À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Aires et volumes » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappel : aires des figures usuelles, Solides usuels : vocabulaire, Volume du prisme droit et du cylindre, Volume de la pyramide et du cône. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Rappel : aires des figures usuelles
2 · Solides usuels : vocabulaire
3 · Volume du prisme droit et du cylindre
4 · Volume de la pyramide et du cône
5 · Unités de volume et de capacité
6 · Aire latérale et aire totale
7 · Méthode : choisir la bonne formule
1Rappel : aires des figures usuelles
Avant de calculer un volume, il faut savoir calculer l'aire d'une face (souvent la base du solide). Voici les formules à connaître, où $c$ est le côté, $L$ et $\ell$ la longueur et la largeur, $b$ la base, $h$ la hauteur et $r$ le rayon.
| Figure | Aire |
|---|
| Carré (côté $c$) | $A = c^2$ |
| Rectangle ($L$, $\ell$) | $A = L \times \ell$ |
| Triangle (base $b$, hauteur $h$) | $A = \dfrac{b \times h}{2}$ |
| Parallélogramme (base $b$, hauteur $h$) | $A = b \times h$ |
| Disque (rayon $r$) | $A = \pi \times r^2$ |
Attention ! Une aire s'exprime toujours en unité carrée ($\text{cm}^2$, $\text{m}^2$…), et un volume en unité cube ($\text{cm}^3$, $\text{m}^3$…). Ne mélange jamais les deux.
Exemple. Disque de rayon $r = 4$ cm : $A = \pi \times 4^2 = 16\pi \approx 16 \times 3{,}14 \approx 50{,}24$ $\text{cm}^2$.
2Solides usuels : vocabulaire
Un solide est un objet de l'espace qui occupe un certain volume. En 4e, on étudie surtout les solides ci-dessous.
Vocabulaire.
• Un prisme droit a deux faces identiques et parallèles (les bases, ce sont des polygones) reliées par des rectangles.
• Un cylindre de révolution a deux bases qui sont des disques identiques.
• Une pyramide a une seule base (un polygone) et un sommet ; ses faces latérales sont des triangles.
• Un cône de révolution a une base en forme de disque et un sommet.
On distingue toujours la base $\mathcal{B}$ (dont on calcule l'aire) et la hauteur $h$ (la distance entre les deux bases, ou du sommet à la base).
Astuce. Le mot « droit » signifie que la hauteur est perpendiculaire à la base : le solide « tient bien droit » sur sa base.
3Volume du prisme droit et du cylindre
Le prisme droit et le cylindre ont la même idée : on empile la base sur une certaine hauteur.
Règle. Le volume d'un prisme droit ou d'un cylindre vaut :
$$V = \mathcal{B} \times h$$ où $\mathcal{B}$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur du solide.
Cas du cylindre. La base est un disque de rayon $r$, donc $\mathcal{B} = \pi \times r^2$, ce qui donne :
$$V = \pi \times r^2 \times h$$
Exemple 1 (prisme). Un prisme droit a une base triangulaire d'aire $\mathcal{B} = 12$ $\text{cm}^2$ et une hauteur $h = 5$ cm : $V = 12 \times 5 = 60$ $\text{cm}^3$.
Exemple 2 (cylindre). Un cylindre de rayon $r = 3$ cm et de hauteur $h = 10$ cm : $V = \pi \times 3^2 \times 10 = 90\pi \approx 90 \times 3{,}14 \approx 282{,}6$ $\text{cm}^3$.
Attention ! Il faut d'abord calculer l'aire de la base $\mathcal{B}$, puis multiplier par la hauteur. Pour le cylindre, on utilise le rayon $r$ (et non le diamètre).
Le graphique montre comme le volume d'un cylindre de rayon $3$ cm augmente avec sa hauteur (c'est une situation de proportionnalité) :
4Volume de la pyramide et du cône
La pyramide et le cône sont « pointus » : ils contiennent trois fois moins qu'un prisme (ou cylindre) de même base et de même hauteur.
Règle. Le volume d'une pyramide ou d'un cône vaut :
$$V = \dfrac{\mathcal{B} \times h}{3}$$ où $\mathcal{B}$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur.
Cas du cône. La base est un disque de rayon $r$, donc :
$$V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}$$
Exemple 1 (pyramide). Base carrée de côté $6$ cm (aire $\mathcal{B} = 36$ $\text{cm}^2$), hauteur $h = 10$ cm : $V = \dfrac{36 \times 10}{3} = \dfrac{360}{3} = 120$ $\text{cm}^3$.
Exemple 2 (cône). Rayon $r = 3$ cm, hauteur $h = 7$ cm : $V = \dfrac{\pi \times 3^2 \times 7}{3} = \dfrac{63\pi}{3} = 21\pi \approx 65{,}94$ $\text{cm}^3$.
Astuce. Pyramide ou cône : ne jamais oublier de diviser par 3 ! C'est la seule différence avec le prisme et le cylindre.
5Unités de volume et de capacité
Un volume se mesure en unités cubes. Une capacité (ce qu'un récipient peut contenir) se mesure en litres. Les deux sont reliés.
Attention ! Pour les volumes, chaque colonne vaut 1000 fois la suivante (et non 10 ni 100), car on travaille avec des cubes. Il y a trois chiffres par colonne.
| $\text{km}^3$ | $\text{hm}^3$ | $\text{dam}^3$ | $\text{m}^3$ | $\text{dm}^3$ | $\text{cm}^3$ | $\text{mm}^3$ |
|---|
| $1$ $\text{m}^3 = 1000$ $\text{dm}^3 = 1\,000\,000$ $\text{cm}^3$ |
Lien volume / capacité. La conversion clé est :
$$1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{L} \qquad 1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{mL} \qquad 1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{L}$$
Exemple. Un aquarium de volume $40$ $\text{dm}^3$ contient $40$ L d'eau. Une bouteille de $1{,}5$ L a un volume de $1500$ $\text{cm}^3$ (car $1$ L $= 1000$ $\text{cm}^3$).
Astuce. Repère bien : $1$ L $= 1$ $\text{dm}^3$. C'est la passerelle entre le monde des volumes et celui des litres.
6Aire latérale et aire totale
Pour fabriquer une boîte ou calculer la quantité de carton, on a besoin de l'aire des faces, pas du volume.
Définitions.
• L'aire latérale = l'aire de toutes les faces autour du solide (sans les bases).
• L'aire totale = l'aire latérale $+$ l'aire des bases.
Cylindre. Si on « déroule » la face latérale d'un cylindre, on obtient un rectangle de longueur le périmètre de la base et de largeur la hauteur :
$$A_\text{lat} = 2 \times \pi \times r \times h$$ et $$A_\text{totale} = 2 \times \pi \times r \times h + 2 \times \pi \times r^2$$
Exemple. Cylindre de rayon $r = 2$ cm et de hauteur $h = 5$ cm. Aire latérale : $A_\text{lat} = 2 \times \pi \times 2 \times 5 = 20\pi \approx 62{,}8$ $\text{cm}^2$. Aire des deux disques : $2 \times \pi \times 2^2 = 8\pi \approx 25{,}12$ $\text{cm}^2$. Aire totale : $\approx 62{,}8 + 25{,}12 = 87{,}92$ $\text{cm}^2$.
Attention ! Ne confonds pas l'aire latérale (en $\text{cm}^2$, pour le carton) avec le volume (en $\text{cm}^3$, pour le contenu).
7Méthode : choisir la bonne formule
Avant de calculer, demande-toi : quel solide ? et volume, aire ou capacité ?
| Solide | Volume | Unité |
|---|
| Prisme droit | $V = \mathcal{B} \times h$ | $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ |
| Cylindre | $V = \pi \times r^2 \times h$ | $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ |
| Pyramide | $V = \dfrac{\mathcal{B} \times h}{3}$ | $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ |
| Cône | $V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}$ | $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ |
Astuce finale. En 4 étapes : (1) identifie le solide ; (2) vérifie que tout est dans la même unité de longueur ; (3) écris la formule puis remplace ; (4) n'oublie pas l'unité cube du résultat (et convertis en litres si on demande une capacité).
★À retenir
En bref :
• Volume = unité cube ($\text{cm}^3$, $\text{m}^3$) ; aire = unité carrée ; capacité = litres.
• Prisme droit et cylindre : $V = \mathcal{B} \times h$ ; cylindre : $V = \pi r^2 h$.
• Pyramide et cône : $V = \dfrac{\mathcal{B} \times h}{3}$ ; cône : $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$ (toujours $\div 3$).
• Aire latérale d'un cylindre : $A_\text{lat} = 2\pi r h$.
• Conversions : $1$ $\text{m}^3 = 1000$ $\text{dm}^3$ ; $1$ $\text{dm}^3 = 1$ L ; $1$ $\text{cm}^3 = 1$ mL.
• Toujours travailler dans la même unité avant de calculer.