Collège · 6ᵉ · Mathématiques
Aires, volumes et capacités
Mesurer des surfaces, des volumes et des contenances en 6e (programme de 6e)
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « Aires, volumes et capacités » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Périmètre, aire, volume : ne pas confondre, Aire du carré et du rectangle, Unités d'aire et conversions, Volume du cube et du pavé droit. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
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Périmètre, aire, volume : ne pas confondre
Ces trois mots reviennent souvent en maths, mais ils mesurent des choses très différentes. Il faut apprendre à les distinguer avant même de calculer quoi que ce soit.
| Grandeur | Elle mesure… | Unité |
|---|---|---|
| Périmètre | le tour, le contour d'une figure | cm, m… (unité simple) |
| Aire | la surface, ce qui est à l'intérieur | cm², m²… (unité au carré) |
| Volume | la place occupée dans l'espace par un solide | cm³, m³… (unité au cube) |
Attention ! Un rectangle peut avoir un grand périmètre et une petite aire (une bande très longue et très fine), ou l'inverse. Les deux grandeurs ne sont pas liées par une formule simple : il faut toujours les calculer séparément, chacune avec sa formule.
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Aire du carré et du rectangle
L'aire d'une figure, c'est la mesure de sa surface : combien de petits carrés d'un centimètre de côté (par exemple) rentrent dedans.
Formules. Pour un rectangle de longueur $L$ et de largeur $l$ : $\mathcal{A} = L \times l$.
Pour un carré de côté $c$ : $\mathcal{A} = c \times c = c^2$.
Pour un carré de côté $c$ : $\mathcal{A} = c \times c = c^2$.
Exemple. Un rectangle mesure $7$ cm sur $4$ cm. Son aire est $\mathcal{A} = 7 \times 4 = 28$ cm². Un carré de côté $5$ cm a pour aire $\mathcal{A} = 5 \times 5 = 25$ cm².
Astuce. Le résultat d'une aire se donne toujours avec une unité au carré (cm², m²…), jamais une unité simple : c'est ce qui la distingue tout de suite d'un périmètre dans un énoncé.
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Unités d'aire et conversions
Comme pour les longueurs, il existe plusieurs unités d'aire, utiles selon la taille de la surface mesurée : un timbre, une chambre, un champ…
Règle. Entre deux unités d'aire consécutives (km² → ha → a → ca=m² → dm² → cm² → mm²), on multiplie ou on divise par 100 (et non par $10$ comme pour les longueurs), car une unité d'aire est un carré : $10 \times 10 = 100$.
| m² | dm² | cm² | mm² |
|---|---|---|---|
| $1$ | $100$ | $10\,000$ | $1\,000\,000$ |
Exemple. $3$ m² $= 3 \times 100 = 300$ dm² $= 30\,000$ cm². Et $5\,000$ cm² $= 5\,000 \div 10\,000 = 0{,}5$ m².
Attention ! L'erreur la plus fréquente est de multiplier par $10$ au lieu de $100$ en passant d'une unité d'aire à l'unité inférieure. Pense toujours : « unité au carré → facteur $100$ ».
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Volume du cube et du pavé droit
Le volume mesure la place occupée par un solide dans l'espace : combien de petits cubes d'un centimètre de côté rentrent dedans.
Formules. Pour un pavé droit de longueur $L$, largeur $l$ et hauteur $h$ : $\mathcal{V} = L \times l \times h$.
Pour un cube d'arête $a$ : $\mathcal{V} = a \times a \times a = a^3$.
Pour un cube d'arête $a$ : $\mathcal{V} = a \times a \times a = a^3$.
Exemple. Un pavé droit mesure $6$ cm de long, $4$ cm de large et $3$ cm de haut. Son volume est $\mathcal{V} = 6 \times 4 \times 3 = 72$ cm³. Un cube d'arête $5$ cm a pour volume $\mathcal{V} = 5^3 = 125$ cm³.
Attention ! Le volume d'un pavé droit utilise trois dimensions ($L \times l \times h$), pas seulement deux comme pour une aire. Oublier la hauteur est l'erreur la plus fréquente.
5
Unités de volume et conversions
Comme pour les aires, les unités de volume s'enchaînent, mais avec un facteur encore plus grand entre deux unités consécutives.
Règle. Entre deux unités de volume consécutives (m³ → dm³ → cm³ → mm³), on multiplie ou on divise par 1000, car une unité de volume est un cube : $10 \times 10 \times 10 = 1000$.
| m³ | dm³ | cm³ | mm³ |
|---|---|---|---|
| $1$ | $1\,000$ | $1\,000\,000$ | $1\,000\,000\,000$ |
Exemple. $2$ m³ $= 2 \times 1\,000 = 2\,000$ dm³. Et $5\,000$ cm³ $= 5\,000 \div 1\,000 = 5$ dm³.
Astuce. Pour ne pas te tromper de facteur (10, 100 ou 1000), pense toujours à la puissance : longueur $\to$ pas de puissance ($\times 10$), aire $\to$ carré ($\times 100$), volume $\to$ cube ($\times 1000$).
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Volume et capacité : le lien avec les litres
Un volume peut aussi s'exprimer en litres, l'unité des capacités (ce qu'un récipient peut contenir).
Règle. $1$ dm³ $= 1$ L, et $1$ cm³ $= 1$ mL. On peut donc passer d'un volume en cm³/dm³/m³ à une capacité en L sans calcul supplémentaire, juste en changeant de nom d'unité.
Exemple. Un aquarium a un volume de $45$ dm³. Il peut donc contenir $45$ L d'eau. Une petite boîte de $250$ cm³ contient $250$ mL de liquide, soit $0{,}25$ L.
Attention ! Il faut d'abord convertir le volume dans la bonne unité (dm³ ou cm³) avant de lire la capacité en litres. Un volume de $3$ m³ n'est pas « $3$ L » : il faut d'abord le convertir en dm³ ($3\,000$ dm³), ce qui donne $3\,000$ L.
À retenir
- Périmètre (cm), aire (cm²), volume (cm³) : trois grandeurs différentes, jamais interchangeables.
- Aire du rectangle : $\mathcal{A} = L \times l$ ; aire du carré : $\mathcal{A} = c^2$.
- Conversions d'aire : facteur $100$ entre unités consécutives (m² ↔ dm² ↔ cm²…).
- Volume du pavé droit : $\mathcal{V} = L \times l \times h$ ; volume du cube : $\mathcal{V} = a^3$.
- Conversions de volume : facteur $1000$ entre unités consécutives.
- $1$ dm³ $= 1$ L et $1$ cm³ $= 1$ mL.
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