Se repérer dans un pavé droit ; patrons de la pyramide et du cône

Repérage dans un pavé droit (abscisse, ordonnée, altitude), lire et placer des points, patrons de la pyramide et du cône de révolution, sections simples, représentation en perspective

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Se repérer dans un pavé droit ; patrons de la pyramide et du cône » en quatrième permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de quatrième et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : Le pavé droit et son repère, Lire les coordonnées d'un point, Placer un point ; points particuliers, Représenter un solide en perspective cavalière. Écris ta réponse puis clique sur « Vérifier » : la correction est immédiate et tolère majuscules, espaces et ponctuation. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser mathématiques en quatrième.

Entraîne-toi par niveau. Écris ta réponse puis clique sur « Vérifier » (ou tape Entrée). La correction tolère majuscules, espaces et ponctuation.

Facile

Ex. 1Vocabulaire du repérage dans un pavé droit. Complète.

Dans un pavé droit muni d'un repère, un point est repéré par nombres (ses coordonnées).

Pour le point

M (2; 5; 1)

, l'ordonnée vaut

Pour le point

M (2; 5; 1)

, l'altitude vaut

L'origine du repère a pour coordonnées (écris x;y;z)

Tous les points de la face du dessous

A B C D

ont une altitude égale à

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3 — L'abscisse, l'ordonnée et l'altitude.
5 — L'ordonnée est la deuxième coordonnée.
1 — L'altitude est la troisième coordonnée : $M$ est à $1$ unité au-dessus de la base.
0;0;0 — Depuis l'origine, on n'avance dans aucune direction.
0 — La face du dessous est au niveau de l'origine $A$ .

Ex. 2Pavé

A B C D E F G H

A B = 5

A D = 2

A E = 3

. L'origine est

A

; les axes des abscisses, des ordonnées et des altitudes sont portés par

[A B]

[A D]

[A E]

;

E

F

G

H

sont au-dessus de

A

B

C

D

. Écris les coordonnées sous la forme x;y;z.

Coordonnées de

B

Coordonnées de

D

Coordonnées de

F

Coordonnées de

G

Coordonnées de

H

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5;0;0 — On avance de $5$ selon les abscisses seulement.
0;2;0 — On avance de $2$ selon les ordonnées seulement.
5;0;3 — $F$ est au-dessus de $B$ : même abscisse, altitude $3$ .
5;2;3 — $G$ est le sommet opposé à $A$ : les trois dimensions.
0;2;3 — $H$ est au-dessus de $D (0; 2; 0)$ .

Moyen

Ex. 3Cube

A B C D E F G H

d'arête

6

, même disposition (origine

A

, axes portés par

[A B]

[A D]

[A E]

). Écris les coordonnées sous la forme x;y;z.

Milieu de l'arête

[A B]

Centre de la face du dessus

E F G H

Centre du cube :

Milieu de l'arête

[C G]

Le sommet de coordonnées

(0; 6; 6)

est le sommet

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3;0;0 — À mi-chemin de $A (0; 0; 0)$ et de $B (6; 0; 0)$ .
3;3;6 — Milieu en abscisse et en ordonnée, altitude $6$ (face du dessus).
3;3;3 — La moitié de chaque dimension.
6;6;3 — $C (6; 6; 0)$ et $G (6; 6; 6)$ : seule l'altitude change, elle vaut $3$ au milieu.
H — Abscisse $0$ , ordonnée $6$ : c'est au-dessus de $D$ , donc $H$ .

Ex. 4Patron d'un cône de révolution :

r

est le rayon de la base,

h

la hauteur,

g

la génératrice. Arrondis au centième si nécessaire.

r = 2

cm : longueur de l'arc du secteur ≈ cm

r = 2

cm et

g = 6

cm : angle du secteur = °

r = 4

cm et

g = 10

cm : angle du secteur = °

g = 12

cm et angle du secteur 150° :

r =

r = 6

cm et

h = 8

cm :

g =

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12,57 — $2 π \times 2 = 4 π \approx 12, 57$ cm : l'arc a la longueur du cercle de base.
120 — $\frac{360 \times 2}{6} = 120$ °.
144 — $\frac{360 \times 4}{10} = 144$ °.
5 — $\frac{360 \times r}{12} = 150$ , donc $r = \frac{150 \times 12}{360} = 5$ cm.
10 — $g = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = \sqrt{100} = 10$ cm.

Difficile

Ex. 5Patrons : calculer et raisonner.

Pyramide régulière à base carrée de côté

8

cm, arêtes latérales de

5

cm. Hauteur de chaque face latérale issue du sommet : cm

Aire totale d'un patron de cette pyramide : cm²

Pyramide dont la base est un triangle équilatéral de côté

4

cm et dont les arêtes latérales mesurent

7

cm. On trace le patron « en étoile » (la base au centre, un triangle sur chaque côté). Périmètre du contour de ce patron : cm

Une figure est formée d'un carré de côté

8

cm et de quatre triangles posés sur ses côtés : trois ont pour côtés

5

;

5

;

8

cm, le quatrième

6

;

6

;

8

cm. Est-ce le patron d'une pyramide ? Explique.

Un élève dessine le patron d'un cône avec un secteur de rayon

4

cm et un disque de rayon

5

cm. Est-ce possible ? Explique.

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3 — Demi-triangle rectangle de côtés $4$ et $5$ : $\sqrt{5^{2} - 4^{2}} = \sqrt{9} = 3$ cm.
112 — $8^{2} + 4 \times \frac{8 \times 3}{2} = 64 + 48 = 112$ cm².
42 — Le contour est formé des $6$ côtés latéraux des triangles : $6 \times 7 = 42$ cm ; les côtés de la base sont à l'intérieur du patron.
Réponse libre — exemple : Non. Au pliage, chaque côté oblique du quatrième triangle (6 cm) doit se raccorder avec un côté d'un triangle voisin (5 cm) pour former une arête latérale. Deux côtés qui forment la même arête doivent avoir la même longueur : 6 ≠ 5, la figure ne se referme pas.
Réponse libre — exemple : Non. Le rayon du secteur est la génératrice g, et g est plus grande que r (g² = h² + r²). Ici l'arc devrait mesurer 2π × 5 ≈ 31,42 cm, alors que le cercle entier de rayon 4 cm ne mesure que 2π × 4 ≈ 25,13 cm.

Ex. 6Pavé

A B C D E F G H

(disposition habituelle) avec

A B = 6

cm,

A D = 8

cm et

A E = 6

cm ;

A B F E

est la face avant.

Aire de la section du pavé par un plan parallèle à la face

A B F E

: cm²

Longueur de la diagonale

[B G]

de la face

B C G F

: cm

Le plan qui contient les arêtes

[A B]

[H G]

coupe le pavé suivant le rectangle

A B G H

. Son aire : cm²

Dessin en perspective cavalière avec

A B F E

en vraie grandeur et un coefficient de

0, 5

: longueur dessinée de

[A D]

= cm

Sur ce dessin, l'angle

\hat{B A E}

apparaît droit mais pas l'angle

\hat{B A D}

. Pourtant, les deux sont droits sur le pavé. Explique.

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36 — La section est identique à $A B F E$ : un carré de $6$ cm sur $6$ cm.
10 — $B C G F$ est un rectangle de $8$ cm ( $B C = A D$ ) sur $6$ cm ( $C G = A E$ ) : $\sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10$ cm.
60 — Plan parallèle à l'arête $[A B]$ : rectangle de côtés $A B = 6$ cm et $B G = 10$ cm, soit $60$ cm².
4 — $[A D]$ est une fuyante : $8 \times 0, 5 = 4$ cm.
Réponse libre — exemple : L'angle BAE appartient à la face frontale ABFE, dessinée en vraie grandeur : il reste droit. L'angle BAD appartient à la face ABCD, qui n'est pas frontale : [AD] est une fuyante tracée en oblique, donc l'angle droit est déformé sur le dessin.

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