Volumes : pyramide et cône

Reprendre les acquis de 5e (aires des bases, volume du prisme droit et du cylindre, aire latérale) ; calculer le volume d’une pyramide et d’un cône de révolution (le tiers du prisme ou du cylindre de même base et de même hauteur), en valeur exacte et en valeur approchée ; convertir les unités de volume et de contenance ; retrouver une dimension ; calculer le volume d’un solide composé et l’effet d’un agrandissement ou d’une réduction.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés de volumes : un bac à sable à remplir, un verre cylindrique, la pyramide du Louvre et sa maquette, un tas de sable conique transporté en brouettes, une piscine hors-sol remplie au tuyau et une fusée-jouet rangée dans sa boîte.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’énoncé et je repère le solide (ou les solides), sa base et sa hauteur ; je fais un schéma si besoin.
Je convertis toutes les longueurs dans la même unité avant de calculer.
J’écris la formule en lettres, je calcule l’aire de la base, puis le volume (valeur exacte avec π d’abord).
Je convertis le résultat dans l’unité demandée (L, cL, m³) et j’arrondis seulement à la fin.
Je contrôle la vraisemblance (une contenance de verre se compte en centilitres) et je réponds par une phrase.

Problème 1 · Le bac à sable★★★Facile

Un bac à sable a la forme d’un pavé droit de

1, 2

m de long,

90

cm de large et

25

cm de profondeur.

1. Volume du bac, en cm³ :
Tout en cm : $1, 2$ m $= 120$ cm. $V = 120 \times 90 \times 25 = 270 000$ cm³.
2. Ce volume en litres : L
$270 000$ cm³ $= 270$ dm³ $= 270$ L.
3. Le sable est vendu en sacs de $25$ L. Nombre de sacs à acheter pour le remplir à ras bord :
$270 \div 25 = 10, 8$ : dix sacs ne suffisent pas, il faut $11$ sacs.
4. Un sac coûte $4, 50$ €. Prix total : €
$11 \times 4, 50 = 49, 50$ €.

Problème 2 · Le verre cylindrique★★★Facile

Un verre cylindrique a un diamètre intérieur de

7

cm et une hauteur intérieure de

11

cm. Utilise la touche

π

de la calculatrice.

1. Valeur exacte du volume intérieur : $V =$ $π$ cm³
Rayon : $7 \div 2 = 3, 5$ cm. $V = π \times 3, 5^{2} \times 11 = π \times 12, 25 \times 11 = 134, 75 π$ cm³.
2. Valeur approchée, arrondie au cm³ : cm³
$134, 75 π \approx 423, 33$ , soit environ $423$ cm³.
3. Contenance du verre, en cL, arrondie au dixième : cL
$423, 33$ cm³ $= 423, 33$ mL $\approx 42, 3$ cL.
4. Nombre de verres que l’on peut remplir entièrement avec une bouteille de $1, 5$ L :
$1, 5$ L $= 1 500$ mL et $1 500 \div 423, 33 \approx 3, 54$ : trois verres pleins, le quatrième ne serait rempli qu’à moitié environ.

Problème 3 · La pyramide du Louvre★★★Moyen

La pyramide de verre du Louvre, à Paris, a une base carrée d’environ

35

m de côté et une hauteur d’environ

21, 6

m. On calcule avec ces valeurs arrondies.

1. Aire de sa base : m²
$35 \times 35 = 1 225$ m².
2. Volume du pavé droit de même base et de même hauteur : m³
$V = B \times h = 1 225 \times 21, 6 = 26 460$ m³.
3. Volume de la pyramide : m³
La pyramide est le tiers du pavé droit de même base et de même hauteur : $V = 1 225 \times 21, 6 \div 3 = 26 460 \div 3 = 8 820$ m³.
4. Un bassin de natation de $50$ m sur $25$ m, profond de $2$ m, est plein. Combien de bassins pleins entiers la pyramide pourrait-elle contenir ?
Bassin : $50 \times 25 \times 2 = 2 500$ m³. $8 820 \div 2 500 = 3, 528$ : $3$ bassins entiers.
5. Une maquette de la pyramide est une réduction de rapport $\frac{1}{100}$ . Son volume, en litres : L
Volumes $\div 100^{3} = 1 000 000$ : $8 820 \div 1 000 000 = 0, 008 82$ m³ $= 8, 82$ dm³ $= 8, 82$ L.

Problème 4 · Le tas de sable★★★Moyen

Un camion déverse un tas de sable en forme de cône de rayon

1, 5

m et de hauteur

0, 9

m. Utilise la touche

π

1. Aire du disque de base, au centième : m²
$π \times 1, 5^{2} = 2, 25 π \approx 7, 07$ m².
2. Volume du tas, au centième : m³
$V = 2, 25 π \times 0, 9 \div 3 = 0, 675 π \approx 2, 12$ m³.
3. Un mètre cube de ce sable pèse $1, 6$ tonne. Masse du tas, au dixième : t
$0, 675 π \times 1, 6 \approx 3, 39$ , soit environ $3, 4$ t.
4. Une brouette contient $60$ L. Nombre de brouettes pleines pour déplacer tout le tas :
$0, 675 π$ m³ $\approx 2 121$ L ; $2 121 \div 60 \approx 35, 3$ : $35$ brouettes ne suffisent pas, il en faut $36$ (la dernière n’est pas pleine).

Problème 5 · La piscine hors-sol★★★Difficile

Une piscine hors-sol cylindrique a un diamètre de

3, 6

m et une hauteur de

1, 2

m. Utilise la touche

π

1. Volume total, au dixième : m³
Rayon : $3, 6 \div 2 = 1, 8$ m. $V = π \times 1, 8^{2} \times 1, 2 = π \times 3, 24 \times 1, 2 = 3, 888 π \approx 12, 2$ m³.
2. On la remplit jusqu’à $90$ cm de hauteur. Volume d’eau, arrondi au litre : L
$90$ cm $= 0, 9$ m. $π \times 3, 24 \times 0, 9 = 2, 916 π \approx 9, 1609$ m³, soit environ $9 161$ L.
3. Le tuyau débite $15$ L par minute. Durée du remplissage, arrondie à la minute : min
$9 161 \div 15 \approx 610, 7$ , soit environ $611$ min.
4. Cette durée en heures et minutes : h min
$611 = 60 \times 10 + 11$ : $10$ h $11$ min (avec $π \approx 3, 14$ , on trouve $610$ min, soit $10$ h $10$ min).

Problème 6 · La fusée-jouet★★★Difficile

Une fusée-jouet est formée d’un cylindre de rayon

4

cm et de hauteur

15

cm, surmonté d’un cône de même rayon et de hauteur

6

cm.

1. Volume exact du cylindre : $π$ cm³
$π \times 4^{2} \times 15 = π \times 16 \times 15 = 240 π$ cm³.
2. Volume exact du cône : $π$ cm³
$π \times 16 \times 6 \div 3 = π \times 16 \times 2 = 32 π$ cm³.
3. Volume total de la fusée, au dixième (touche $π$ ) : cm³
$240 π + 32 π = 272 π \approx 854, 5$ cm³.
4. On la range dans une boîte en forme de pavé droit de $8$ cm sur $8$ cm sur $21$ cm. Pourcentage du volume de la boîte occupé par la fusée, arrondi à l’unité : %
Boîte : $8 \times 8 \times 21 = 1 344$ cm³. $\frac{272 π}{1 344} \approx 0, 6358$ , soit environ $64$ %.

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