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Volumes : pyramide et cône
Reprendre les acquis de 5e (aires des bases, volume du prisme droit et du cylindre, aire latérale) ; calculer le volume d’une pyramide et d’un cône de révolution (le tiers du prisme ou du cylindre de même base et de même hauteur), en valeur exacte et en valeur approchée ; convertir les unités de volume et de contenance ; retrouver une dimension ; calculer le volume d’un solide composé et l’effet d’un agrandissement ou d’une réduction.
À propos de cette page
Rappels de 5e : aires des bases, prisme droit et cylindre
En 5e, on a calculé l’aire des figures usuelles et le volume du prisme droit et du cylindre. On reprend tout ici : la pyramide et le cône s’appuient sur les mêmes outils.
Un prisme droit a deux bases superposables et parallèles (triangles, quadrilatères…), reliées par des faces latérales rectangulaires. Un cylindre de révolution a pour bases deux disques superposables de rayon r. Leur hauteur h est la distance entre les deux bases.
Prisme droit et cylindre : V = B × h. Pour le cylindre, V = π × r² × h ; pour un pavé droit, V = L × ℓ × h ; pour un cube d’arête a, V = a³.
La valeur exacte d’un volume de cylindre s’écrit avec π (par exemple 144π cm³) ; la touche π de la calculatrice en donne une valeur approchée, que l’on écrit avec « ≈ ».
| Base | Aire |
|---|---|
| carré de côté c | c² = c × c |
| rectangle de longueur L et de largeur ℓ | L × ℓ |
| triangle (côté b, hauteur relative h) | b × h ÷ 2 |
| parallélogramme (côté b, hauteur relative h) | b × h |
| trapèze (côtés parallèles a et b, hauteur h) | (a + b) × h ÷ 2 |
| disque de rayon r | π × r² |
Le trapèze se découpe, par une diagonale, en deux triangles de même hauteur h, de côtés a et b : son aire est a × h ÷ 2 + b × h ÷ 2 = (a + b) × h ÷ 2.
Prisme droit de hauteur 11 cm dont la base est un triangle de côté 5 cm et de hauteur relative 3,6 cm : B = 5 × 3,6 ÷ 2 = 9 cm², puis V = 9 × 11 = 99 cm³.
Prisme droit de hauteur 6 cm dont la base est un trapèze de côtés parallèles 7 cm et 3 cm et de hauteur 4 cm : B = (7 + 3) × 4 ÷ 2 = 20 cm², puis V = 20 × 6 = 120 cm³.
Cylindre de rayon 4 cm et de hauteur 9 cm : V = π × 4² × 9 = π × 16 × 9 = 144π cm³ (valeur exacte). La calculatrice affiche 452,389…, donc V ≈ 452,4 cm³ au dixième.
Aire latérale et aire totale
Pour savoir combien il faut de carton, de tôle ou de peinture, on calcule l’aire des faces, pas le volume. L’aire latérale est l’aire des faces latérales (sans les bases) ; l’aire totale lui ajoute l’aire des deux bases. Sur le patron, les faces latérales d’un prisme droit forment un rectangle de longueur le périmètre de la base et de largeur h ; la surface latérale d’un cylindre se déroule en un rectangle de longueur 2 × π × r (la longueur du cercle de base) et de largeur h.
Prisme droit : aire latérale = périmètre de la base × h. Cylindre : aire latérale = 2 × π × r × h.
Le cylindre de rayon 4 cm et de hauteur 9 cm : aire latérale = 2 × π × 4 × 9 = 72π cm² ≈ 226,2 cm². Les deux disques : 2 × π × 4² = 32π cm². Aire totale = 72π + 32π = 104π cm² ≈ 326,7 cm².
Prisme droit de hauteur 8 cm dont la base est un triangle rectangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm : périmètre de la base 3 + 4 + 5 = 12 cm, aire latérale = 12 × 8 = 96 cm². Les deux bases : 2 × (3 × 4 ÷ 2) = 12 cm². Aire totale = 96 + 12 = 108 cm².
Réflexe — je repère les deux bases, je calcule l’aire d’une base, puis je la multiplie par la hauteur. Pour une aire latérale, je déplie : périmètre de la base × hauteur.
Attention — un prisme à base triangulaire a deux hauteurs : celle du triangle (pour B) et celle du prisme (pour V). Pour un cylindre, on élève le rayon au carré, jamais le diamètre. Et 2 × π × r × h (aire latérale, en cm²) ne se confond pas avec π × r² × h (volume, en cm³) : l’exposant et l’unité les distinguent.
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Volume de la pyramide et du cône
Un cône de révolution a pour base un disque de centre O et de rayon r, et un sommet S situé sur la droite perpendiculaire à la base qui passe par O ; sa surface latérale est courbe. Un segment qui relie S à un point du cercle de base est une génératrice.
La hauteur h d’une pyramide ou d’un cône est la distance du sommet à la base : elle se mesure sur le segment issu du sommet et perpendiculaire à la base ([SO] sur les figures).
Volume d’une pyramide ou d’un cône : V = B × h ÷ 3, où B est l’aire de la base. Pour le cône, V = π × r² × h ÷ 3.
C’est le tiers du volume du prisme droit (ou du cylindre) qui a la même base et la même hauteur.
Pyramide de hauteur 7 cm dont la base est un rectangle de 6 cm sur 4 cm : B = 6 × 4 = 24 cm², puis V = 24 × 7 ÷ 3 = 168 ÷ 3 = 56 cm³. Le pavé droit de même base et de même hauteur a un volume de 168 cm³, trois fois plus.
Cône de rayon 3 cm et de hauteur 5 cm : V = π × 3² × 5 ÷ 3 = π × 9 × 5 ÷ 3. On divise d’abord 9 par 3 : π × 3 × 5 = 15π cm³ (valeur exacte), soit : aires des figures usuelles ; volume du prisme droit et du cylindre (rappels de 5e) ; aire latérale ; volume d’une pyramide et d’un cône ; lien avec le prisme droit et le cylindre de même base et de même hauteur ; valeur exacte et valeur approchée ; unités de volume et de contenance ; retrouver une dimension ; solides composés ; effet d’un agrandissement ou d’une réduction sur les longueurs, les aires et les volumes.
Cône de diamètre 12 cm et de hauteur 10 cm : le rayon est r = 12 ÷ 2 = 6 cm. V = π × 6² × 10 ÷ 3 = π × 36 × 10 ÷ 3 = 120π cm³ ≈ 377 cm³.
Pourquoi un tiers ?
Un cube d’arête a se découpe en trois pyramides identiques. Elles ont toutes pour sommet un même coin du cube, et chacune a pour base l’une des trois faces carrées qui ne touchent pas ce coin. Chaque pyramide a une base d’aire a × a et une hauteur a (une arête du cube, perpendiculaire à cette base : ici, le sommet n’est pas au-dessus du centre de la base). Son volume est le tiers de celui du cube : a × a × a ÷ 3, c’est-à-dire B × h ÷ 3. On admet que cette formule vaut pour toutes les pyramides. Pour le cône, une expérience le montre : il faut verser trois cônes pleins d’eau pour remplir le cylindre de même base et de même hauteur.
Hauteur et génératrice : le théorème de Pythagore
La hauteur [SO], un rayon [OM] et la génératrice [SM] forment un triangle SOM rectangle en O. Quand l’énoncé donne la génératrice, on calcule la hauteur avec le théorème de Pythagore (voir Théorème de Pythagore : calculer, réciproque).
Cône de rayon 8 cm et de génératrice 17 cm. Le triangle SOM est rectangle en O, donc d’après le théorème de Pythagore SM² = SO² + OM², d’où SO² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225 et h = SO = √225 = 15 cm. V = π × 8² × 15 ÷ 3 = π × 64 × 5 = 320π cm³ ≈ 1 005,3 cm³, soit environ 1 L.
Réflexe — je repère la base et la hauteur (issue du sommet, perpendiculaire à la base), je calcule B, puis V = B × h ÷ 3 ; j’écris le calcul en entier et je divise par 3 dès que c’est possible.
Attention — la hauteur n’est ni une arête latérale de la pyramide ni une génératrice du cône : ces segments sont obliques, donc plus longs que la hauteur. On n’oublie pas le « ÷ 3 » (sans lui, on trouve le volume du prisme ou du cylindre, trois fois trop grand), et l’on élève le rayon au carré, pas le diamètre. 120π cm³ est la valeur exacte ; 377 cm³ n’est qu’une valeur approchée.
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Unités de volume et de contenance
La contenance (ou capacité) d’un récipient est le volume qu’il peut contenir ; on l’exprime souvent en litres : 1 L = 1 dm³ et 1 mL = 1 cm³, donc 1 m³ = 1 000 L.
Les unités de contenance vont de 10 en 10 : 1 hL = 100 L ; 1 L = 10 dL = 100 cL = 1 000 mL.
Pourquoi 1 000 ? Un cube de 1 m d’arête est un cube de 10 dm d’arête : il contient 10 × 10 × 10 = 1 000 cubes de 1 dm³. De même, 1 dm = 10 cm, donc 1 dm³ = 1 000 cm³.
| m³ | dm³ | cm³ | mm³ | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| hL | L | dL | cL | mL | |||||||
| 0 | 0 | 4 | 5 | ||||||||
| 7 | 8 | 0 | 0 | ||||||||
0,045 m³ : le 0 va dans la colonne des m³, puis 0, 4, 5. Donc 0,045 m³ = 45 dm³ = 45 L.
7 800 cm³ : le 7 va dans la colonne des dm³ (celle du L). Donc 7 800 cm³ = 7,8 dm³ = 7,8 L.
36 cL = 360 mL = 360 cm³ ; 5,3 hL = 530 L = 530 dm³ = 0,53 m³ ; 2,5 cm³ = 2 500 mm³.
Le cône de rayon 6 cm et de hauteur 10 cm a un volume d’environ 377 cm³ : sa contenance est d’environ 377 mL, soit 37,7 cL ou 0,377 L.
Pour contrôler un résultat, on le compare à des contenances connues : une canette contient quelques dizaines de centilitres, un seau une dizaine de litres, une piscine de jardin plusieurs mètres cubes. Un résultat très éloigné signale presque toujours une erreur d’unité.
Réflexe — pour un volume, je décale de trois rangs (× 1 000 ou ÷ 1 000) par unité ; pour passer aux litres, je passe par le dm³ (1 L = 1 dm³) ou par le cm³ (1 mL = 1 cm³).
Attention — longueurs : × 10 d’une unité à la suivante ; aires : × 100 ; volumes : × 1 000. Écrire « 1 m³ = 100 dm³ » ou « 1 L = 1 cm³ » est l’erreur la plus fréquente : 1 m³ = 1 000 dm³ et 1 L = 1 000 cm³.
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Retrouver une dimension
• prisme droit ou cylindre : V = B × h, donc h = V ÷ B et B = V ÷ h ;
• pyramide ou cône : V = B × h ÷ 3, donc B × h = 3 × V, puis h = 3 × V ÷ B et B = 3 × V ÷ h ;
• cylindre ou cône : une fois l’aire de la base connue, r² = B ÷ π, puis r = √(r²) (voir Racine carrée : définition et carrés parfaits).
Si l’énoncé donne une contenance (en L, cL…), on la convertit d’abord dans l’unité de volume des longueurs (1 L = 1 000 cm³).
Une pyramide à base carrée de côté 6 cm a un volume de 84 cm³. B = 6 × 6 = 36 cm² ; B × h = 3 × 84 = 252, donc h = 252 ÷ 36 = 7 cm.
Un cône de hauteur 6 cm a un volume de 50π cm³. B × 6 = 3 × 50π = 150π, donc B = 150π ÷ 6 = 25π cm². Or B = π × r², donc r² = 25 et r = 5 cm.
Une casserole cylindrique de rayon intérieur 8 cm doit contenir 3 L, c’est-à-dire 3 000 cm³. B = π × 8² = 64π cm². h = 3 000 ÷ (64π) ≈ 14,9 cm : l’eau monte à environ 14,9 cm, la casserole doit être un peu plus haute pour ne pas déborder.
Réflexe — j’écris la formule avec les lettres, je remplace, puis je « défais » les opérations dans l’ordre inverse : pour une pyramide ou un cône, je multiplie d’abord le volume par 3, puis je divise par l’autre donnée.
Attention — pour une pyramide ou un cône, oublier le « × 3 » donne une hauteur trois fois trop petite. Et après r² = 25, le rayon n’est pas 25 ni 12,5 : c’est √25 = 5.
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Solides composés, agrandissement et réduction
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, toutes les longueurs sont multipliées par k ; les aires sont multipliées par k × k = k² et les volumes par k × k × k = k³. Un rapport plus grand que 1 agrandit ; un rapport compris entre 0 et 1 réduit.
Changer une seule dimension : dans V = π × r² × h ÷ 3, doubler la hauteur double le volume, mais doubler le rayon le multiplie par 2² = 4.
Le silo ci-dessus est un cylindre de rayon 2 m et de hauteur 6 m surmonté d’un cône de même rayon et de hauteur 1,5 m. Cylindre : π × 2² × 6 = 24π m³ ; cône : π × 2² × 1,5 ÷ 3 = 2π m³. Volume du silo : 24π + 2π = 26π m³ ≈ 81,7 m³.
Une maquette est un agrandissement de rapport 2 d’un cône de 54 cm³ : son volume est 54 × 2³ = 54 × 8 = 432 cm³ (et non 54 × 2 = 108 cm³).
Le même cône réduit de rapport 1/3 : volume 54 ÷ 3³ = 54 ÷ 27 = 2 cm³. L’aire de sa base est divisée par 3² = 9, sa hauteur par 3.
Réflexe — pour un solide composé, je nomme chaque morceau et je calcule son volume séparément avant d’ajouter ou de retrancher ; pour un agrandissement de rapport k, je multiplie les longueurs par k, les aires par k², les volumes par k³.
Attention — un agrandissement de rapport 2 ne double pas le volume : il le multiplie par 8. Et dans un solide composé, la surface commune (le disque entre le cylindre et le cône du silo) ne compte pas dans l’aire extérieure, mais les deux volumes s’ajoutent bien.
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Pour aller plus loin
Liens — le patron d’une pyramide et d’un cône, et le repérage dans un pavé droit : voir Espace : repérage dans un pavé, pyramide et cône. Débit et masse volumique, qui relient un volume à une durée ou à une masse : voir Grandeurs composées : vitesse, débit, masse volumique. Les agrandissements et réductions de figures planes : voir Théorème de Thalès : triangles emboîtés.
Se verra en 3ᵉ — le volume de la boule, les volumes d’assemblages plus complexes et les sections de solides par un plan.
- Prisme droit et cylindre : V = B × h, où B est l’aire d’une base ; cylindre : V = π × r² × h. Aire latérale : périmètre de la base × h (cylindre : 2 × π × r × h).
- Pyramide et cône : V = B × h ÷ 3, le tiers du prisme ou du cylindre de même base et de même hauteur ; cône : V = π × r² × h ÷ 3. La hauteur est perpendiculaire à la base : ce n’est ni une arête latérale ni une génératrice.
- Valeur exacte avec π (120π cm³), valeur approchée avec « ≈ » ; on n’arrondit qu’à la fin.
- Volumes : × 1 000 d’une unité à la suivante ; 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³, 1 m³ = 1 000 L.
- Retrouver une dimension : pyramide ou cône, h = 3 × V ÷ B ; prisme ou cylindre, h = V ÷ B ; rayon : r² = B ÷ π.
- Solide composé : on ajoute ou on retranche des volumes ; agrandissement de rapport k : longueurs × k, aires × k², volumes × k³.
Questions fréquentes
Comment calculer le volume d’un prisme droit ou d’un cylindre ?
On multiplie l’aire de la base par la hauteur : V = B × h. Pour un cylindre, la base est un disque, donc V = π × r² × h. Un cylindre de rayon 2 cm et de hauteur 10 cm a un volume de π × 4 × 10 = 40π cm³, environ 125,7 cm³.
Quelle est la formule du volume d’une pyramide et d’un cône ?
V = B × h ÷ 3, où B est l’aire de la base et h la hauteur (perpendiculaire à la base) ; pour un cône, V = π × r² × h ÷ 3. C’est le tiers du prisme ou du cylindre de même base et de même hauteur. Une pyramide à base carrée de côté 3 cm et de hauteur 10 cm a un volume de 9 × 10 ÷ 3 = 30 cm³.
Comment convertir des m³, des dm³ et des cm³ en litres ?
On retient 1 L = 1 dm³ et 1 mL = 1 cm³, et l’on décale de trois rangs par unité de volume (× 1 000). Ainsi 2,3 m³ = 2 300 dm³ = 2 300 L, et 450 cm³ = 450 mL = 0,45 L.
Comment retrouver la hauteur d’une pyramide quand on connaît son volume ?
On part de V = B × h ÷ 3 : on multiplie le volume par 3, puis on divise par l’aire de la base, h = 3 × V ÷ B. Une pyramide de 100 cm³ dont la base mesure 25 cm² a une hauteur de 300 ÷ 25 = 12 cm. Pour un prisme ou un cylindre, h = V ÷ B.
Que devient le volume d’un solide quand on l’agrandit ?
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, les longueurs sont multipliées par k, les aires par k² et les volumes par k³. Un rapport 2 multiplie donc le volume par 8 ; une réduction de rapport 1/10 le divise par 1 000.
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