Qu'est-ce qu'une fonction en mathématiques ?

Une fonction est un procédé qui, à chaque nombre $x$, associe un unique nombre noté $f(x)$. Par exemple la fonction $f(x) = 2x + 3$ associe à $4$ le nombre $f(4) = 2 \times 4 + 3 = 11$.

Quelle est la différence entre image et antécédent ?

Si $f(4) = 11$, alors $11$ est l'image de $4$ (le résultat) et $4$ est un antécédent de $11$ (le nombre de départ). Un nombre a toujours une seule image, mais il peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Comment lire une image et un antécédent sur un graphique ?

Pour l'image de $a$, on part de $a$ sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe et on lit l'ordonnée. Pour un antécédent de $b$, on part de $b$ sur l'axe des ordonnées, on va horizontalement jusqu'à la courbe et on lit l'abscisse.

Collège · 4ᵉ · Mathématiques

Notion de fonction : tableau de valeurs, formule, graphique, images et antécédents

Q: Qu'est-ce qu'une fonction linéaire ?

Une fonction linéaire est une fonction de la forme $f(x) = a \times x$, où $a$ est un nombre fixé appelé coefficient. Elle traduit une situation de proportionnalité et sa représentation graphique est une droite passant par l'origine.

Une fonction associe à chaque nombre un unique nombre : notation $f (x)$ , image et antécédent, calcul avec une formule, lecture dans un tableau ou sur un graphique, introduction aux fonctions linéaires (programme de 4e)

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Notion de fonction : tableau de valeurs, formule, graphique, images et antécédents » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'une fonction ? La notation f(x), Image et antécédent, Calculer une image avec la formule, Le tableau de valeurs. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.

Qu'est-ce qu'une fonction ? La notation f(x)

En 5e, on a vu qu'une grandeur peut dépendre d'une autre (« le prix est en fonction de la masse »). En 4e, on donne un nom à ce procédé.

Définition. Une fonction

f

est un procédé qui, à chaque nombre

x

, associe un seul nombre, noté

f (x)

(on lit «

f

x

»). On écrit aussi

f : x \mapsto f (x)

Exemples.
•

f (x) = 2 x + 3

: on double le nombre puis on ajoute

3

. Ainsi

f (4) = 11

f (0) = 3

.
•

g (x) = x^{2}

: on élève au carré. Ainsi

g (5) = 25

g (- 5) = 25

.
•

h (x) = 3 x

: on triple. Ainsi

h (2, 5) = 7, 5

Attention !

f (x)

n'est pas «

f

fois

x

» : les parenthèses signifient « l'image de

x

par

f

».

f (4)

est un nombre, pas un produit.

Image et antécédent

Vocabulaire. Si

f (4) = 11

:
•

11

est l'image de

4

par

f

(le résultat) ;
•

4

est un antécédent de

11

par

f

(le nombre de départ).

	Image	Antécédent
Combien ?	une seule image par nombre	zéro, un ou plusieurs antécédents
Article	« l'image de $4$ »	« un antécédent de $11$ »
Se trouve…	à droite dans $f (4) = 11$	dans les parenthèses

Exemple avec $g (x) = x^{2}$ . L'image de

3

est

9

; l'image de

- 3

est aussi

9

. Le nombre

9

a donc deux antécédents :

3

- 3

. Le nombre

- 4

n'a aucun antécédent (un carré n'est jamais négatif). Le nombre

0

a un seul antécédent :

0

Astuce. « Image de… » → on calcule avec la formule. « Antécédent de… » → on cherche le nombre de départ : c'est la question inverse.

Calculer une image avec la formule

Méthode. Pour calculer

f (a)

, on remplace

x

par

a

dans la formule, partout où il apparaît, puis on calcule en respectant les priorités. Avec un nombre négatif, on l'écrit entre parenthèses.

Exemples avec $f (x) = 2 x + 3$ .

f (5) = 2 \times 5 + 3 = 13

f (- 2) = 2 \times (- 2) + 3 = - 4 + 3 = - 1

f (0, 5) = 2 \times 0, 5 + 3 = 4

Exemples avec $k (x) = x^{2} - 3 x$ .

k (4) = 4^{2} - 3 \times 4 = 16 - 12 = 4

k (- 1) = (- 1)^{2} - 3 \times (- 1) = 1 + 3 = 4

Attention !

(- 3)^{2} = 9

mais

- 3^{2} = - 9

. Sans parenthèses, on se trompe de signe. De même

2 x

signifie

2 \times x

: pour

x = 7

, c'est

14

, pas

27

Le tableau de valeurs

Définition. Un tableau de valeurs d'une fonction donne, pour quelques nombres

x

, leurs images

f (x)

. Première ligne : les nombres de départ ; deuxième ligne : les images.

Exemple : $f (x) = 2 x + 3$ .

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$- 1$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$

Lire le tableau.
• Image de

2

: colonne de

x = 2

, on lit

f (2) = 7

.
• Antécédent de

1

: on cherche

1

dans la ligne du bas, on remonte :

x = - 1

Attention ! Un tableau ne donne que quelques valeurs. Si le nombre cherché n'y figure pas, il faut utiliser la formule (ou le graphique). Et si une image apparaît deux fois dans la ligne du bas, ce nombre a deux antécédents.

La représentation graphique

Définition. La représentation graphique (ou courbe) de

f

est l'ensemble des points de coordonnées

(x; f (x))

: abscisse = nombre de départ, ordonnée = image.

Lire sur le graphique.
• Image de $a$ : partir de

a

sur l'axe des abscisses, monter (ou descendre) verticalement jusqu'à la courbe, lire l'ordonnée.
• Antécédent(s) de $b$ : partir de

b

sur l'axe des ordonnées, aller horizontalement jusqu'à la courbe (à chaque point rencontré correspond un antécédent), lire les abscisses.

Astuce. Une courbe de fonction ne peut jamais être coupée deux fois par une même droite verticale : un nombre n'a qu'une seule image. Une droite horizontale, elle, peut la couper plusieurs fois.

Trouver un antécédent par le calcul

Méthode. Chercher un antécédent de

b

par

f

, c'est résoudre l'équation

f (x) = b

Exemple 1. Antécédent de

11

par

f (x) = 2 x + 3

2 x + 3 = 11

, donc

2 x = 8

, donc

x = 4

. Vérification :

f (4) = 11

✓.

Exemple 2. Antécédent de

- 6

par

f (x) = 5 - 4 x

5 - 4 x = - 6

, donc

- 4 x = - 11

, donc

x = 2, 75

. Vérification :

5 - 4 \times 2, 75 = 5 - 11 = - 6

✓.

Exemple 3. Antécédents de

49

par

g (x) = x^{2}

x^{2} = 49

a deux solutions,

7

- 7

. Antécédents de

- 1

par

g

: aucun, car

x^{2} = - 1

est impossible.

Attention ! Ne confonds pas « calcule

f (11)

» (image de

11

, on remplace) et « trouve l'antécédent de

11

» (on résout

f (x) = 11

Introduction aux fonctions linéaires

Définition. Une fonction linéaire est une fonction de la forme

f (x) = a \times x

où

a

est un nombre fixé, appelé coefficient. Elle traduit une situation de proportionnalité de coefficient

a

Exemples.

h (x) = 3 x

(coefficient

3

p (x) = 1, 8 x

(prix de

x

litres à

1, 80

€),

m (x) = - 0, 5 x

(coefficient négatif). En revanche

f (x) = 2 x + 3

g (x) = x^{2}

ne sont pas linéaires.

Propriétés.
•

f (0) = 0

: la courbe est une droite passant par l'origine.
• Le coefficient se retrouve à partir d'une seule image : si

f

est linéaire et

f (4) = 10

, alors

a = 10 \div 4 = 2, 5

f (x) = 2, 5 x

.
• Doubler

x

double l'image :

f (8) = 2 \times f (4) = 20

Astuce. Pour reconnaître une fonction linéaire dans un tableau, on vérifie que les quotients

\frac{f (x)}{x}

sont tous égaux (tableau de proportionnalité). Les fonctions linéaires et affines seront étudiées en détail en 3e.

Méthodes et erreurs fréquentes

Les quatre erreurs classiques.
① Confondre image et antécédent (relire : le nombre de départ est dans les parenthèses).
② Oublier les parenthèses avec un nombre négatif :

(- 3)^{2} = 9

, pas

- 9

.
③ Croire qu'un nombre a toujours un seul antécédent : avec

x^{2}

16

en a deux.
④ Appeler « linéaire » toute fonction dont la courbe est une droite : il faut qu'elle passe par l'origine (

f (x) = a x

, sans terme ajouté).

Contrôle du résultat. Un antécédent trouvé se vérifie en calculant son image : on doit retomber sur le nombre demandé.

En bref

Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ un unique nombre $f (x)$ (« $f$ de $x$ »).
$f (4) = 11$ : $11$ est l'image de $4$ ; $4$ est un antécédent de $11$ . Une seule image, mais zéro, un ou plusieurs antécédents.
Image par la formule : on remplace $x$ (parenthèses pour les négatifs). Antécédent par le calcul : on résout $f (x) = b$ .
Tableau : image en dessous, antécédent au-dessus. Graphique : points $(x; f (x))$ , image lue verticalement, antécédent lu horizontalement.
Fonction linéaire : $f (x) = a x$ , proportionnalité de coefficient $a$ , droite passant par l'origine, $f (0) = 0$ .

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