Devoir surveillé : Repérage dans l'espace, patrons, aires et volumes

1. a)$B$ est sur l'axe des abscisses à $8$ cm de $A$ : $B(8;0;0)$. $H$ est au-dessus de $D$ : $H(0;5;3)$. $F$ est au-dessus de $B$ : $F(8;0;3)$. (0,5 pt par sommet) (1)
2. b)Altitude $0$ : le point est sur la face du bas $ABCD$ ; abscisse $8=AB$ et ordonnée $5=AD$ : c'est le sommet opposé à $A$ sur cette face, donc $C$. (0,5 pt) (1)
3. c)$E(0;0;3)$ et $F(8;0;3)$ ; $[EF]$ est parallèle à l'axe des abscisses, son milieu est à $4$ cm de $E$ : $M(4;0;3)$. (1 pt : 0,5 pt pour $E$ et $F$, 0,5 pt pour $M$) (1)
4. d)$V=8\times 5\times 3=120$ cm³. Or $1$ dm³ $=1$ L et $1$ cm³ $=0,001$ L, donc $120$ cm³ $=0,12$ L $=12$ cL. (0,5 pt pour le volume, 0,5 pt pour la conversion) (1)

Méthode — pour lire les coordonnées d'un sommet, pars de l'origine et compte ce qu'on parcourt dans l'ordre : d'abord le long de la longueur, puis de la largeur, enfin de la hauteur.

1. a)Aire de la base : ${\displaystyle \frac{6\times 4}{2}}=12$ cm². $V=12\times 9=108$ cm³. (0,5 pt base, 0,5 pt volume) (1)
2. b)$V=\pi \times 5^2\times 8=200\pi \approx 628,3$ cm³. (0,5 pt formule, 0,5 pt résultat) (1)
3. c)$V={\displaystyle \frac{6^2\times 10}{3}}={\displaystyle \frac{360}{3}}=120$ cm³. (0,5 pt formule, 0,5 pt résultat) (1)
4. d)$V={\displaystyle \frac{\pi \times 3^2\times 5}{3}}=15\pi \approx 47,1$ cm³. (0,5 pt formule, 0,5 pt résultat) (1)

Piège — la base d'un prisme n'est pas forcément la face posée sur la table : c'est la face qui se répète à l'identique ; ici, c'est le triangle rectangle, dont l'aire se divise par 2.

1. a)D'un disque (la base, de rayon $3$ cm) et d'un secteur circulaire (la surface latérale, de rayon égal à la génératrice, $5$ cm). (0,5 pt) (1)
2. b)Quand on enroule le secteur, son arc vient s'appliquer exactement sur le bord du disque de base. Longueur : $2\times \pi \times 3=6\pi \approx 18,8$ cm. (0,5 pt justification, 0,5 pt calcul) (1)
3. c)Le cercle complet de rayon $5$ cm mesure $10\pi$ cm ; l'arc en représente ${\displaystyle \frac{6\pi }{10\pi }}={\displaystyle \frac{3}{5}}$. L'angle est donc ${\displaystyle \frac{3}{5}}\times 360=216$°. (1 pt) (1)
4. d)La hauteur, le rayon et la génératrice forment un triangle rectangle ; par le théorème de Pythagore, $h^2=5^2-3^2=25-9=16$, donc $h=4$ cm. $V={\displaystyle \frac{\pi \times 3^2\times 4}{3}}=12\pi \approx 37,7$ cm³. (0,5 pt Pythagore, 0,5 pt $h$, 0,5 pt volume) (1)

Astuce — l'angle du secteur se trouve par proportionnalité : il représente la même fraction de 360° que le rayon de la base représente de la génératrice.

1. a)Vrai : $5$ faces latérales $+1$ base $=6$ faces ; $5$ arêtes de base $+5$ arêtes latérales $=10$ arêtes ; $5$ sommets de base $+$ le sommet principal $=6$ sommets. (1 pt) (1)
2. b)Vrai : $2,5$ dm³ $=2,5$ L et $1$ L $=100$ cL, donc $2,5$ L $=250$ cL. (1 pt) (1)
3. c)Faux : les fuyantes restent parallèles entre elles, mais leur longueur est réduite (souvent de moitié) ; seules les arêtes de la face avant sont en vraie grandeur. (1 pt) (1)
4. d)Vrai : la section est « une copie » de la face à laquelle le plan est parallèle, c'est un rectangle de mêmes longueur et largeur. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — mesurer une fuyante sur une perspective cavalière et croire obtenir la vraie longueur : le dessin conserve le parallélisme, pas toutes les longueurs.

1. a)$60\times 30\times 40=72000$ cm³ $=72$ dm³ $=72$ L. (0,5 pt volume, 0,5 pt conversion) (1)
2. b)$60\times 30\times 35=63000$ cm³ $=63$ L. (1 pt) (1)
3. c)$V={\displaystyle \frac{{15}^2\times 12}{3}}={\displaystyle \frac{225\times 12}{3}}=900$ cm³. L'eau déplacée occupe un pavé de base $60\times 30=1800$ cm² ; hausse du niveau : $900÷1800=0,5$ cm. (0,5 pt volume, 1 pt hausse) (1)
4. d)Nouveau niveau : $35+0,5=35,5$ cm $<40$ cm : l'eau ne déborde pas. (0,5 pt) (1)

Méthode — un objet immergé fait monter l'eau d'un volume égal au sien ; on divise ce volume par l'aire du fond pour obtenir la hausse du niveau.

1. a)$G$ est au-dessus de $C(12;9;0)$ : $G(12;9;4)$. $D$ est sur l'axe des ordonnées : $D(0;9;0)$. (0,5 pt par sommet) (1)
2. b)Ordonnée $9$ et altitude $4$ : le point est en haut de la face arrière, sur l'arête $[HG]$ qui va de $H(0;9;4)$ à $G(12;9;4)$. Seule l'abscisse change, donc $NH=3$ cm. (0,5 pt arête, 0,5 pt distance) (1)
3. c)La section est le rectangle $ACGE$ ($[AE]$ et $[CG]$ sont parallèles, de même longueur et perpendiculaires à la face du bas). Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ : $A{C}^2={12}^2+9^2=144+81=225$, donc $AC=15$ cm. (0,5 pt nature, 0,5 pt $AC$) (1)
4. d)Aire : $15\times 4=60$ cm². Les deux solides sont des prismes droits à base triangulaire ($ABC$ et $ACD$), de hauteur $4$ cm. Chacun : ${\displaystyle \frac{12\times 9}{2}}\times 4=54\times 4=216$ cm³ (la moitié des $432$ cm³ du pavé). (0,5 pt aire, 0,5 pt volumes) (1)

Piège — la largeur de la section diagonale n'est pas une arête du pavé mais une diagonale de face : on la calcule avec le théorème de Pythagore, jamais en la mesurant sur la perspective.

1. a)$0,12$ dm³ $=120$ cm³ ; base : $9\times 5=45$ cm². ${\displaystyle \frac{45\times h}{3}}=120$, donc $45h=360$ et $h=8$ cm. (0,5 pt conversion, 0,5 pt hauteur) (1)
2. b)$1$ L $=1000$ cm³ ; $\pi \times 4^2\times h=1000$, donc $h={\displaystyle \frac{1000}{16\pi }}\approx 19,9$ cm. (0,5 pt équation, 0,5 pt résultat) (1)
3. c)Base : ${\displaystyle \frac{5\times 12}{2}}=30$ cm² ; $30\times h=450$, donc $h=15$ cm. (0,5 pt base, 0,5 pt hauteur) (1)
4. d)${\displaystyle \frac{\pi \times r^2\times 9}{3}}=3\pi r^2=27\pi$, donc $r^2=9$ et $r=3$ cm. Génératrice (Pythagore) : $g^2=9^2+3^2=90$, $g=\sqrt{90}\approx 9,5$ cm. (0,5 pt rayon, 0,5 pt génératrice) (1)

Erreur fréquente — oublier de convertir avant de calculer : un volume en dm³ ou en litres et des longueurs en centimètres donnent une hauteur fausse d'un facteur 1 000.

1. a)$O$ est le centre du carré et $I$ le milieu de $[AB]$, donc $OI$ vaut la moitié du côté : $5$ cm. $[SO]$ est la hauteur, perpendiculaire à la base, donc à $(OI)$ : $SOI$ est rectangle en $O$. $S{I}^2={12}^2+5^2=144+25=169$, $SI=13$ cm. (0,5 pt $OI$ et angle droit, 1 pt $SI$) (1)
2. b)Le triangle $SAB$ est isocèle en $S$, donc $[SI]$ est sa hauteur. Aire d'une face : ${\displaystyle \frac{10\times 13}{2}}=65$ cm² ; aire latérale : $4\times 65=260$ cm². (1 pt) (1)
3. c)$V={\displaystyle \frac{{10}^2\times 12}{3}}={\displaystyle \frac{1200}{3}}=400$ cm³. (1 pt) (1)
4. d)$5\times 400=2000$ cm³ $=2$ dm³ $=2$ L. (0,5 pt) (1)

Méthode — la hauteur de la pyramide sert au volume, la hauteur d'une face latérale sert à l'aire : on passe de l'une à l'autre grâce au triangle rectangle caché à l'intérieur.

1. a)Le rayon est $3$ cm, pas $6$ : $V=\pi \times 3^2\times 10=90\pi \approx 282,7$ cm³. L'élève a pris le diamètre pour le rayon. (1 pt) (1)
2. b)Angle $={\displaystyle \frac{4}{10}}\times 360=144$°. L'élève a multiplié le rayon par la génératrice ($4\times 10=40$) au lieu de prendre la fraction ${\displaystyle \frac{4}{10}}$ de $360$°. (1 pt) (1)
3. c)$E$ est à la verticale de l'origine, à la hauteur $AE=2$ : $E(0;0;2)$. Le point $(5;0;0)$ est le sommet $B$. (1 pt) (1)
4. d)$350$ mL $=0,35$ L $=0,35$ dm³ : l'élève a décalé la virgule d'un rang au lieu de trois ($1$ L $=1000$ mL). (1 pt) (1)

Piège — dans un énoncé, un diamètre se cache souvent là où la formule attend un rayon : diviser par 2 avant d'élever au carré.

1. a)$20\times 15\times 10=3000$ cm³ $=3$ L. (0,5 pt) (1)
2. b)$V={\displaystyle \frac{\pi \times 3^2\times 12}{3}}=36\pi \approx 113,1$ cm³. (1 pt) (1)
3. c)$3000÷36\pi \approx 26,5$ : il peut servir $26$ cornets pleins (le ${27}^e$ ne serait pas rempli). (0,5 pt calcul, 0,5 pt arrondi justifié) (1)
4. d)Pythagore : $g^2={12}^2+3^2=153$, $g=\sqrt{153}\approx 12,37$ cm. Angle : ${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{153}}}\times 360\approx 87$°. (0,5 pt $g$, 1 pt angle) (1)

Erreur fréquente — arrondir au plus proche un nombre d'objets : 26,5 cornets ne font pas 27 cornets pleins ; quand on compte des objets complets, on arrondit à l'entier inférieur.

1. a)$AB=12$, $AD=9$, $AE=8$. $F$ est au-dessus de $B$ : $F(12;0;8)$ ; $H$ est au-dessus de $D$ : $H(0;9;8)$. (0,5 pt) (1)
2. b)Triangle $ABC$ rectangle en $B$ : $A{C}^2=144+81=225$, $AC=15$ cm. L'arête $[CG]$ est perpendiculaire à la face $ABCD$, donc à la droite $(AC)$ de cette face : $ACG$ est rectangle en $C$. $A{G}^2=225+64=289$, $AG=17$ cm. (0,5 pt $AC$, 0,5 pt angle droit, 0,5 pt $AG$) (1)
3. c)$Q$ est sur $[EH]$, donc $Q(0;y;8)$ avec $0\le y\le 9$ et $EQ=y$. $[AE]$ est perpendiculaire à la face du haut, donc $AEQ$ est rectangle en $E$ : $8^2+y^2={10}^2$, $y^2=36$, $y=6$. $Q(0;6;8)$. (0,5 pt triangle, 0,5 pt coordonnées) (1)
4. d)Pavé : $12\times 9\times 8=864$ cm³. Pyramide (base $ABCD$, hauteur $CG=8$) : ${\displaystyle \frac{108\times 8}{3}}=288$ cm³. ${\displaystyle \frac{288}{864}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ du pavé. (0,5 pt volumes, 0,5 pt fraction) (1)

Astuce — une grande diagonale de pavé se calcule par deux théorèmes de Pythagore enchaînés : d'abord la diagonale d'une face, puis le triangle debout qui la contient.

1. a)$h^2={10}^2-6^2=100-36=64$, $h=8$ cm. $V={\displaystyle \frac{\pi \times 36\times 8}{3}}=96\pi$ cm³. (0,5 pt $h$, 0,5 pt $V$) (1)
2. b)Angle : ${\displaystyle \frac{6}{10}}\times 360=216$°. Le secteur est la même fraction ${\displaystyle \frac{216}{360}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$ du disque de rayon $10$ : aire ${\displaystyle \frac{3}{5}}\times \pi \times {10}^2=60\pi$ cm². (0,5 pt angle, 0,5 pt aire) (1)
3. c)Volume : $\pi \times 36\times 8=288\pi$ cm³, soit exactement $3$ fois celui du cône. Aire latérale : rectangle de $2\pi \times 6=12\pi$ sur $8$, soit $96\pi$ cm², plus grande que les $60\pi$ cm² du cône. (0,5 pt volume, 0,5 pt aire) (1)
4. d)$96\times 3,14=288+13,44=301,44$ cm³ $=0,30144$ L $\approx 30$ cL. (0,5 pt calcul posé, 0,5 pt conversion) (1)

Méthode — sans calculatrice, garde π jusqu'au bout : 96π est une valeur exacte, et on ne remplace π par 3,14 qu'à la dernière ligne, quand on demande une valeur approchée.

1. a)Comme $a\le b\le c$, on a $a\times a\times a\le a\times b\times c=24$. Si $a\ge 3$, alors $a^3\ge 27>24$ : impossible. Donc $a=1$ ou $a=2$. (1 pt) (1)
2. b)Si $a=1$ : $bc=24$ avec $b\le c$, donc $b^2\le 24$, $b\in \{1;2;3;4\}$ : $(1;1;24)$, $(1;2;12)$, $(1;3;8)$, $(1;4;6)$. Si $a=2$ : $bc=12$ avec $2\le b\le c$, donc $b^2\le 12$, $b\in \{2;3\}$ : $(2;2;6)$, $(2;3;4)$. Chaque valeur de $b$ donne un seul $c$ : il y a exactement $6$ pavés. (0,5 pt par cas, 0,5 pt justification de l'exhaustivité) (1)
3. c)Aire $=2(ab+bc+ac)$ : $2(1+24+24)=98$ ; $2(2+24+12)=76$ ; $2(3+24+8)=70$ ; $2(4+24+6)=68$ ; $2(4+12+12)=56$ ; $2(6+12+8)=52$ cm². Le pavé $2\times 3\times 4$ utilise le moins de carton. (0,5 pt calculs, 0,5 pt conclusion) (1)
4. d)$G(2;3;4)$ et $F(2;0;4)$ ; milieu de $[FG]$ : $(2;1,5;4)$. (0,5 pt) (1)

Méthode — pour être sûr de n'oublier aucune solution, on impose un ordre (a ≤ b ≤ c), on borne le plus petit nombre, puis on examine chaque cas un par un.

1. a)Rayon $4$ m. Cylindre : $\pi \times 16\times 10=160\pi$ m³ ; cône : ${\displaystyle \frac{\pi \times 16\times 3}{3}}=16\pi$ m³. Total : $176\pi$ m³. (0,5 pt par solide) (1)
2. b)$g^2=3^2+4^2=25$, $g=5$ m. Angle : ${\displaystyle \frac{4}{5}}\times 360=288$°. (0,5 pt $g$, 0,5 pt angle) (1)
3. c)Le secteur représente ${\displaystyle \frac{4}{5}}$ du disque de rayon $5$ m : ${\displaystyle \frac{4}{5}}\times \pi \times 25=20\pi$ m². (0,5 pt) (1)
4. d)$160\times 3,14=502,4$ et $160\times 3,15=504$, donc $502,4<160\pi <504$. Or $16\times 30=480<502,4$ : $16$ camions ne suffisent pas ; $17\times 30=510>504$ : $17$ camions suffisent. Il en faut $17$. (0,5 pt encadrement, 1 pt conclusion justifiée) (1)

Astuce — encadrer π entre 3,14 et 3,15 permet de conclure sans calculatrice et sans risque : si la conclusion est la même pour les deux bornes, elle est certaine.

1. a)Quelle que soit la position de $S$ sur la face du haut, son altitude vaut $6$ : la hauteur de la pyramide est toujours $6$ cm. $V={\displaystyle \frac{6^2\times 6}{3}}={\displaystyle \frac{216}{3}}=72$ cm³, sans $x$ ni $y$. (1 pt) (1)
2. b)Base $ab$, hauteur $c$ : $V={\displaystyle \frac{abc}{3}}$, soit toujours ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ du pavé, dont le volume est $abc$. (1 pt) (1)
3. c)Chaque pyramide a pour base un carré de côté $a$ et une arête issue de $G$ perpendiculaire à cette base et de longueur $a$ ($[GC]$ pour $ABCD$, $[GF]$ pour $ABFE$, $[GH]$ pour $ADHE$) : les trois ont la même forme, donc le même volume. Ensemble, elles remplissent le cube : chacune vaut ${\displaystyle \frac{a^3}{3}}$. (1 pt pour les trois pyramides identiques, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
4. d)$9^3=729$ cm³ ; $729÷3=243$ cm³ $=0,243$ L $=24,3$ cL. (0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — croire qu'une pyramide penchée a un volume différent d'une pyramide droite : seules comptent l'aire de la base et la hauteur, pas la position du sommet.