Ce cours de mathématiques en sixième sur « Aires, volumes et capacités » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'une aire ?, Les unités d'aire (cm², m², km²), Aire du rectangle et du carré, Aire du triangle rectangle. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Qu'est-ce qu'une aire ?
2 · Les unités d'aire (cm², m², km²)
3 · Aire du rectangle et du carré
4 · Aire du triangle rectangle
5 · Périmètre OU aire : ne pas confondre
6 · Convertir les unités d'aire
7 · La notion de volume
8 · Les capacités (L, mL, cL) et le lien avec le volume
9 · Résoudre un problème pas-à-pas
1Qu'est-ce qu'une aire ?
L'aire d'une figure, c'est la mesure de sa surface : la « place » qu'elle occupe à plat, comme la quantité de peinture qu'il faudrait pour la recouvrir entièrement.
Définition. L'aire mesure une surface (une étendue plate). Le périmètre, lui, mesure le tour de la figure (une longueur). Ce sont deux choses différentes !
Pour mesurer une aire, on choisit une unité : un petit carré (un « carreau ») de référence. L'aire est alors le nombre de carreaux qui recouvrent la figure.
Sur ce dessin, on compte 24 carreaux : l'aire de la figure vaut donc 24 carreaux. Si chaque carreau était un carré de 1 cm de côté, on dirait que l'aire vaut 24 cm².
💡 Pour comparer deux aires, on peut superposer les figures par la pensée ou compter leurs carreaux : celle qui en a le plus a la plus grande aire, même si elle a une forme différente.
2Les unités d'aire (cm², m², km²)
Quand le carreau de référence est un carré de 1 cm de côté, on parle de centimètre carré, noté cm². Le petit « 2 » se lit « carré ».
1 cm² = aire d'un carré de 1 cm sur 1 cm. 1 m² = aire d'un carré de 1 m sur 1 m. 1 km² = aire d'un carré de 1 km sur 1 km.
On choisit l'unité selon ce qu'on mesure :
Unité
On l'utilise pour…
Exemple
mm²
de toutes petites surfaces
une tête d'épingle
cm²
une feuille, un timbre
un Post-it ≈ 50 cm²
m²
une pièce, un terrain
une chambre ≈ 12 m²
km²
une ville, un pays
Marseille ≈ 240 km²
⚠️ Ne confonds pas cm (une longueur, le tour) et cm² (une aire, la surface). Une aire se mesure toujours avec une unité « carrée ».
3Aire du rectangle et du carré
Dans un rectangle quadrillé, les carreaux sont rangés en lignes et en colonnes. Plutôt que de tous les compter un par un, on multiplie le nombre de colonnes par le nombre de lignes.
Aire d'un rectangle = Longueur × largeur
A = L × l
Exemple. Un rectangle de L = 5 cm et l = 3 cm : A = 5 × 3 = 15 cm².
Le carré : un rectangle aux 4 côtés égaux
Dans un carré, la longueur et la largeur sont identiques : on les appelle le côté (noté c). On multiplie donc le côté par lui-même.
Aire d'un carré = côté × côté
A = c × c
Exemple. Un carré de côté 4 cm : A = 4 × 4 = 16 cm².
💡 Méthode pas-à-pas : 1) repère la longueur et la largeur ; 2) vérifie qu'elles sont dans la même unité ; 3) multiplie ; 4) écris le résultat avec l'unité au carré (cm², m²…).
⚠️ L et l doivent être dans la même unité avant de multiplier ! Pour un rectangle de 2 m sur 50 cm, convertis d'abord : 50 cm = 0,5 m, puis A = 2 × 0,5 = 1 m².
4Aire du triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (un coin « carré »). Les deux côtés qui forment cet angle droit sont la base et la hauteur.
L'astuce : un triangle rectangle est exactement la moitié d'un rectangle coupé en diagonale. Son aire est donc la moitié de celle du rectangle.
Aire d'un triangle rectangle = (base × hauteur) ÷ 2
A = base × hauteur2
Exemple. Base = 8 cm, hauteur = 5 cm. A = (8 × 5) ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20 cm².
💡 Calcule d'abord base × hauteur (l'aire du rectangle entier), puis divise par 2. Le triangle, c'est toujours la moitié.
5Périmètre OU aire : ne pas confondre
C'est l'erreur la plus fréquente. Retenons bien la différence :
Périmètre
Aire
Ce qu'on mesure
le tour (longueur)
la surface (étendue)
Image
la clôture d'un terrain
la pelouse du terrain
Unité
cm, m, km
cm², m², km²
Rectangle
2 × (L + l)
L × l
Exemple. Rectangle L = 5 cm, l = 3 cm. Périmètre = 2 × (5 + 3) = 2 × 8 = 16 cm. Aire = 5 × 3 = 15 cm². Même figure, deux résultats différents, deux unités différentes !
⚠️ Deux figures peuvent avoir le même périmètre mais des aires différentes (et inversement). Avoir un grand tour ne veut pas dire avoir une grande surface.
6Convertir les unités d'aire
Pour les longueurs, on passe d'une unité à la voisine en multipliant ou divisant par 10. Pour les aires, comme l'unité est « carrée », on multiplie ou divise par 100 à chaque rang !
À retenir. Entre deux unités d'aire voisines, le rapport est 100 (et non 10). 1 cm² = 100 mm² · 1 dm² = 100 cm² · 1 m² = 100 dm² · 1 m² = 10 000 cm².
On utilise un tableau de conversion avec deux colonnes par unité :
km²
hm²
dam²
m²
dm²
cm²
mm²
3
2
5
0
Le nombre ci-dessus se lit 3,25 m² = 325 dm² : chaque unité occupe 2 cases, et la virgule se place juste après les deux cases de l'unité choisie.
Exemples. 5 m² = 50 000 cm² (on descend de 2 rangs → × 100 × 100). 700 cm² = 7 dm² (on monte d'un rang → ÷ 100). 2,4 m² = 240 dm².
💡 Méthode sûre : écris le chiffre des unités dans la 2ᵉ case de son unité (la case « unités » de chaque paire), puis remplis les cases vides avec des 0 jusqu'à l'unité voulue.
7La notion de volume
L'aire mesure une surface plate. Le volume, lui, mesure la place occupée dans l'espace par un solide : la quantité de « remplissage » qu'il contient.
Définition. Le volume est le nombre de petits cubes (cubes-unités) qui remplissent entièrement un solide. L'unité est le cube de 1 cm de côté : le centimètre cube, noté cm³ (le « 3 » se lit « cube »).
Un pavé droit (ou « parallélépipède rectangle ») est une boîte aux faces rectangulaires, comme une brique ou une boîte à chaussures. On range les cubes en couches.
Volume d'un pavé droit = Longueur × largeur × hauteur
V = L × l × h
Exemple. Pavé de L = 4 cm, l = 2 cm, h = 3 cm : V = 4 × 2 × 3 = 24 cm³.
Le cube : toutes les arêtes égales
Volume d'un cube de côté c = c × c × c.
Exemple. Cube de côté 5 cm : V = 5 × 5 × 5 = 125 cm³.
⚠️ Trois grandeurs à ne pas mélanger : longueur (cm), aire (cm²), volume (cm³). Comme pour les aires, les trois dimensions doivent être dans la même unité avant de multiplier.
8Les capacités (L, mL, cL) et le lien avec le volume
La capacité, c'est la quantité de liquide qu'un récipient peut contenir : une bouteille, un verre, un seau… L'unité principale est le litre, noté L.
Unité
Symbole
Égalité
litre
L
1 L
décilitre
dL
1 L = 10 dL
centilitre
cL
1 L = 100 cL
millilitre
mL
1 L = 1000 mL
Pour les capacités, on revient au rapport 10 entre deux unités voisines (comme pour les longueurs).
Exemples. 1 canette = 33 cL = 330 mL. 1 briquette de jus = 20 cL = 0,2 L. 2,5 L = 250 cL = 2500 mL.
Le lien magique : capacité et volume
À retenir absolument :
1 L = 1 dm³ · 1 mL = 1 cm³ · 1000 L = 1 m³
Autrement dit, un cube de 1 dm de côté (10 cm) contient exactement 1 litre d'eau. Et un petit cube de 1 cm de côté contient 1 millilitre.
Exemple. Un aquarium en forme de pavé mesure 20 cm × 10 cm × 30 cm. V = 20 × 10 × 30 = 6000 cm³ = 6000 mL = 6 L d'eau.
💡 Comme 1 cm³ = 1 mL, il suffit de calculer un volume en cm³, puis de remplacer cm³ par mL, et enfin de convertir en litres (÷ 1000).
⚠️ Ne confonds pas dm³ (volume) et L (capacité) : ce sont deux noms pour la même grandeur quand il s'agit de liquides. 1 dm³ « vaut » 1 L.
9Résoudre un problème pas-à-pas
Devant un problème d'aire, de volume ou de capacité, suis toujours la même démarche :
1. Repère ce qu'on cherche : un périmètre ? une aire ? un volume ? une capacité ?
2. Choisis la bonne formule (L × l, c × c, L × l × h…).
3. Mets toutes les mesures dans la même unité.
4. Calcule, puis écris le résultat avec la bonne unité (cm, cm², cm³, L…).
5. Vérifie que le résultat est réaliste.
Exemple complet. Une pièce mesure 5 m sur 4 m. Le carrelage coûte 18 € le m². Aire = 5 × 4 = 20 m². Prix = 20 × 18 = 360 €.
🎓 Récap express : aire = surface (cm², m²) · périmètre = tour (cm, m) · rectangle A = L × l · carré A = c × c · triangle rectangle A = (b × h) ÷ 2 · pavé V = L × l × h · cube V = c × c × c · conversions d'aires : ×100 par rang · capacités : 1 L = 10 dL = 100 cL = 1000 mL · et 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³.