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Équations : x + b = c et ax = c
Reprendre les acquis de 6e (motifs évolutifs et règle directe, suites de nombres, égalités à trou, « je pense à un nombre » résolu par essais, par opérations inverses ou avec un schéma en barres) ; donner à la lettre le statut d’inconnue : équation, membres, solution et test d’un nombre ; résoudre x + b = c et x − b = c par l’opération inverse, avec des entiers, des décimaux ou des relatifs ; résoudre ax = c en divisant, y compris quand la solution est une fraction ; mettre un problème en équation et le résoudre.
À propos de cette page
Rappels de 6e : motifs et nombre inconnu
Avant les équations, on reprend tout ce que la 6e a appris sur les nombres inconnus : prévoir une étape lointaine d’un motif, retrouver le nombre caché d’une égalité à trou ou un nombre pensé. Les méthodes de cette partie (opérations inverses, vérification) sont celles qui servent ensuite à résoudre les équations.
• Étape lointaine : je remplace n par son numéro dans la règle directe.
• Du nombre à l’étape : je défais la règle à l’envers ; si la division ne tombe pas juste, aucune étape ne convient.
Pour retrouver un nombre inconnu (égalité à trou, « je pense à un nombre ») :
• par essais : j’essaie une valeur, je compare au résultat voulu, puis j’ajuste ;
• par opérations inverses : + et − se défont l’un l’autre, × et ÷ aussi ; s’il y a plusieurs opérations, je pars du résultat et je défais la dernière en premier ;
• avec un schéma en barres, quand le problème parle de parts : « de plus » ajoute un morceau, « fois plus » répète la même part.
Je vérifie toujours en remettant le nombre trouvé dans l’énoncé.
Motifs et suites de nombres
| Étape | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Carreaux | 8 | 13 | 18 | 23 |
Les écarts valent 5 ; 5 ; 5 : on ajoute 5 carreaux à chaque étape.
À l’étape 1 : 5 × 1 = 5, et il y a 8 carreaux : le nombre fixe est 3. Règle directe : 5 × n + 3. Contrôle à l’étape 2 : 5 × 2 + 3 = 13 ✓
Étape 60 : 5 × 60 + 3 = 303 carreaux, sans dessiner les 59 premières étapes.
Quelle étape a 173 carreaux ? Je défais la règle à l’envers : 173 − 3 = 170, puis 170 ÷ 5 = 34. C’est l’étape 34. Vérification : 5 × 34 + 3 = 173 ✓
Et 100 carreaux ? 100 − 3 = 97, et 97 ÷ 5 ne tombe pas juste : aucune étape n’a 100 carreaux.
Dans une suite de nombres, on peut aussi retirer toujours le même nombre : 95 ; 88 ; 81 ; 74… (− 7), ou multiplier toujours par le même nombre : 5 ; 15 ; 45 ; 135… (× 3). Dans ce dernier cas, les écarts (10 ; 30 ; 90) ne sont pas égaux : je cherche par combien on multiplie.
Égalités à trou
Une égalité à trou cache un nombre : je le trouve avec l’opération inverse.
27 + □ = 64 : □ = 64 − 27 = 37
□ × 7 = 105 : □ = 105 ÷ 7 = 15
□ ÷ 6 = 9 : □ = 9 × 6 = 54
Quand la case est le nombre par lequel on divise : 84 ÷ □ = 7 donne □ = 84 ÷ 7 = 12. Vérification : 84 ÷ 12 = 7 ✓
Je pense à un nombre
Par essais : 7 × 6 − 5 = 37, trop petit ; 9 × 6 − 5 = 49, trop grand ; 8 × 6 − 5 = 43 ✓
Par opérations inverses : la dernière opération est « − 5 », je la défais en premier : 43 + 5 = 48 ; puis je défais « × 6 » : 48 ÷ 6 = 8.
Vérification : 8 × 6 = 48, puis 48 − 5 = 43 ✓ Le nombre pensé est 8.
Le schéma en barres
Le total, c’est 2 parts d’Inès et 14 € : 50 − 14 = 36, puis 36 ÷ 2 = 18.
Inès a 18 € et Yanis 18 + 14 = 32 €. Vérification : 18 + 32 = 50 ✓
Petit morceau = 1 part, grand morceau = 4 parts : 5 parts égales en tout. 60 ÷ 5 = 12.
Le petit morceau mesure 12 cm et le grand 4 × 12 = 48 cm. Vérification : 12 + 48 = 60 ✓
Réflexe — pour un motif, je calcule les écarts puis le nombre fixe, et je teste la règle sur l’étape 2 ; pour un nombre inconnu, je défais les opérations en partant de la dernière, puis je refais le calcul dans le bon sens pour vérifier.
Attention — pour « × 6 puis − 5 », commencer par 43 ÷ 6 est faux : la dernière opération se défait en premier. Dans un motif, la règle sans le nombre fixe (5 × n) donnerait 5 carreaux à l’étape 1 au lieu de 8. Et « 14 de plus » n’est pas « 14 fois plus ».
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Équation, solution : résoudre x + b = c
Dans la partie 1, le nombre caché d’une égalité à trou était une case. En 5e, on remplace la case par une lettre : x + 8 = 23. Cette égalité s’appelle une équation.
Ce qui est écrit à gauche du signe = est le membre de gauche ; ce qui est écrit à droite est le membre de droite.
Une solution est un nombre qui, mis à la place de l’inconnue, rend l’égalité vraie. Résoudre l’équation, c’est trouver sa solution.
Pour tester un nombre, je le mets à la place de x et je calcule chaque membre : s’ils sont égaux, ce nombre est solution.
Pour x = 15 : membre de gauche 15 + 8 = 23 ; membre de droite 23. Les deux membres sont égaux : 15 est solution.
Pour x = 31 : membre de gauche 31 + 8 = 39 ; membre de droite 23. Ils sont différents (39 ≠ 23) : 31 n’est pas solution.
Résoudre x + b = c et x − b = c
• x + b = c donne x = c − b (retirer b défait « ajouter b ») ;
• x − b = c donne x = c + b (ajouter b défait « retirer b ») ;
• b + x = c se résout comme x + b = c : l’ordre des termes d’une somme ne change rien.
Je termine toujours par la vérification.
| Opération faite sur x | + b | − b |
|---|---|---|
| Opération inverse | − b | + b |
x + 14 = 41 → x = 41 − 14 = 27. Vérification : 27 + 14 = 41 ✓
x − 6 = 19 → x = 19 + 6 = 25. Vérification : 25 − 6 = 19 ✓
9 + x = 30,5 → x = 30,5 − 9 = 21,5. Vérification : 9 + 21,5 = 30,5 ✓
Avec un nombre relatif : x + 11 = 4 → x = 4 − 11 = −7. Vérification : −7 + 11 = 4 ✓
Quand l’inconnue est retirée
Dans 50 − x = 32, on cherche ce qu’il faut retirer à 50 pour obtenir 32 : c’est l’écart entre 50 et 32, donc x = 50 − 32 = 18. Vérification : 50 − 18 = 32 ✓. Ici, on n’ajoute pas : on soustrait encore.
Réflexe — je repère l’opération faite sur x, j’applique l’opération inverse à l’autre membre, puis je remplace x par le nombre trouvé pour vérifier.
Attention — dans x + 8 = 23, ajouter 8 (23 + 8 = 31) ne convient pas : le test a montré que 31 n’est pas solution. On fait l’opération inverse de « + 8 », c’est-à-dire « − 8 » : x = 23 − 8 = 15.
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Résoudre ax = c
Dans une équation, on écrit 3x à la place de 3 × x : le nombre écrit devant la lettre la multiplie (c’est une convention du calcul littéral). Une équation comme 3x = 21 traduit l’opération à trou 3 × □ = 21.
C’est l’autre membre qu’on divise, par le nombre qui multiplie x. L’équation x × a = c se résout de la même façon.
Si la division ne tombe pas juste, la solution exacte s’écrit avec une fraction : c’est le quotient de c par a.
| Opération faite sur x | × a |
|---|---|
| Opération inverse | ÷ a |
7x = 56 → x = 56 ÷ 7 = 8. Vérification : 7 × 8 = 56 ✓
x × 4 = 26 → x = 26 ÷ 4 = 6,5. Vérification : 6,5 × 4 = 26 ✓
Le nombre devant x est décimal : 0,5x = 9 → x = 9 ÷ 0,5 = 90 ÷ 5 = 18. Vérification : 0,5 × 18 = 9 ✓
2,5x = 15 → x = 15 ÷ 2,5 = 150 ÷ 25 = 6. Vérification : 2,5 × 6 = 15 ✓
La division ne tombe pas juste : 3x = 7 → x = , le nombre qui, multiplié par 3, donne 7. Vérification : 3 × = 7 ✓
Dans le dernier exemple, 2,33 n’est qu’une valeur approchée de la solution : 3 × 2,33 donne 6,99 et non 7. La solution exacte est la fraction.
Réflexe — je repère le nombre qui multiplie x et je divise l’autre membre par ce nombre. Pour diviser par un décimal, je multiplie d’abord les deux nombres par 10 ou par 100.
Attention — dans 7x = 56, on ne retire pas 7 : 56 − 7 = 49 ne convient pas, car 7 × 49 dépasse largement 56. Et on divise l’autre membre par le nombre devant x, pas l’inverse : 5x = 2 donne x = 2 ÷ 5 = 0,4 (et non 5 ÷ 2 = 2,5).
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Mettre un problème en équation
Une équation sert à résoudre un problème : on appelle x (ou une autre lettre) le nombre cherché, on écrit l’égalité que dit l’énoncé, puis on la résout comme dans les parties 2 et 3. Un « je pense à un nombre » de la partie 1 se traduit de la même façon.
2. Je traduis l’énoncé par une équation.
3. Je résous l’équation.
4. Je vérifie avec les données de l’énoncé.
5. Je réponds à la question par une phrase, avec l’unité.
| L’énoncé dit… | Équation |
|---|---|
| de plus, ajouter, recevoir, gagner, dans … ans, augmenté de | x + b = c |
| de moins, retirer, dépenser, perdre, il y a … ans, diminué de | x − b = c |
| identiques, chacun, le même nombre, le double, le triple, le périmètre d’un carré | ax = c |
« Dans 13 ans, Malik aura 27 ans. Quel âge a-t-il ? » Soit x l’âge de Malik : x + 13 = 27, d’où x = 27 − 13 = 14. Vérification : 14 + 13 = 27 ✓ Malik a 14 ans.
« 6 places de concert identiques coûtent 147 €. » Soit x le prix d’une place : 6x = 147, d’où x = 147 ÷ 6 = 24,5. Vérification : 6 × 24,5 = 147 ✓ Une place coûte 24,50 €.
« Zoé dépense 8,40 € ; il lui reste 11,60 €. Combien avait-elle ? » Soit x la somme de départ : x − 8,4 = 11,6, d’où x = 11,6 + 8,4 = 20. Vérification : 20 − 8,4 = 11,6 ✓ Zoé avait 20 €.
« Un carré a un périmètre de 34 cm. » Soit c la longueur du côté : 4c = 34, d’où c = 34 ÷ 4 = 8,5. Vérification : 4 × 8,5 = 34 ✓ Le côté mesure 8,5 cm.
Réflexe — avant de calculer, je relis l’énoncé en remplaçant le nombre cherché par x : si la phrase dit la même chose que mon équation, l’équation est juste.
Attention — je vérifie dans l’énoncé, pas seulement dans mon équation : une équation mal écrite a quand même une solution qui la vérifie. Et une solution impossible, comme 12,5 élèves ou un âge négatif, signale une erreur de mise en équation ou de calcul.
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Pour aller plus loin
Avant ce chapitre — les conventions d’écriture (3x = 3 × x), calculer la valeur d’une expression et tester une égalité entre deux expressions : voir Calcul littéral : produire et calculer une expression. Traduire un programme de calcul par une seule expression, avec les priorités et les parenthèses : voir Enchaînements d’opérations et priorités. Pour les équations avec des nombres relatifs, comme x + 11 = 4 : voir Relatifs : additionner et soustraire ; pour celles avec un décimal devant x, comme 0,5x = 9 : voir Opérations : diviser par un nombre décimal.
Un peu d’histoire — Al-Khwarizmi, savant de Bagdad mort vers 850, résolvait les problèmes en cherchant « la chose » inconnue. Dans son traité, l’« al-jabr » (la « restauration ») consiste à ajouter un même nombre aux deux membres pour faire disparaître une soustraction, comme quand on passe de x − 6 = 19 à x = 19 + 6 ; l’« al-hatt » ramène à 1 le nombre qui multiplie l’inconnue, comme quand on divise par 3 les deux membres de 3x = 21. Le mot « al-jabr », repris en Europe, est devenu notre mot « algèbre ».
À savoir — une équation à deux opérations, comme 3x + 5 = 26, se résout déjà par opérations inverses, comme un « je pense à un nombre » de la partie 1 : 26 − 5 = 21, puis 21 ÷ 3 = 7. La méthode qui agit sur les deux membres de l’équation se verra en 4e.
- Rappels de 6e : règle directe d’un motif « écart × n + nombre fixe » ; pour un nombre inconnu, je défais les opérations en commençant par la dernière ; schéma en barres pour les parts.
- Une équation est une égalité qui contient une inconnue ; une solution est un nombre qui rend l’égalité vraie.
- Tester un nombre : je le mets à la place de l’inconnue et je calcule chaque membre ; s’ils sont égaux, c’est une solution.
- x + b = c donne x = c − b ; x − b = c donne x = c + b : j’applique l’opération inverse, puis je vérifie.
- ax = c (a différent de 0) donne x = c ÷ a ; si la division ne tombe pas juste, la solution exacte est une fraction (3x = 7 donne x = 7/3).
- Problème : je choisis l’inconnue, j’écris l’équation, je la résous, je vérifie dans l’énoncé et je réponds par une phrase avec l’unité.
Questions fréquentes
Comment retrouver un nombre pensé ou l’étape d’un motif ?
On défait les opérations dans l’ordre inverse, en commençant par la dernière. « Je pense à un nombre, je le multiplie par 6, je retire 5 et j’obtiens 43 » : 43 + 5 = 48, puis 48 ÷ 6 = 8. Pour un motif de règle directe 5 × n + 3, l’étape qui a 173 carreaux est l’étape 34, car 173 − 3 = 170 et 170 ÷ 5 = 34.
Qu’est-ce qu’une équation et comment tester un nombre ?
Une équation est une égalité qui contient une lettre, l’inconnue, qui désigne un nombre qu’on cherche, comme x + 8 = 23. Pour tester un nombre, on le met à la place de l’inconnue et on calcule chaque membre : 15 est solution, car 15 + 8 = 23 ; 31 ne l’est pas, car 31 + 8 donne 39, et non 23.
Comment résoudre x + b = c ?
On fait l’opération inverse de « ajouter b » : on retire b de c, donc x = c − b. Pour x + 14 = 41, x = 41 − 14 = 27. Pour x − 6 = 19, on fait l’inverse de « retirer 6 » : x = 19 + 6 = 25. On vérifie toujours en remplaçant x par le nombre trouvé.
Comment résoudre ax = c ?
On fait l’opération inverse de « multiplier par a » : on divise c par a, donc x = c ÷ a (a n’est pas nul). Pour 7x = 56, x = 56 ÷ 7 = 8. Si la division ne tombe pas juste, la solution exacte est une fraction : 3x = 7 donne x = 7/3.
Comment mettre un problème en équation ?
On choisit l’inconnue (« soit x le prix d’une place »), on écrit l’égalité que dit l’énoncé, on la résout, on vérifie avec les données de l’énoncé et on répond par une phrase. Par exemple, « dans 13 ans, Malik aura 27 ans » s’écrit x + 13 = 27, donc Malik a 14 ans.
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