calcul.
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Pour aller plus loin
Proportionnalité — quatrième proportionnelle, graphique d’une situation de proportionnalité (droite passant par l’origine) : voir Proportionnalité : quatrième proportionnelle et graphique.
Antécédent et équation — chercher l’antécédent d’un nombre avec une formule comme 3x − 5, c’est résoudre une équation : voir Équations : résoudre une équation du premier degré. Pour transformer une formule (développer, réduire) : voir Calcul littéral : développer, factoriser, réduire.
En 3ᵉ — on notera f(x) l’image du nombre x par une fonction f (on lit « f de x ») et on étudiera les fonctions linéaires et affines, dont les courbes sont des droites. Résoudre une équation comme x² = 7, dont les solutions s’écrivent avec une racine carrée (√7 et −√7), se fera aussi en 3ᵉ ; en 4ᵉ, on trouve les antécédents par un carré à l’aide des carrés parfaits.
- « B est en fonction de A » : on choisit A (la grandeur de départ), on obtient B ; une formule se calcule en remplaçant la lettre, la question inverse se fait en défaisant à l’envers.
- Pour produire une formule, je fais le calcul avec un nombre simple, puis je remplace ce nombre par la lettre (la variable), et je contrôle avec une autre valeur.
- Si le nombre de départ 5 donne 13 : 13 est l’image de 5, et 5 est un antécédent de 13. Un nombre a une seule image, mais aucun, un ou plusieurs antécédents.
- Dans un tableau de valeurs, la deuxième ligne donne les images : de haut en bas on lit une image, de bas en haut les antécédents ; au tableur, la formule commence par = et se recopie.
- Sur la courbe, un point a pour coordonnées (nombre ; image) : l’image se lit sur l’axe des ordonnées, les antécédents sur l’axe des abscisses ; la lecture est approchée.
Questions fréquentes
Que veut dire « une grandeur est en fonction d’une autre » ?
Cela veut dire que la valeur de la première dépend de la valeur de la seconde : on choisit la grandeur de départ et on obtient l’autre. À la salle d’escalade, le prix est en fonction du nombre de séances : P = 15 + 8 × n, donc 6 séances coûtent 15 + 48 = 63 €. La dépendance se donne par une formule, un tableau de valeurs ou un graphique.
Comment écrire une formule à partir d’une situation ?
On choisit une lettre pour la grandeur de départ, on fait le calcul avec un nombre simple, puis on remplace ce nombre par la lettre. Pour un carré de x cm découpé à chaque coin d’un carton de 30 cm sur 20 cm, avec 3 cm on calcule 600 − 4 × 3 × 3, donc l’aire restante est A = 600 − 4x². On contrôle avec une autre valeur.
Quelle est la différence entre une image et un antécédent ?
Si un nombre de départ donne un résultat, le résultat est l’image du nombre de départ, et le nombre de départ est un antécédent du résultat. Avec y = 3x − 5, l’image de −4 est −17, et 9 est un antécédent de 22. Un nombre a une seule image, mais il peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents.
Comment lire un tableau de valeurs ?
La première ligne donne les nombres de départ, la deuxième leurs images. De haut en bas, on lit une image ; de bas en haut, on lit les antécédents, en parcourant toute la ligne : pour y = x² − 2x + 1, le nombre 4 apparaît deux fois, sous −1 et sous 3. Un nombre absent du tableau se calcule avec la formule.
Comment lire une image et un antécédent sur un graphique ?
Pour l’image d’un nombre, on part de ce nombre sur l’axe des abscisses, on va verticalement jusqu’à la courbe et on lit l’ordonnée. Pour les antécédents d’un nombre, on part de l’axe des ordonnées, on va horizontalement et on lit l’abscisse de chaque point de la courbe rencontré. La lecture est approchée : la formule donne la valeur exacte.
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