Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Aires et volumes » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Aire et périmètre : ne pas confondre, Aires des figures usuelles (rappels), L'aire du disque, Volumes : le pavé droit et le cube (rappels). Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Aire et périmètre : ne pas confondre
2 · Aires des figures usuelles (rappels)
3 · L'aire du disque
4 · Volumes du pavé et du cube (rappels)
5 · Le volume du cylindre (rappel)
6 · Volume de la pyramide et du cône
7 · Unités et conversions
8 · Sections planes simples
9 · Résoudre un problème d'aire ou de volume
1Aire et périmètre : ne pas confondre
Deux mots à bien distinguer avant tout :
Le périmètre est la longueur du contour d'une figure (on en fait le tour). Il se mesure en unités de longueur : cm, m, km… L'aire est la mesure de la surface occupée à l'intérieur. Elle se mesure en unités d'aire : cm², m², km²…
Mesurer une aire, c'est compter combien de carrés-unités (par exemple des carrés de 1 cm de côté, soit 1 cm²) tiennent dans la surface.
Ce rectangle contient 4 × 2 = 8 carrés-unités : son aire vaut 8 unités d'aire.
💡 Deux figures peuvent avoir le même périmètre mais des aires différentes (et inversement). Aire et périmètre sont deux grandeurs indépendantes.
⚠️ Une aire ne s'exprime jamais en cm, mais en cm². Si ton résultat d'aire est en cm tout court, c'est qu'il y a une erreur.
2Aires des figures usuelles (rappels)
Voici les formules à connaître par cœur. On note l'aire A.
Figure
Formule de l'aire
Exemple
Carré (côté c)
A = c × c = c²
c = 5 cm → 5 × 5 = 25 cm²
Rectangle (L × ℓ)
A = Longueur × largeur
6 × 4 = 24 cm²
Triangle
A = base × hauteur2
8 × 32 = 12 cm²
Parallélogramme
A = base × hauteur
7 × 4 = 28 cm²
Attention à la hauteur du triangle. La hauteur est la distance entre la base choisie et le sommet opposé, mesurée perpendiculairement à cette base. Ce n'est pas forcément un côté du triangle !
💡 Pour le triangle, on peut diviser par 2 au début ou à la fin : 8 × 32 = 8 × 3 ÷ 2 = 24 ÷ 2 = 12. Choisis l'ordre qui simplifie les calculs.
3L'aire du disque
Un disque est la surface délimitée par un cercle. On le décrit par son rayon r (du centre au bord) ou son diamètre d (d = 2 × r).
Formule de l'aire du disque :
A = π × r × r = π × r²
Le nombre π (pi) est une constante : π ≈ 3,14. Dans un calcul, on remplace π par 3,14 (ou on garde « π » si l'énoncé le demande).
Méthode pas à pas
Calculer l'aire d'un disque de rayon r = 5 cm :
1. J'écris la formule : A = π × r².
2. Je calcule r² : 5 × 5 = 25.
3. Je multiplie par π : A = 3,14 × 25 = 78,5 cm².
⚠️ Erreur fréquente : on donne souvent le diamètre d. Il faut d'abord trouver le rayon : r = d ÷ 2. Si d = 10 cm, alors r = 5 cm (et non 10 !).
💡 Ne confonds pas le périmètre du cercle (P = π × d = 2 × π × r, en cm) et l'aire du disque (A = π × r², en cm²).
4Volumes : le pavé droit et le cube (rappels)
Le volume mesure la place occupée dans l'espace par un solide. Il se compte en unités de volume : cm³, dm³, m³… (on compte des cubes-unités).
Un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) est une « boîte » : ses faces sont des rectangles. Il a une longueur L, une largeur ℓ et une hauteur h.
Solide
Volume
Exemple
Pavé droit
V = L × ℓ × h
5 × 3 × 2 = 30 cm³
Cube (arête a)
V = a × a × a = a³
4 × 4 × 4 = 64 cm³
💡 Pour un pavé, l'ordre de multiplication n'a pas d'importance : 5 × 3 × 2 = 2 × 5 × 3 = 30. On peut commencer par les nombres les plus simples à multiplier.
5Le volume du cylindre (rappel)
Un cylindre (de révolution) ressemble à une boîte de conserve : sa base est un disque de rayon r, et il a une hauteur h.
Idée clé. Le volume d'un cylindre = aire de la base × hauteur. Comme la base est un disque (aire π × r²) :
V = π × r² × h
Méthode pas à pas
Cylindre de rayon r = 3 cm et hauteur h = 10 cm :
1. Aire de la base : π × r² = 3,14 × 9 = 28,26 cm².
2. Volume : aire × h = 28,26 × 10 = 282,6 cm³.
⚠️ La hauteur du cylindre n'est pas le rayon. Lis bien l'énoncé : si on donne le diamètre de la base, divise-le par 2 pour avoir r.
6Le volume de la pyramide et du cône
La pyramide a une base polygonale (carré, rectangle, triangle…) et un sommet. Le cône de révolution a une base en disque et un sommet (comme un cornet de glace).
La grande formule (à retenir absolument) :
V = aire de la base × hauteur3
La hauteur h est la distance du sommet au plan de la base, mesurée perpendiculairement.
Cas du cône (base = disque)
Comme la base est un disque d'aire π × r², le volume du cône s'écrit :
V = π × r² × h3
Méthode pas à pas (pyramide à base carrée)
Base carrée de côté 6 cm, hauteur h = 10 cm :
1. Aire de la base (carré) : 6 × 6 = 36 cm².
2. Multiplie par la hauteur : 36 × 10 = 360.
3. Divise par 3 : 360 ÷ 3 = 120 cm³.
💡 Un cône (ou une pyramide) a un volume 3 fois plus petit que le cylindre (ou le prisme) de même base et même hauteur. C'est tout le rôle du « ÷ 3 ».
⚠️ N'oublie jamais de diviser par 3 ! C'est l'erreur la plus courante pour les pyramides et les cônes.
7Unités et conversions
Unités de longueur
Chaque échelon vaut 10 fois le précédent : km, hm, dam, m, dm, cm, mm.
Unités d'aire
Règle. Pour les aires, chaque échelon vaut 100 fois le précédent (car on multiplie deux longueurs). On a deux colonnes par unité dans le tableau.
km²
hm²
dam²
m²
dm²
cm²
mm²
× 100 d'un échelon au suivant
1 m² = 100 dm² = 10 000 cm²
1 cm² = 100 mm² · 1 km² = 1 000 000 m²
Unités de volume
Règle. Pour les volumes, chaque échelon vaut 1000 fois le précédent (on multiplie trois longueurs). On a trois colonnes par unité.
1 m³ = 1000 dm³ = 1 000 000 cm³
1 cm³ = 1000 mm³
Le lien volume ↔ litre
1 L = 1 dm³ · 1 mL = 1 cm³ · 1 m³ = 1000 L
⚠️ Ne mélange pas les règles : longueur × 10, aire × 100, volume × 1000 d'un échelon au suivant.
8Sections planes simples
Une section d'un solide est la figure plane obtenue quand on le « coupe » par un plan (comme une tranche). Voici les cas simples à connaître.
Solide
Plan de coupe
Section obtenue
Pavé droit
parallèle à une face
un rectangle (identique à la face)
Cube
parallèle à une face
un carré
Cylindre
parallèle à la base
un disque (même rayon)
Cylindre
parallèle à l'axe
un rectangle
💡 Quand on coupe parallèlement à la base, la section a la même forme et la même taille que la base (rectangle pour un pavé, disque pour un cylindre).
9Résoudre un problème d'aire ou de volume
Une méthode fiable, étape par étape :
1. Je repère la grandeur cherchée : aire (en …²) ou volume (en …³) ?
2. J'identifie la figure ou le solide et j'écris la bonne formule.
3. Je vérifie que toutes les longueurs sont dans la même unité (je convertis si besoin).
4. Je remplace, je calcule, et j'écris la bonne unité au résultat.
Exemple complet. Un aquarium en forme de pavé mesure 50 cm de long, 30 cm de large et 40 cm de haut. Combien de litres d'eau contient-il (plein) ?
V = 50 × 30 × 40 = 60 000 cm³. Or 1 L = 1000 cm³, donc 60 000 cm³ = 60 L.
🎓 Récap express : aire en …² · volume en …³ · disque A = π × r² · cylindre V = π × r² × h · pyramide et cône V = base × h3 (ne pas oublier le ÷ 3 !) · conversions : longueur ×10, aire ×100, volume ×1000 · 1 L = 1 dm³.