À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « Aires, volumes et capacités » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Aire, périmètre, volume : ne pas confondre, Mesurer une aire et ses unités, Aires du carré et du rectangle, Aire du triangle rectangle et du triangle. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Aire, périmètre, volume : ne pas confondre
2 · Mesurer une aire et ses unités
3 · Aires du carré et du rectangle
4 · Aire du triangle rectangle et du triangle
5 · Volume du pavé droit et du cube
6 · Les capacités et le lien avec les volumes
7 · Convertir les aires, volumes et capacités
1Aire, périmètre, volume : ne pas confondre
Devant une figure, on peut mesurer trois choses très différentes. Il ne faut surtout pas les mélanger !
Définitions.
• Le périmètre est la longueur du contour d'une figure. On l'exprime en unités de longueur ($\text{cm}$, $\text{m}$...).
• L'aire est la mesure de la surface (la place « à l'intérieur »). On l'exprime en unités d'aire ($\text{cm}^2$, $\text{m}^2$...).
• Le volume est la place occupée par un solide dans l'espace. On l'exprime en unités de volume ($\text{cm}^3$, $\text{m}^3$...).
Exemple. Pour une cour de récréation : le périmètre, c'est la longueur de la clôture autour ; l'aire, c'est la surface de bitume à recouvrir ; et si on voulait remplir un bassin, on parlerait de volume.
Attention ! L'unité te renseigne tout de suite : un résultat en $\text{cm}$ est une longueur, en $\text{cm}^2$ une aire, en $\text{cm}^3$ un volume. Si tu trouves $30\ \text{cm}^2$ pour un volume, c'est qu'il y a une erreur !
2Mesurer une aire et ses unités
Mesurer une aire, c'est compter combien de petits carrés-unités remplissent la surface. Si l'unité est le centimètre carré ($\text{cm}^2$), on compte combien de carrés de $1\ \text{cm}$ de côté tiennent à l'intérieur.
Définition. Le centimètre carré, noté $1\ \text{cm}^2$, est l'aire d'un carré de $1\ \text{cm}$ de côté. De même, $1\ \text{m}^2$ est l'aire d'un carré de $1\ \text{m}$ de côté.
Exemple. Un rectangle quadrillé en carreaux de $1\ \text{cm}$ contient $3$ rangées de $5$ carreaux : il y a $3 \times 5 = 15$ carreaux, donc son aire est de $15\ \text{cm}^2$.
| Unité d'aire | Sert à mesurer… |
|---|
| $\text{mm}^2$ | un timbre, un ongle |
| $\text{cm}^2$ | une feuille, une carte |
| $\text{m}^2$ | une pièce, un terrain |
| $\text{km}^2$ | une ville, un pays |
Astuce. Le petit $2$ en exposant ($\text{cm}^2$) rappelle qu'une aire vient toujours de deux longueurs multipliées (longueur $\times$ largeur).
3Aires du carré et du rectangle
Ce sont les deux formules de base à connaître par cœur.
Règle (rectangle). L'aire d'un rectangle est : $\mathcal{A} = L \times l$, où $L$ est la longueur et $l$ la largeur.
Règle (carré). Un carré de côté $c$ a pour aire : $\mathcal{A} = c \times c = c^2$.
Exemple (rectangle). Un rectangle mesure $L = 7\ \text{cm}$ et $l = 4\ \text{cm}$.
$\mathcal{A} = 7 \times 4 = 28\ \text{cm}^2$.
Exemple (carré). Un carré de côté $5\ \text{cm}$ a pour aire :
$\mathcal{A} = 5 \times 5 = 25\ \text{cm}^2$.
Attention aux unités ! Les deux longueurs doivent être dans la même unité avant de multiplier. Pour un rectangle de $2\ \text{m}$ sur $30\ \text{cm}$, on convertit d'abord : $30\ \text{cm} = 0{,}3\ \text{m}$, puis $\mathcal{A} = 2 \times 0{,}3 = 0{,}6\ \text{m}^2$.
4Aire du triangle rectangle et du triangle
Un triangle, c'est en quelque sorte la moitié d'un rectangle : c'est pourquoi sa formule contient une division par $2$.
Règle. L'aire d'un triangle est : $\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2}$, où $b$ est la longueur d'un côté (la base) et $h$ la hauteur correspondante (perpendiculaire à cette base).
Exemple (triangle rectangle). Les deux côtés de l'angle droit mesurent $6\ \text{cm}$ et $4\ \text{cm}$. Ils jouent le rôle de base et de hauteur.
$\mathcal{A} = \dfrac{6 \times 4}{2} = \dfrac{24}{2} = 12\ \text{cm}^2$.
Attention ! La hauteur $h$ n'est pas n'importe quelle longueur : c'est la distance entre la base et le sommet opposé, mesurée perpendiculairement à la base. On n'oublie jamais de diviser par $2$.
5Volume du pavé droit et du cube
Un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) est un solide en forme de boîte. Pour calculer son volume, on multiplie ses trois dimensions.
Règle (pavé droit). Le volume d'un pavé droit est : $V = L \times l \times h$ (longueur $\times$ largeur $\times$ hauteur).
Règle (cube). Un cube d'arête $a$ a pour volume : $V = a \times a \times a = a^3$.
Exemple (pavé). Une boîte mesure $L = 8\ \text{cm}$, $l = 3\ \text{cm}$, $h = 2\ \text{cm}$.
$V = 8 \times 3 \times 2 = 48\ \text{cm}^3$.
Exemple (cube). Un cube d'arête $4\ \text{cm}$ a pour volume :
$V = 4 \times 4 \times 4 = 64\ \text{cm}^3$.
Astuce. Le petit $3$ en exposant ($\text{cm}^3$) rappelle qu'un volume vient de trois longueurs multipliées. Les trois dimensions doivent être dans la même unité avant de multiplier.
6Les capacités et le lien avec les volumes
La capacité (ou contenance) mesure ce qu'un récipient peut contenir : on l'exprime en litres ($\text{L}$) et ses sous-multiples. C'est très proche du volume.
Règle (lien fondamental). $1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3$, et donc :
$1\ \text{L} = 1000\ \text{cm}^3 \qquad ; \qquad 1\ \text{mL} = 1\ \text{cm}^3$.
Exemple. Un aquarium-pavé mesure $20\ \text{cm} \times 10\ \text{cm} \times 10\ \text{cm}$.
Volume : $V = 20 \times 10 \times 10 = 2000\ \text{cm}^3$.
Capacité : $2000\ \text{cm}^3 = 2000\ \text{mL} = 2\ \text{L}$.
| Capacité | Volume équivalent |
|---|
| $1\ \text{L}$ | $1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3$ |
| $1\ \text{cL}$ | $10\ \text{cm}^3$ |
| $1\ \text{mL}$ | $1\ \text{cm}^3$ |
| $1\ \text{kL}$ | $1\ \text{m}^3$ |
Astuce. Une brique de jus de $1\ \text{L}$ occupe exactement $1\ \text{dm}^3$, c'est-à-dire un cube de $10\ \text{cm}$ d'arête.
7Convertir les aires, volumes et capacités
Pour convertir, on utilise des tableaux où chaque colonne représente une unité. La différence avec les longueurs : pour les aires il y a 2 colonnes par unité, et pour les volumes 3 colonnes par unité.
Règle.
• Aires : $1\ \text{m}^2 = 100\ \text{dm}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$ (on multiplie ou divise par $100$ à chaque rang).
• Volumes : $1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{dm}^3 = 1\,000\,000\ \text{cm}^3$ (par $1000$ à chaque rang).
Exemple. Convertir $3\ \text{m}^2$ en $\text{cm}^2$ : $3 \times 10\,000 = 30\,000\ \text{cm}^2$.
Convertir $5000\ \text{cm}^3$ en litres : $5000\ \text{cm}^3 = 5\ \text{dm}^3 = 5\ \text{L}$.
Attention ! Une erreur fréquente est de faire « fois $10$ » comme pour les longueurs. Pour les aires c'est « fois $100$ », et pour les volumes « fois $1000$ » à chaque changement d'unité.
★À retenir
À retenir :
• Périmètre (contour, en cm), aire (surface, en cm²), volume (espace, en cm³) : ne pas confondre.
• Rectangle : $\mathcal{A} = L \times l$ ; carré : $\mathcal{A} = c^2$.
• Triangle : $\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2}$.
• Pavé droit : $V = L \times l \times h$ ; cube : $V = a^3$.
• Capacités : $1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3$ et $1\ \text{mL} = 1\ \text{cm}^3$.
• Conversions : aires $\times 100$, volumes $\times 1000$ à chaque rang ; toujours la même unité avant de multiplier.