Se repérer dans un pavé droit ; patrons de la pyramide et du cône

Repérage dans un pavé droit (abscisse, ordonnée, altitude), lire et placer des points, patrons de la pyramide et du cône de révolution, sections simples, représentation en perspective

À propos de cette page

Ces problèmes corrigés sur « Se repérer dans un pavé droit ; patrons de la pyramide et du cône » en quatrième permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de quatrième et se résolvent étape par étape. Au programme : Le pavé droit et son repère, Lire les coordonnées d'un point, Placer un point ; points particuliers, Représenter un solide en perspective cavalière. Cherche au brouillon, saisis ta réponse puis clique sur « Vérifier » pour te corriger. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en mathématiques en quatrième.

Résous chaque problème, écris ta réponse puis clique sur « Vérifier ». Pose tes calculs au brouillon.

Facile

Problème 1Une salle de classe a la forme d'un pavé droit :

8

m de long,

6

m de large et

3

m de haut. L'origine

O

est un coin du sol ; l'axe des abscisses suit le mur de

8

m, l'axe des ordonnées le mur de

6

m, l'axe des altitudes l'arête verticale de ce coin. Unité : le mètre. Écris les coordonnées sous la forme x;y;z.

Coordonnées de la lampe fixée au centre du plafond :

Une prise est sur le mur d'abscisse

0

, à

2

m du coin

O

le long de ce mur et à

0, 3

m du sol. Ses coordonnées :

Un drone vole au point

(5; 2; 2, 5)

. Distance entre le drone et le plafond : m

Un détecteur de fumée est placé au point

(8; 6; 3)

. Où se trouve-t-il exactement ? Explique.

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4;3;3 — Milieu de la longueur ( $4$ ) et de la largeur ( $3$ ), à l'altitude du plafond ( $3$ ).
0;2;0,3 — Sur ce mur, l'abscisse est nulle ; on avance de $2$ selon les ordonnées et on monte de $0, 3$ .
0,5 — $3 - 2, 5 = 0, 5$ m : seule l'altitude compte.
Réponse libre — exemple : Les trois coordonnées prennent leur valeur maximale (8, 6 et 3) : le détecteur est dans le coin du plafond opposé au coin O, c'est le sommet de la salle le plus éloigné de l'origine.

Moyen

Problème 2Pour un anniversaire, on fabrique des chapeaux pointus en carton, en forme de cône de révolution sans base : rayon de l'ouverture

8

cm, hauteur

15

cm.

Génératrice du chapeau : cm

Longueur de l'arc du secteur, au centième : cm

Angle du secteur, arrondi au degré : °

Combien de patrons de chapeau entiers peut-on découper, au maximum, dans un disque de carton de rayon

17

cm ?

Pourquoi le patron de ce chapeau ne comporte-t-il qu'un secteur, sans disque ?

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17 — $g = \sqrt{15^{2} + 8^{2}} = \sqrt{289} = 17$ cm.
50,27 — $2 π \times 8 = 16 π \approx 50, 27$ cm.
169 — $\frac{360 \times 8}{17} \approx 169, 4$ °.
2 — $2 \times 169, 4 = 338, 8$ ° : il reste environ $21$ °, pas assez pour un troisième secteur.
Réponse libre — exemple : Le chapeau est ouvert en bas : il n'a pas de base. Le patron d'un cône complet serait formé du secteur et d'un disque de rayon 8 cm ; ici on ne garde que la surface latérale.

Problème 3Une tente a la forme d'une pyramide régulière à base carrée, sans toile au sol : côté de la base

2, 4

m, arêtes latérales de

2

m. La toile recouvre les quatre faces latérales.

Hauteur d'une face latérale, issue du sommet : m

Aire d'une face latérale : m²

Aire de toile nécessaire : m²

La toile coûte

12, 50

€ le m². Prix de la toile : €

Décris un patron de la toile (sans le sol) d'un seul tenant et explique comment il se referme.

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1,6 — Demi-triangle rectangle de côtés $1, 2$ et $2$ : $\sqrt{2^{2} - 1, 2^{2}} = \sqrt{2, 56} = 1, 6$ m.
1,92 — $\frac{2, 4 \times 1, 6}{2} = 1, 92$ m².
7,68 — $4 \times 1, 92 = 7, 68$ m².
96 — $7, 68 \times 12, 5 = 96$ €.
Réponse libre — exemple : On accole les quatre triangles isocèles (2 m ; 2 m ; 2,4 m) par leurs côtés de 2 m, tous autour du sommet, comme un éventail. Au montage, le premier et le dernier triangle se rejoignent le long d'un côté de 2 m, qui devient la quatrième arête latérale.

Difficile

Problème 4Un cube

A B C D E F G H

a une arête de

4

dm (origine

A

, axes portés par

[A B]

[A D]

[A E]

S

est le centre de la face du dessus

E F G H

; on étudie la pyramide

S A B C D

Coordonnées de

S

(forme x;y;z) :

Hauteur de la pyramide

S A B C D

: dm

Hauteur

S M

de la face

S A B

, où

M

est le milieu de

[A B]

, au centième : dm

Longueur de l'arête latérale

S A

, au centième : dm

Explique pourquoi les quatre faces latérales de

S A B C D

sont superposables.

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2;2;4 — Centre de la face du dessus : milieu en abscisse et en ordonnée, altitude $4$ .
4 — Le pied de la hauteur est le centre $O (2; 2; 0)$ de la base : $S O = 4$ dm.
4,47 — $M (2; 0; 0)$ , donc $O M = 2$ ; triangle $S O M$ rectangle en $O$ : $S M = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = \sqrt{20} \approx 4, 47$ dm.
4,9 — Triangle $S M A$ rectangle en $M$ : $S A = \sqrt{20 + 2^{2}} = \sqrt{24} \approx 4, 90$ dm.
Réponse libre — exemple : S est à la verticale du centre O de la base carrée, donc il est à la même distance des quatre sommets : SA = SB = SC = SD (environ 4,90 dm). Chaque face latérale est un triangle isocèle de côtés SA, SA et 4 dm : les quatre triangles ont les mêmes côtés, ils sont superposables.

Problème 5Un marchand fabrique des cornets en papier en forme de cône : il découpe un quart de disque (secteur de 90°) dans un disque de rayon

16

cm, puis colle les deux bords droits l'un contre l'autre, sans recouvrement.

Génératrice du cornet : cm

Rayon de l'ouverture du cornet : cm

Profondeur (hauteur) du cornet, au centième : cm

Avec un demi-disque du même rayon, que deviennent l'ouverture et la profondeur du cornet ? Justifie par des calculs.

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16 — Le rayon du secteur devient la génératrice du cône.
4 — L'arc vaut le quart du cercle : $\frac{2 π \times 16}{4} = 8 π = 2 π r$ , donc $r = 4$ cm.
15,49 — $h = \sqrt{16^{2} - 4^{2}} = \sqrt{240} \approx 15, 49$ cm.
Réponse libre — exemple : L'arc devient la moitié du cercle : 16π = 2πr, donc r = 8 cm (ouverture deux fois plus large). La profondeur vaut √(16² − 8²) = √192 ≈ 13,86 cm : le cornet est plus large et moins profond.

Problème 6Un aquarium a la forme d'un pavé droit de

60

cm de long,

30

cm de large et

40

cm de haut. Origine : un coin du fond ; abscisses le long des

60

cm, ordonnées le long des

30

cm, altitudes vers le haut (unité : le centimètre). L'eau monte à

25

cm.

Aire de la surface de l'eau : cm²

Un poisson est au point

(15; 10; 20)

. Distance entre le poisson et la surface de l'eau : cm

Un escargot est collé au point

(60; 12; 30)

. Est-il sous l'eau ? (oui / non)

Une vitre de séparation verticale, parallèle à la face d'abscisse

0

, est placée à l'abscisse

20

. Aire de la partie mouillée d'une face de cette vitre : cm²

Décris les coordonnées de tous les points de la surface de l'eau.

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1800 — Section parallèle au fond : rectangle de $60$ cm sur $30$ cm.
5 — $25 - 20 = 5$ cm.
non — Il est sur la vitre d'abscisse $60$ , à l'altitude $30 > 25$ : au-dessus de l'eau.
750 — La vitre est une section parallèle à une face de $30$ cm sur $40$ cm ; la partie mouillée mesure $30$ cm sur $25$ cm.
Réponse libre — exemple : Ce sont les points d'altitude 25, dont l'abscisse est comprise entre 0 et 60 et l'ordonnée entre 0 et 30 : ils forment un rectangle horizontal de 60 cm sur 30 cm.

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