Devoir surveillé : Longueurs, masses, durées, aires et volumes

1. a)$1$ m $=100$ cm, donc $3,6$ m $=3,6\times 100=360$ cm. (1 pt) (1)
2. b)$1$ kg $=1000$ g, donc $4700$ g $=4700÷1000=4,7$ kg. (1 pt) (1)
3. c)$1$ dm² $=100$ cm² (deux chiffres par unité), donc $5$ dm² $=5\times 100=500$ cm². (1 pt) (1)
4. d)$1$ L $=1$ dm³ $=1000$ cm³, donc $2$ L $=2\times 1000=2000$ cm³. (1 pt) (1)

Méthode — on passe d'une unité à la suivante en multipliant par $10$ pour les longueurs, les masses et les litres, par $100$ pour les aires et par $1000$ pour les volumes.

1. a)$3$ h $=3\times 60=180$ min, donc $3$ h $15$ min $=180+15=195$ min. (1 pt) (1)
2. b)$130=2\times 60+10$, donc $130$ min $=2$ h $10$ min. (1 pt) (1)
3. c)$2$ h $+1$ h $=3$ h et $50+25=75$ min ; or $75$ min $=1$ h $15$ min, donc le total vaut $4$ h $15$ min. (1 pt) (1)
4. d)De $20$ h $35$ à $21$ h : $25$ min ; de $21$ h à $22$ h $10$ : $1$ h $10$ min. Durée : $1$ h $35$ min. (1 pt) (1)

Piège — une heure compte $60$ minutes et non $100$ : dès que les minutes dépassent $60$, on les transforme en heures.

1. a)$1$ cm $=10$ mm, donc $50$ mm $=50÷10=5$ cm. (1 pt) (1)
2. b)$P=2\times (12+5)=2\times 17=34$ cm. (1 pt) (1)
3. c)$A=12\times 5=60$ cm². (1 pt) (1)
4. d)Côté : $34÷4=8,5$ cm (0,5 pt) ; aire : $8,5\times 8,5=72,25$ cm² (0,5 pt). Même périmètre, mais pas la même aire. (1)

Erreur fréquente — le périmètre se mesure en cm (on fait le tour), l'aire en cm² (on remplit la surface) ; deux figures de même périmètre peuvent avoir des aires différentes.

1. a)Diamètre : $2\times 4=8$ m (0,5 pt) ; circonférence : $\pi \times 8\approx 3,14\times 8=25,12$ m (0,5 pt). (1)
2. b)$25,12\times 10=251,2$ m. (1 pt) (1)
3. c)$1$ km $=1000$ m, donc $251,2$ m $=251,2÷1000=0,2512$ km. (1 pt) (1)
4. d)$20\times 10=200$ s ; $200=3\times 60+20$, donc $3$ min $20$ s. (1 pt) (1)

Astuce — la circonférence se calcule avec le diamètre ($\pi \times d$) : si l'énoncé donne le rayon, on commence par le doubler.

1. a)$V=50\times 30\times 40=1500\times 40=60000$ cm³. (1 pt) (1)
2. b)$1$ dm³ $=1000$ cm³, donc $60000$ cm³ $=60$ dm³ (0,5 pt) $=60$ L, car $1$ dm³ $=1$ L (0,5 pt). (1)
3. c)Hauteur d'eau : $40-10=30$ cm ; $50\times 30\times 30=45000$ cm³ $=45$ dm³ $=45$ L. (1 pt) (1)
4. d)Masse de l'eau : $45$ kg ; masse totale : $45+12=57$ kg. (1 pt) (1)

Méthode — pour passer d'un volume à une capacité, on convertit d'abord en dm³ : un dm³ contient exactement un litre.

1. a)Faux : $2,5\times 1000=2500$, donc $2,5$ km $=2500$ m. (1 pt) (1)
2. b)Faux : $30$ min est la moitié d'une heure, soit $0,5$ h ; donc $1$ h $30$ min $=1,5$ h. (1 pt) (1)
3. c)Vrai : un carré de $1$ m de côté mesure $10$ dm sur $10$ dm, soit $10\times 10=100$ dm². (1 pt) (1)
4. d)Vrai : $750$ g $=0,75$ kg et $0,75+1,5=2,25$ kg. (1 pt) (1)

Piège — « $1,3$ h » ne signifie pas « $1$ h $30$ min » : les décimales d'heure sont des dixièmes d'heure, soit $6$ minutes chacun.

1. a)En mm : $450$ ; $470$ ; $438$ ; $0,0044\times 1000000=4400$ (1 pt). Donc $438$ mm $<0,45$ m $<47$ cm $<0,0044$ km (0,5 pt). (1,33333)
2. b)En g : $1200$ ; $1150$ ; $0,0012\times 1000000=1200$ ; $118000÷1000=118$ (1 pt). Donc $118000$ mg $<1150$ g $<1,2$ kg $=0,0012$ t (0,5 pt). (1,33333)
3. c)En min : $1,25\times 60=75$ ; $60+20=80$ ; $78$ ; $4600÷60=76$ min $40$ s (0,5 pt). Donc $1,25$ h $<4600$ s $<78$ min $<1$ h $20$ min (0,5 pt). (1,33333)

Astuce — on ne compare jamais des nombres exprimés dans des unités différentes : une seule unité commune, puis on range, et deux grandeurs peuvent être égales.

1. a)$600$ cm $=6$ m (0,5 pt) ; $P=2\times (8,5+6)=2\times 14,5=29$ m (0,5 pt). (1)
2. b)$2$ rouleaux font $20$ m, c'est trop peu ; $3$ rouleaux font $30$ m, il en faut donc $3$ (0,5 pt). Il restera $30-29=1$ m (0,5 pt). (1)
3. c)$A=8,5\times 6=51$ m². (1 pt) (1)
4. d)$51\times 25=1275$ g (0,5 pt) $=1,275$ kg (0,5 pt). (1)

Méthode — on convertit toutes les longueurs dans la même unité avant de calculer : le grillage utilise le périmètre, les graines utilisent l'aire.

1. a)$0,4$ h $=0,4\times 60=24$ min, donc $2,4$ h $=2$ h $24$ min ; l'élève a lu les décimales comme des minutes. (1 pt) (1)
2. b)$1$ cm² $=100$ mm², donc $5$ cm² $=500$ mm² ; pour les aires, on multiplie par $100$ et non par $10$. (1 pt) (1)
3. c)$V=3\times 3\times 3=27$ cm³ ; $9$ cm² est l'aire d'une seule face, il manque la troisième dimension. (1 pt) (1)
4. d)$1$ L $=1$ dm³ $=1000$ cm³, donc $4$ L $=4000$ cm³ ; l'élève a confondu cm³ et cL. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — les quatre erreurs viennent d'un mauvais facteur de conversion : $60$ pour les durées, $100$ pour les aires, $1000$ pour les volumes.

1. a)$40$ cm $=0,4$ m (0,5 pt) ; $V=2,4\times 1,5\times 0,4=3,6\times 0,4=1,44$ m³ (0,5 pt). (1)
2. b)$1$ m³ $=1000$ dm³ $=1000$ L, donc $1,44$ m³ $=1440$ L. (1 pt) (1)
3. c)$1440÷16=90$ min (0,5 pt) ; $90$ min $=60+30=1$ h $30$ min (0,5 pt). (1)
4. d)$10$ h $45+1$ h $30$ min $=11$ h $75$ min $=12$ h $15$. (1 pt) (1)

Piège — on calcule le volume d'eau avec la hauteur d'eau ($40$ cm), pas avec la hauteur de la piscine ($50$ cm).

1. a)$3,2$ km $=3200$ m ; $12500$ cm $=125$ m (0,5 pt) ; $3200+450+125=3775$ m (0,5 pt). (1)
2. b)Heures : $2+3=5$ h ; minutes : $48+37+55=140$ min $=2$ h $20$ min (0,5 pt) ; total : $7$ h $20$ min (0,5 pt). (1)
3. c)$0,35$ m² $=35$ dm² ; $800$ cm² $=8$ dm² (0,5 pt) ; $35+42+8=85$ dm² (0,5 pt). (1)
4. d)$1,2$ m³ $=1200$ dm³ $=1200$ L ; $350$ dm³ $=350$ L ; $4500$ cL $=45$ L (0,5 pt) ; $1200-350+45=895$ L (0,5 pt). (1)

Méthode — dans une somme de grandeurs, on convertit chaque terme séparément, puis on calcule : les durées se traitent à part, heures d'un côté, minutes de l'autre.

1. a)Faux : la nouvelle aire vaut $(2\times L)\times (2\times \ell )=4\times L\times \ell$ ; l'aire est multipliée par $4$ (0,5 pt). Exemple : $2\times 3=6$ cm² devient $4\times 6=24$ cm² (0,5 pt). (1)
2. b)Vrai : $(2\times a)\times (2\times a)\times (2\times a)=8\times a\times a\times a$ (0,5 pt). Exemple : arête $1$ cm, volume $1$ cm³ ; arête $2$ cm, volume $8$ cm³ (0,5 pt). (1)
3. c)Faux, contre-exemple : $5$ cm sur $1$ cm et $4$ cm sur $2$ cm ont tous deux un périmètre de $12$ cm (0,5 pt), mais des aires de $5$ cm² et $8$ cm² (0,5 pt). (1)
4. d)Vrai : $1$ m³ $=1000$ dm³ $=1000$ L (0,5 pt), soit $1000$ kg d'eau $=1$ t (0,5 pt). (1)

Erreur fréquente — doubler les dimensions ne double ni l'aire ni le volume : l'aire est multipliée par $2\times 2=4$, le volume par $2\times 2\times 2=8$.

1. a)Il faut largeur $\times$ longueur $=36$. Comme largeur $\le$ longueur, largeur $\times$ largeur $\le 36$, donc la largeur vaut au plus $6$ (0,5 pt). On teste $1$ à $6$ : $1\times 36$, $2\times 18$, $3\times 12$, $4\times 9$, $6\times 6$ ; $5$ ne convient pas car $36$ n'est pas dans la table de $5$ (0,5 pt). Il y a donc $5$ rectangles (0,5 pt). (1)
2. b)$2\times (1+36)=74$ cm ; $2\times (2+18)=40$ cm ; $2\times (3+12)=30$ cm ; $2\times (4+9)=26$ cm ; $4\times 6=24$ cm. (1 pt) (1)
3. c)Le carré de $6$ cm de côté, avec $24$ cm. (0,5 pt) (1)
4. d)$0,3$ m $=30$ cm (0,5 pt) : c'est le rectangle de $3$ cm sur $12$ cm (0,5 pt). (1)

Astuce — pour être sûr de n'oublier aucune solution, on teste les largeurs dans l'ordre et on s'arrête dès que largeur $\times$ largeur dépasse l'aire.

1. a)En cm : $200÷40=5$ cartons en longueur, $160÷40=4$ en largeur, $120÷40=3$ en hauteur (1 pt) ; les divisions tombent juste, donc $5\times 4\times 3=60$ cartons (0,5 pt). (1,33333)
2. b)$60\times 18=1080$ kg $>800$ kg : on ne peut pas tous les prendre (0,5 pt). $18\times 44=792\le 800$ et $18\times 45=810>800$ (0,5 pt), donc $44$ cartons au maximum (0,5 pt). (1,33333)
3. c)$1$ min $30$ s $=90$ s ; $44\times 90=3960$ s $=66$ min $=1$ h $6$ min (0,5 pt) ; $8$ h $50+1$ h $6$ min $=9$ h $56$ min, le chargement se termine à $9$ h $56$ (0,5 pt). (1,33333)

Piège — l'espace disponible n'est pas la seule contrainte : c'est la masse maximale qui limite le chargement, et un nombre de cartons s'arrondit toujours à l'entier inférieur.

1. a)$1$ m² $=100\times 100=10000$ cm², donc $10000$ petits carrés (0,5 pt) ; alignés : $10000$ cm $=100$ m (0,5 pt). (1)
2. b)$1$ m³ $=100\times 100\times 100=1000000$ cm³, donc $1000000$ petits cubes (0,5 pt) ; alignés : $1000000$ cm $=10000$ m $=10$ km (0,5 pt). (1)
3. c)Une semaine : $7\times 24=168$ h ; $168\times 60=10080$ min ; $10080\times 60=604800$ s (0,5 pt). Or $1000000>604800$, donc il faut plus d'une semaine (0,5 pt). (1)
4. d)$1000000=16666\times 60+40$ : $16666$ min $40$ s ; $16666=277\times 60+46$ : $277$ h $46$ min (0,5 pt) ; $277=11\times 24+13$ : $11$ j $13$ h. Durée : $11$ j $13$ h $46$ min $40$ s (0,5 pt). (1)

Astuce — pour convertir un grand nombre de secondes, on divise par $60$, puis encore par $60$, puis par $24$ : chaque reste donne l'unité plus petite.