Comment lire les coordonnées d'un point dans un pavé droit ?

On part de l'origine (un sommet du pavé) et on compte le déplacement le long de chacun des trois axes : l'abscisse, puis l'ordonnée, puis l'altitude. Dans un pavé de dimensions 4, 3 et 2 d'origine A, le sommet opposé G a pour coordonnées (4 ; 3 ; 2).

Comment construire le patron d'un cône de révolution ?

Le patron est formé d'un disque de rayon r (la base) et d'un secteur circulaire de rayon g, la génératrice. L'arc du secteur mesure 2π r et son angle vaut 360 × r/g degrés : pour r = 3 cm et g = 5 cm, on trouve 216°.

Qu'est-ce que le patron d'une pyramide ?

C'est une figure plane d'un seul tenant, formée de la base et des faces latérales triangulaires, qui permet de reconstituer la pyramide par pliage, sans recouvrement. Les deux côtés qui forment une même arête au pliage doivent avoir la même longueur.

Quelles sont les règles de la perspective cavalière ?

La face avant est dessinée en vraie grandeur ; les fuyantes sont parallèles, tracées avec le même angle et réduites par un même coefficient ; les arêtes cachées sont en pointillés. Le parallélisme et les milieux sont conservés, mais pas toutes les longueurs ni tous les angles.

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Se repérer dans un pavé droit ; patrons de la pyramide et du cône

Repérage dans un pavé droit (abscisse, ordonnée, altitude), lire et placer des points, patrons de la pyramide et du cône de révolution, sections simples, représentation en perspective

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Se repérer dans un pavé droit ; patrons de la pyramide et du cône » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Le pavé droit et son repère, Lire les coordonnées d'un point, Placer un point ; points particuliers, Représenter un solide en perspective cavalière. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.

Le pavé droit et son repère

Un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) possède 6 faces rectangulaires, 12 arêtes et 8 sommets. On le nomme en général $A B C D E F G H$ : $A B C D$ est la face du dessous, $E F G H$ la face du dessus, et $E$ , $F$ , $G$ , $H$ sont respectivement au-dessus de $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

Repère d'un pavé droit. On choisit un sommet comme origine (ici

A

), une unité de longueur, et les trois arêtes issues de ce sommet comme axes :
• l'axe des abscisses, porté par

[A B]

;
• l'axe des ordonnées, porté par

[A D]

;
• l'axe des altitudes, porté par

[A E]

(vertical).
Ces trois axes sont deux à deux perpendiculaires.

Astuce. Pense au coin d'une pièce : deux lignes au sol le long des murs (abscisses et ordonnées) et l'arête verticale entre les deux murs (altitudes). C'est le repère du plan que tu connais déjà, auquel on ajoute la hauteur.

Attention ! Le repère dépend de l'origine, des axes et de l'unité choisis : l'énoncé les précise toujours. Si l'on change d'origine ou d'unité, les coordonnées des points changent.

Lire les coordonnées d'un point

Coordonnées. Dans ce repère, tout point

M

est repéré par trois nombres, toujours écrits dans cet ordre :

M (x; y; z)

.
•

x

est l'abscisse : on avance parallèlement à

[A B]

;
•

y

est l'ordonnée : on avance parallèlement à

[A D]

;
•

z

est l'altitude : on monte parallèlement à

[A E]

Exemple. Pavé

A B C D E F G H

avec

A B = 4

A D = 3

A E = 2

(unité : le centimètre), origine

A

. Pour atteindre

G

, on avance de

4

selon les abscisses, de

3

selon les ordonnées, puis on monte de

2

G (4; 3; 2)

Sommet	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$F$	$G$	$H$
Abscisse	0	4	4	0	0	4	4	0
Ordonnée	0	0	3	3	0	0	3	3
Altitude	0	0	0	0	2	2	2	2

Astuce. Pour un sommet, chaque coordonnée vaut soit

0

, soit la longueur de l'arête correspondante (

4

3

2

ici). Les sommets du dessous ont une altitude nulle ; ceux du dessus ont pour altitude

A E

Placer un point ; points particuliers

Placer le point $P (x; y; z)$ . ① Partir de l'origine. ② Avancer de

x

parallèlement à l'axe des abscisses. ③ Avancer de

y

parallèlement à l'axe des ordonnées. ④ Monter de

z

verticalement.

Position du point	Ce que l'on sait de ses coordonnées
sur la face du dessous $A B C D$	altitude $= 0$
sur la face du dessus $E F G H$	altitude $= A E$
sur la face avant $A B F E$	ordonnée $= 0$
sur la face $A D H E$	abscisse $= 0$
sur l'axe des altitudes	abscisse et ordonnée nulles
sur une arête	deux coordonnées sont imposées

Exemples (pavé de la section 2). Le milieu de

[F G]

est à mi-chemin de

F (4; 0; 2)

et de

G (4; 3; 2)

: c'est le point

(4; 1, 5; 2)

. Le centre de la face

E F G H

est

(2; 1, 5; 2)

. Le centre du pavé est au milieu de chaque dimension :

(2; 1, 5; 1)

Attention ! Un point appartient au pavé (intérieur ou bord) seulement si

0 \leq x \leq 4

0 \leq y \leq 3

0 \leq z \leq 2

. Le point

L (1; 3, 5; 1)

est à l'extérieur : son ordonnée dépasse

A D = 3

. Et si les dimensions sont données dans une autre unité que celle du repère, on les convertit avant d'écrire les coordonnées.

Représenter un solide en perspective cavalière

Pour dessiner un solide sur une feuille, on utilise la perspective cavalière. Le dessin donne une impression de relief, mais il ne conserve pas toutes les longueurs ni tous les angles.

Règles de la perspective cavalière.
• La face avant (face frontale) est dessinée en vraie grandeur.
• Les arêtes perpendiculaires à cette face, appelées fuyantes, sont tracées en oblique, toutes avec le même angle (souvent 30° ou 45°), et réduites par un même coefficient (souvent

0, 5

).
• Deux arêtes parallèles sur le solide sont parallèles sur le dessin ; le milieu d'une arête est dessiné au milieu.
• Les arêtes cachées sont tracées en pointillés.

Exemple. Pavé

4 \times 3 \times 2

avec

A B F E

en face avant, fuyantes à 45° et coefficient

0, 5

[A B]

est tracé en

4

cm,

[A E]

2

cm, et

[A D]

, qui mesure

3

cm en réalité, est tracé en

1, 5

cm. Un seul sommet est caché : les trois arêtes qui en partent sont en pointillés.

Attention ! On ne mesure jamais une longueur sur une fuyante ni sur une diagonale d'une face non frontale : elle est déformée. Les angles droits des faces non frontales n'apparaissent pas droits. Un cercle vu de biais (la base d'un cône posé sur une table) est dessiné comme un ovale (une ellipse).

La pyramide et son patron

Pyramide. Une pyramide a une base polygonale et des faces latérales triangulaires qui ont toutes un sommet commun

S

, le sommet de la pyramide. Sa hauteur est le segment issu de

S

et perpendiculaire à la base. Une pyramide est régulière quand sa base est un polygone régulier (triangle équilatéral, carré…) et que

S

est à la verticale du centre de la base : ses faces latérales sont alors des triangles isocèles superposables.

Base à $n$ côtés	$n$ faces latérales	$n + 1$ faces en tout	$2 n$ arêtes	$n + 1$ sommets
Base triangulaire	3	4	6	4
Base carrée	4	5	8	5

Patron. Un patron d'un solide est une figure plane d'un seul tenant qui, pliée, permet de reconstituer le solide sans recouvrement. Le patron d'une pyramide est formé de sa base et de ses faces latérales ; deux côtés qui se rejoignent au pliage pour former une même arête doivent avoir la même longueur.

Exemple. Pyramide régulière

S A B C D

à base carrée,

A B = 6

cm, arêtes latérales de

5

cm. On trace le carré

A B C D

de côté

6

cm puis, sur chaque côté, un triangle isocèle de côtés

5

;

5

;

6

cm : au compas, deux arcs de rayon

5

cm centrés aux extrémités du côté. La hauteur de chaque face issue de

S

s'obtient avec le théorème de Pythagore dans le demi-triangle rectangle :

\sqrt{5^{2} - 3^{2}} = \sqrt{16} = 4

cm.

Attention ! Avoir les bonnes faces ne suffit pas : si deux triangles se superposent au pliage, ou si deux côtés destinés à la même arête n'ont pas la même longueur, la figure n'est pas un patron. Une même pyramide possède plusieurs patrons différents.

Le cône de révolution et son patron

Cône de révolution. Il est engendré par un triangle

S O M

rectangle en

O

qui tourne autour du côté

[S O]

. Sa base est le disque de centre

O

et de rayon

r = O M

; sa hauteur est

h = S O

; sa génératrice est

g = S M

, la distance du sommet à un point du cercle de base. D'après le théorème de Pythagore :

g^{2} = h^{2} + r^{2}

, donc

g

est plus grande que

r

et que

h

Patron du cône. Il est formé d'un disque de rayon

r

(la base) et d'un secteur circulaire de rayon

g

(la surface latérale). L'arc du secteur s'enroule exactement sur le cercle de base : sa longueur vaut

2 π r

. La longueur d'un arc est proportionnelle à son angle, et le cercle entier de rayon

g

(longueur

2 π g

) correspond à 360°. L'angle du secteur, en degrés, est donc

α = \frac{360 \times r}{g}

Exemple.

r = 3

cm et

h = 4

cm. Génératrice :

g = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{25} = 5

cm. Arc :

2 π \times 3 = 6 π \approx 18, 85

cm. Angle :

α = \frac{360 \times 3}{5} = 216

°. On trace un secteur de rayon

5

cm et d'angle 216°, puis un disque de rayon

3

cm qui touche l'arc en un point.

Attention ! Le rayon du secteur est la génératrice

g

, pas la hauteur

h

. Comme

r < g

, l'angle du secteur est toujours inférieur à 360°.

Sections simples d'un pavé droit

Section. Couper un solide par un plan fait apparaître une surface plane : c'est la section du solide par ce plan.

Le plan de coupe est…	La section est…
parallèle à une face	un rectangle de mêmes dimensions que cette face
parallèle à une arête	un rectangle dont un côté a la longueur de cette arête

Exemples (pavé

4 \times 3 \times 2

). ① Tous les points d'altitude

1

forment une section parallèle à la base : un rectangle de

4

cm sur

3

cm, identique à

A B C D

. ② Le plan qui contient les arêtes verticales

[A E]

[C G]

coupe le pavé suivant le rectangle

A C G E

A E = 2

cm et, dans le triangle

A B C

rectangle en

B

A C = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5

cm. La section mesure

5

cm sur

2

cm.

Astuce. Le repérage aide à décrire une section : « les points du pavé d'altitude

1

» désignent exactement une coupe horizontale.

Attention ! Sur un dessin en perspective, la section

A C G E

ne paraît pas rectangulaire : c'est le calcul qui donne ses vraies dimensions. Les sections de la pyramide, du cône, du cylindre et de la sphère seront étudiées en 3e.

Méthodes et erreurs fréquentes

Les cinq erreurs classiques.
① Écrire les coordonnées dans le désordre (l'altitude en premier, par exemple).
② Oublier de convertir les longueurs dans l'unité du repère.
③ Prendre la hauteur

h

au lieu de la génératrice

g

pour le rayon ou l'angle du secteur.
④ Mesurer une longueur sur une fuyante du dessin en perspective.
⑤ Croire qu'une figure qui contient les bonnes faces est forcément un patron.

Contrôle du résultat. Les coordonnées d'un sommet valent

0

ou une dimension du pavé ; un point du pavé a des coordonnées comprises entre

0

et ces dimensions ; l'angle du secteur d'un cône est toujours inférieur à 360°.

En bref

Repère d'un pavé droit : origine en un sommet, axes portés par les trois arêtes issues de ce sommet ; $M (x; y; z)$ = abscisse, ordonnée, altitude, dans cet ordre.
Face du dessous : altitude $0$ ; centre du pavé : moitié de chaque dimension ; longueurs converties dans l'unité du repère.
Perspective cavalière : face frontale en vraie grandeur, fuyantes parallèles et réduites, arêtes cachées en pointillés.
Pyramide à base à $n$ côtés : $n + 1$ faces, $2 n$ arêtes, $n + 1$ sommets ; patron = base + $n$ triangles.
Cône : $g^{2} = h^{2} + r^{2}$ ; patron = disque de rayon $r$ + secteur de rayon $g$ , d'arc $2 π r$ et d'angle $\frac{360 \times r}{g}$ degrés.
Section d'un pavé par un plan parallèle à une face ou à une arête : un rectangle.

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