À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « Les masses & les durées » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'une masse ?, Les unités de masse et le tableau de conversion, Convertir des masses sans se tromper, Qu'est-ce qu'une durée ? Le système sexagésimal. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Qu'est-ce qu'une masse ?
2 · Les unités de masse et le tableau de conversion
3 · Convertir des masses sans se tromper
4 · Qu'est-ce qu'une durée ? Le système sexagésimal
5 · Convertir des durées (h, min, s)
6 · Calculer une durée entre deux horaires
7 · Additionner et soustraire des durées
1Qu'est-ce qu'une masse ?
La masse d'un objet mesure la quantité de matière qu'il contient. On la mesure avec une balance. Dans le langage courant on parle souvent de « poids », mais en mathématiques on dit la masse.
Définition. La masse se mesure en grammes ($\text{g}$) et dans ses multiples et sous-multiples : le kilogramme ($\text{kg}$), la tonne ($\text{t}$), le milligramme ($\text{mg}$)… L'unité de référence du système est le kilogramme.
Exemple. Une pomme pèse environ $150\ \text{g}$ ; un paquet de farine $1\ \text{kg}$ ; une petite voiture environ $1\ \text{t}$, c'est-à-dire $1\,000\ \text{kg}$.
Astuce. Pour avoir des ordres de grandeur en tête : $1\ \text{kg} = 1\,000\ \text{g}$ (un litre d'eau pèse $1\ \text{kg}$) et $1\ \text{t} = 1\,000\ \text{kg}$.
2Les unités de masse et le tableau de conversion
Comme pour les longueurs, on range les unités de masse dans un tableau. On passe d'une colonne à la colonne voisine en multipliant ou en divisant par $10$.
Règle. Dans le tableau des masses, on place un chiffre par colonne. De gauche à droite : tonne ($\text{t}$), quintal ($\text{q}$), kilogramme ($\text{kg}$), hectogramme ($\text{hg}$), décagramme ($\text{dag}$), gramme ($\text{g}$), puis $\text{dg}$, $\text{cg}$, $\text{mg}$.
| $\text{t}$ | $\text{q}$ | $\text{kg}$ | $\text{hg}$ | $\text{dag}$ | $\text{g}$ | $\text{dg}$ | $\text{cg}$ | $\text{mg}$ |
|---|
| Un chiffre par colonne ; on multiplie ou divise par $10$ d'une colonne à la voisine. |
Relations à connaître. $1\ \text{kg} = 1\,000\ \text{g}$, $1\ \text{g} = 1\,000\ \text{mg}$, $1\ \text{t} = 1\,000\ \text{kg}$, $1\ \text{q} = 100\ \text{kg}$.
Astuce. Si l'écart entre deux unités fait peur, on compte les colonnes du tableau : chaque colonne franchie = un $0$ de plus (ou un déplacement de la virgule).
3Convertir des masses sans se tromper
Pour convertir une masse, on écrit le nombre dans le tableau en plaçant le chiffre des unités dans la colonne de son unité, puis on lit le résultat dans la colonne souhaitée.
Exemple résolu. Convertir $2{,}5\ \text{kg}$ en grammes. On a $1\ \text{kg} = 1\,000\ \text{g}$, donc $2{,}5\ \text{kg} = 2{,}5 \times 1\,000 = 2\,500\ \text{g}$.
Exemple résolu. Convertir $750\ \text{g}$ en kilogrammes. On a $1\,000\ \text{g} = 1\ \text{kg}$, donc $750\ \text{g} = 750 \div 1\,000 = 0{,}75\ \text{kg}$.
| Pour passer de… | à… | on… |
|---|
| $\text{kg}$ | $\text{g}$ | multiplie par $1\,000$ |
| $\text{g}$ | $\text{kg}$ | divise par $1\,000$ |
| $\text{t}$ | $\text{kg}$ | multiplie par $1\,000$ |
| $\text{g}$ | $\text{mg}$ | multiplie par $1\,000$ |
Attention ! On ne peut additionner ou comparer deux masses que si elles sont dans la même unité. Pour comparer $0{,}9\ \text{kg}$ et $950\ \text{g}$, convertis d'abord : $0{,}9\ \text{kg} = 900\ \text{g}$, donc $950\ \text{g}$ est plus lourd.
4Qu'est-ce qu'une durée ? Le système sexagésimal
Une durée mesure le temps écoulé entre deux instants. On l'exprime en heures ($\text{h}$), minutes ($\text{min}$) et secondes ($\text{s}$). Attention : les durées ne fonctionnent pas comme les masses !
Règle (système sexagésimal). $1\ \text{h} = 60\ \text{min}$ et $1\ \text{min} = 60\ \text{s}$. On multiplie ou on divise par $\mathbf{60}$, et non par $10$.
Attention ! $2{,}5\ \text{h}$ ne fait pas $2\ \text{h}\ 50\ \text{min}$ ! Comme $0{,}5\ \text{h} = \dfrac{60}{2} = 30\ \text{min}$, on a $2{,}5\ \text{h} = 2\ \text{h}\ 30\ \text{min}$. C'est le piège le plus fréquent en 6e.
Exemple. $1\ \text{h}\ 15\ \text{min}$ dure $60 + 15 = 75\ \text{min}$. Et $1\ \text{min}\ 30\ \text{s}$ dure $60 + 30 = 90\ \text{s}$.
5Convertir des durées (h, min, s)
Pour convertir une durée, on multiplie par $60$ pour descendre (h → min → s) et on divise par $60$ pour remonter (s → min → h).
Exemple résolu. Combien de minutes dans $3\ \text{h}$ ? $3 \times 60 = 180\ \text{min}$.
Exemple résolu. Convertir $200\ \text{min}$ en heures et minutes. On divise par $60$ : $200 = 3 \times 60 + 20$, donc $200\ \text{min} = 3\ \text{h}\ 20\ \text{min}$.
| Conversion | Opération | Exemple |
|---|
| heures → minutes | $\times 60$ | $2\ \text{h} = 120\ \text{min}$ |
| minutes → secondes | $\times 60$ | $5\ \text{min} = 300\ \text{s}$ |
| secondes → minutes | $\div 60$ | $120\ \text{s} = 2\ \text{min}$ |
| heures → secondes | $\times 3\,600$ | $1\ \text{h} = 3\,600\ \text{s}$ |
Astuce. Pour transformer des minutes en « heures et minutes », on cherche combien de fois $60$ tient dans le nombre : le quotient donne les heures, le reste donne les minutes (c'est une division euclidienne).
6Calculer une durée entre deux horaires
Pour trouver la durée entre un horaire de départ et un horaire d'arrivée, on soustrait en traitant les heures et les minutes séparément.
Exemple simple. De $14\ \text{h}\ 10$ à $16\ \text{h}\ 45$ : heures $16 - 14 = 2$, minutes $45 - 10 = 35$. Durée $= 2\ \text{h}\ 35\ \text{min}$.
Attention ! Quand les minutes d'arrivée sont plus petites que celles de départ, on « emprunte » $1\ \text{h} = 60\ \text{min}$. Exemple : de $9\ \text{h}\ 50$ à $11\ \text{h}\ 20$. On écrit $11\ \text{h}\ 20 = 10\ \text{h}\ 80$. Puis $10\ \text{h}\ 80 - 9\ \text{h}\ 50 = 1\ \text{h}\ 30\ \text{min}$.
Astuce de la ligne du temps. On peut aussi avancer par étapes : de $9\ \text{h}\ 50$ à $10\ \text{h}$ il y a $10\ \text{min}$, puis de $10\ \text{h}$ à $11\ \text{h}\ 20$ il y a $1\ \text{h}\ 20$. Total : $1\ \text{h}\ 30\ \text{min}$.
7Additionner et soustraire des durées
On peut additionner ou soustraire des durées comme des nombres, mais en se rappelant qu'on retient $60$ (et non $10$) entre minutes et heures.
Exemple (addition). $1\ \text{h}\ 45\ \text{min} + 2\ \text{h}\ 30\ \text{min}$. Minutes : $45 + 30 = 75\ \text{min} = 1\ \text{h}\ 15\ \text{min}$. Heures : $1 + 2 + 1 = 4$. Résultat : $4\ \text{h}\ 15\ \text{min}$.
Exemple (soustraction). $3\ \text{h}\ 10\ \text{min} - 1\ \text{h}\ 40\ \text{min}$. On transforme $3\ \text{h}\ 10 = 2\ \text{h}\ 70$. Puis $2\ \text{h}\ 70 - 1\ \text{h}\ 40 = 1\ \text{h}\ 30\ \text{min}$.
Attention ! Si la somme des minutes dépasse $60$, on convertit le « surplus » en heures : $80\ \text{min} = 1\ \text{h}\ 20\ \text{min}$.
★À retenir
En bref :
• Masses : tableau de conversion, on multiplie ou divise par $10$ d'une colonne à la voisine. $1\ \text{kg} = 1\,000\ \text{g}$, $1\ \text{t} = 1\,000\ \text{kg}$.
• Durées : système sexagésimal, on multiplie ou divise par $\mathbf{60}$. $1\ \text{h} = 60\ \text{min}$, $1\ \text{min} = 60\ \text{s}$, $1\ \text{h} = 3\,600\ \text{s}$.
• Piège : $0{,}5\ \text{h} = 30\ \text{min}$ (et pas $50\ \text{min}$).
• Durée entre deux horaires : on soustrait, en empruntant $1\ \text{h} = 60\ \text{min}$ si besoin.
• On ne compare ou n'additionne que des grandeurs dans la même unité.