Volumes : pyramide et cône

Calcule le volume, en cm³.

1. Prisme droit dont la base a une aire de $11$ cm² et dont la hauteur mesure $7$ cm : cm³
   $V=B\times h=11\times 7=77$ cm³.
2. Pavé droit de $8$ cm sur $3,5$ cm sur $6$ cm : cm³
   Base : $8\times 3,5=28$ cm², puis $V=28\times 6=168$ cm³.
3. Prisme droit de hauteur $12$ cm dont la base est un triangle de côté $6$ cm et de hauteur relative $5$ cm : cm³
   $B=6\times 5÷2=15$ cm², puis $V=15\times 12=180$ cm³.
4. Prisme droit de hauteur $9$ cm dont la base est un trapèze de côtés parallèles $5$ cm et $3$ cm et de hauteur $4$ cm : cm³
   $B=(5+3)\times 4÷2=16$ cm², puis $V=16\times 9=144$ cm³.

Cylindres : donne la valeur exacte, ou la valeur approchée au dixième (touche $\pi$ de la calculatrice).

1. Rayon $1,5$ cm, hauteur $8$ cm : $V=$ $\pi$ cm³
   $V=\pi \times 1,5^2\times 8=\pi \times 2,25\times 8=18\pi$ cm³.
2. Diamètre $14$ cm, hauteur $5$ cm : $V=$ $\pi$ cm³
   Le rayon est $14÷2=7$ cm : $V=\pi \times 7^2\times 5=\pi \times 49\times 5=245\pi$ cm³.
3. Diamètre $14$ cm, hauteur $5$ cm : $V\approx$ cm³ (au dixième)
   $V=245\pi \approx 769,7$ cm³ (la calculatrice affiche $769,690\dots$).
4. Rayon $1$ cm, hauteur $20$ cm : $V\approx$ cm³ (au dixième)
   $V=\pi \times 1^2\times 20=20\pi \approx 62,8$ cm³.

Aires latérales et totales (valeurs approchées au dixième avec la touche $\pi$).

1. Aire latérale d’un cylindre de rayon $2,5$ cm et de hauteur $11$ cm : cm²
   $2\times \pi \times 2,5\times 11=55\pi \approx 172,8$ cm².
2. Aire totale de ce même cylindre : cm²
   Les deux disques : $2\times \pi \times 2,5^2=2\times 6,25\pi =12,5\pi$ cm². Aire totale : $55\pi +12,5\pi =67,5\pi \approx 212,1$ cm².
3. Aire latérale d’un prisme droit de hauteur $9$ cm dont la base est un triangle de côtés $5$ cm, $6$ cm et $7$ cm : cm²
   Périmètre de la base : $5+6+7=18$ cm. Aire latérale : $18\times 9=162$ cm².

Calcule le volume de la pyramide, en cm³.

1. Base d’aire $27$ cm², hauteur $8$ cm : cm³
   $V=27\times 8÷3=9\times 8=72$ cm³ (on divise $27$ par $3$ d’abord).
2. Base carrée de côté $9$ cm, hauteur $10$ cm : cm³
   $B=9\times 9=81$ cm² ; $V=81\times 10÷3=27\times 10=270$ cm³.
3. Base rectangulaire de $5$ cm sur $4$ cm, hauteur $4,5$ cm : cm³
   $B=5\times 4=20$ cm² ; $V=20\times 4,5÷3=90÷3=30$ cm³.
4. Base : triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent $6$ cm et $5$ cm ; hauteur $9$ cm : cm³
   $B=6\times 5÷2=15$ cm² ; $V=15\times 9÷3=15\times 3=45$ cm³.

Cônes : valeur exacte, ou valeur approchée au dixième avec la touche $\pi$.

1. Rayon $3$ cm, hauteur $8$ cm : $V=$ $\pi$ cm³
   $V=\pi \times 3^2\times 8÷3=\pi \times 9\times 8÷3=\pi \times 3\times 8=24\pi$ cm³.
2. Rayon $7$ cm, hauteur $6$ cm : $V=$ $\pi$ cm³
   $V=\pi \times 49\times 6÷3=\pi \times 49\times 2=98\pi$ cm³.
3. Diamètre $18$ cm, hauteur $4$ cm : $V=$ $\pi$ cm³
   Rayon : $18÷2=9$ cm. $V=\pi \times 81\times 4÷3=\pi \times 27\times 4=108\pi$ cm³.
4. Rayon $2$ cm, hauteur $7$ cm : $V\approx$ cm³ (au dixième)
   $V=\pi \times 4\times 7÷3={\displaystyle \frac{28\pi }{3}}\approx 29,3$ cm³ (ici, $28$ ne se divise pas par $3$ : on garde la fraction jusqu’au bout).

Hauteur, génératrice et comparaison.

1. Un cône a une génératrice de $10$ cm et un rayon de $6$ cm. Sa hauteur : cm
   La hauteur, le rayon et la génératrice forment un triangle rectangle (angle droit au centre de la base), d’hypoténuse la génératrice. D’après le théorème de Pythagore : $h^2={10}^2-6^2=100-36=64$, donc $h=8$ cm.
2. Volume exact de ce cône : $V=$ $\pi$ cm³
   $V=\pi \times 6^2\times 8÷3=\pi \times 36\times 8÷3=\pi \times 12\times 8=96\pi$ cm³.
3. Un cône a un volume de $45$ cm³. Le cylindre de même base et de même hauteur a pour volume : cm³
   Le cône est le tiers du cylindre : le cylindre contient trois fois plus, $45\times 3=135$ cm³.

Convertis.

1. $6$ dm³ = L
   $1$ dm³ $=1$ L, donc $6$ dm³ $=6$ L.
2. $4,7$ L = cm³
   $4,7$ L $=4,7$ dm³ $=4,7\times 1000=4700$ cm³.
3. $0,5$ m³ = L
   $1$ m³ $=1000$ L, donc $0,5$ m³ $=0,5\times 1000=500$ L.
4. $7500$ cm³ = dm³
   Des cm³ aux dm³, on divise par $1000$ : $7500÷1000=7,5$ dm³.
5. $0,8$ cm³ = mm³
   $1$ cm³ $=1000$ mm³ : $0,8\times 1000=800$ mm³.

Contenances.

1. $45$ cL = cm³
   $45$ cL $=450$ mL et $1$ mL $=1$ cm³ : $450$ cm³.
2. $1,2$ hL = L
   $1$ hL $=100$ L : $1,2\times 100=120$ L.
3. $3400$ L = m³
   $3400$ L $=3400$ dm³ $=3400÷1000=3,4$ m³.
4. $720$ mL = L
   $1$ L $=1000$ mL : $720÷1000=0,72$ L.

Calcule puis convertis.

1. Pavé droit de $1,5$ m sur $40$ cm sur $30$ cm : volume en cm³ :
   Tout en cm : $1,5$ m $=150$ cm. $V=150\times 40\times 30=180000$ cm³.
2. Contenance de ce pavé, en litres : L
   $180000$ cm³ $=180$ dm³ $=180$ L.
3. Cône de rayon $6$ cm et de hauteur $5$ cm : contenance en cL, arrondie à l’unité : cL
   $V=\pi \times 36\times 5÷3=\pi \times 12\times 5=60\pi$ cm³ $\approx 188,5$ cm³, soit $188,5$ mL $\approx 19$ cL ($1$ cL $=10$ mL).

Retrouve la donnée manquante.

1. Un prisme droit a un volume de $105$ cm³ et une hauteur de $7$ cm. Aire de sa base : cm²
   $V=B\times h$, donc $B=105÷7=15$ cm².
2. Une pyramide a un volume de $112$ cm³ et une hauteur de $12$ cm. Aire de sa base : cm²
   $3\times 112=336$, donc $B\times 12=336$ et $B=336÷12=28$ cm².
3. Une pyramide à base carrée de côté $4$ cm a un volume de $64$ cm³. Sa hauteur : cm
   $B=4\times 4=16$ cm² ; $16\times h=3\times 64=192$, donc $h=192÷16=12$ cm.
4. Un cylindre de rayon $3$ cm a un volume de $90\pi$ cm³. Sa hauteur : cm
   $B=\pi \times 3^2=9\pi$ cm², donc $h=90\pi ÷9\pi =10$ cm.

Retrouve le rayon ou la hauteur.

1. Un cylindre de hauteur $7$ cm a un volume de $252\pi$ cm³. Son rayon : cm
   $B=252\pi ÷7=36\pi$ cm² ; $r^2=36$, donc $r=6$ cm.
2. Un cône de hauteur $6$ cm a un volume de $32\pi$ cm³. Son rayon : cm
   $B\times 6=3\times 32\pi =96\pi$, donc $B=16\pi$ cm² ; $r^2=16$ et $r=4$ cm.
3. Un prisme droit dont la base a une aire de $160$ cm² a une contenance de $2,4$ L. Sa hauteur : cm
   $2,4$ L $=2400$ cm³. $h=2400÷160=15$ cm.

Valeurs approchées : touche $\pi$, résultat au dixième.

1. Un verre cylindrique de rayon intérieur $3$ cm doit contenir $25$ cL. Hauteur d’eau : cm
   $25$ cL $=250$ cm³. $B=\pi \times 3^2=9\pi$ cm². $h=250÷(9\pi )\approx 8,8$ cm.
2. Un cône de hauteur $9$ cm a un volume de $150$ cm³. Son rayon : cm
   $B=3\times 150÷9=50$ cm². $r^2=50÷\pi \approx 15,9$, donc $r\approx 4,0$ cm (la calculatrice donne $3,989\dots$).

Solides composés.

1. Un cube d’arête $6$ cm est surmonté d’une pyramide de même base et de hauteur $5$ cm. Volume total : cm³
   Cube : $6^3=216$ cm³. Pyramide : $B=36$ cm², $36\times 5÷3=60$ cm³. Total : $216+60=276$ cm³.
2. Un pavé de $10$ cm sur $10$ cm sur $8$ cm est percé, sur toute sa hauteur de $8$ cm, d’un trou cylindrique de rayon $2$ cm. Volume restant, au dixième : cm³
   Pavé : $10\times 10\times 8=800$ cm³. Trou : $\pi \times 2^2\times 8=32\pi$ cm³. Reste : $800-32\pi \approx 699,5$ cm³.

Agrandir et réduire.

1. Une pyramide de $15$ cm³ est agrandie de rapport $2$. Nouveau volume : cm³
   Volumes $\times 2^3=8$ : $15\times 8=120$ cm³.
2. Un cône de $270$ cm³ est réduit de rapport ${\displaystyle \frac{1}{3}}$. Nouveau volume : cm³
   Volumes $÷3^3=27$ : $270÷27=10$ cm³.
3. Dans cet agrandissement de rapport $3$, une base de $18$ cm² devient : cm²
   Aires $\times 3^2=9$ : $18\times 9=162$ cm².

Par combien le volume est-il multiplié ?

1. On double le rayon d’un cylindre sans changer sa hauteur : volume $\times$
   Le rayon est au carré dans $\pi \times r^2\times h$ : $2^2=4$.
2. On triple la hauteur d’une pyramide sans changer sa base : volume $\times$
   Dans $B\times h÷3$, seul $h$ change : le volume est multiplié par $3$.
3. Un agrandissement multiplie les volumes par $64$. Son rapport $k$ :
   $k^3=64$ et $4\times 4\times 4=64$ : $k=4$ (les longueurs sont multipliées par $4$).