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Calcul littéral : développer, factoriser, réduire
Reconnaître si une expression littérale est une somme ou un produit, développer k(a + b) et k(a − b), factoriser une expression simple avec un facteur commun, réduire une expression en regroupant les termes en x et les nombres, développer puis réduire ; problèmes et programmes de calcul.
À propos de cette page
Somme ou produit ? Développer k(a + b)
Rappel : avec des nombres, la distributivité simple permet d’écrire 4 × (10 + 2) = 4 × 10 + 4 × 2 (voir Opérations : la distributivité simple). Une lettre désigne un nombre : la même règle s’applique donc aux expressions littérales. Avant de l’utiliser, il faut savoir si l’expression est une somme ou un produit.
1. Somme ou produit ?
on termine par une addition : c’est une somme ; par une soustraction : une différence ; par une multiplication : un produit.
Le signe × caché compte : 4x = 4 × x est un produit.
4(x + 1) : on calcule d’abord x + 1, puis on multiplie par 4. C’est un produit, de facteurs 4 et (x + 1).
4x + 1 : on calcule d’abord 4x, puis on ajoute 1. C’est une somme, de termes 4x et 1.
2y − 7 est une différence ; 5ab = 5 × a × b est un produit.
Pourquoi c’est utile : on développe un produit (ci-dessous), on factorise une somme (partie 2).
2. Développer k(a + b)
k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb
Le facteur k multiplie chaque terme de la parenthèse. Transformer ainsi un produit en somme (ou en différence), c’est développer.
Quand un terme contient déjà un nombre, on multiplie les nombres entre eux : 5 × 2x = 10x, car 5 × 2 × x = 10 × x.
Pourquoi ça marche ? Le grand rectangle ci-dessous mesure 3 sur x + 5 : son aire est 3(x + 5). C’est aussi la somme des aires des deux petits rectangles : 3 × x + 3 × 5 = 3x + 15. Donc 3(x + 5) = 3x + 15, quelle que soit la longueur x.
2(x + 9) = 2 × x + 2 × 9 = 2x + 18
5(2x − 4) = 5 × 2x − 5 × 4 = 10x − 20
Avec deux lettres : 7(a + b) = 7 × a + 7 × b = 7a + 7b
Parenthèse écrite en premier : (y − 6) × 3 = y × 3 − 6 × 3 = 3y − 18
Avec un décimal : 1,5(x + 4) = 1,5 × x + 1,5 × 4 = 1,5x + 6
Réflexe — je trace une flèche du facteur vers chaque terme de la parenthèse, et j’écris tous les produits avant de calculer : autant de termes, autant de produits.
Attention — 8(x + 3) = 8x + 24, et non 8x + 3 : le facteur multiplie les deux termes. Et 5 × 2x vaut 10x, pas 52x : on multiplie 5 par 2.
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Factoriser une expression simple
La règle de la partie 1 se lit aussi de droite à gauche. Quand les termes d’une somme ont un facteur en commun, on peut ne l’écrire qu’une seule fois, devant une parenthèse.
ka + kb = k(a + b) et ka − kb = k(a − b)
Le nombre k, présent dans chaque terme, est le facteur commun. Transformer ainsi une somme (ou une différence) en produit, c’est factoriser.
Méthode : 1. j’écris chaque terme comme un produit qui fait apparaître le facteur commun ; 2. j’écris ce facteur devant une parenthèse, et dans la parenthèse ce qui reste de chaque terme, avec le même signe ; 3. je vérifie en développant.
5x + 15 = 5 × x + 5 × 3 = 5(x + 3) (facteur commun : 5)
6a − 6b = 6 × a − 6 × b = 6(a − b) (facteur commun : 6)
12x − 8 = 4 × 3x − 4 × 2 = 4(3x − 2) (les tables de multiplication aident : 4 divise 12 et 8)
Facteur commun caché : 4x + 4 = 4 × x + 4 × 1 = 4(x + 1)
Le facteur commun peut être une lettre : ab + 5a = a × b + a × 5 = a(b + 5)
Développer ou factoriser ?
| Je pars de… | J’obtiens… | J’ai… |
|---|---|---|
| un produit : 2(x + 9) | une somme : 2x + 18 | développé |
| une somme : 2x + 18 | un produit : 2(x + 9) | factorisé |
Les deux formes sont égales pour toutes les valeurs de x : on choisit celle qui est la plus pratique pour la suite.
Réflexe — je cherche un nombre qui divise tous les coefficients et tous les nombres seuls (les tables de multiplication m’aident), je factorise, puis je redéveloppe de tête pour vérifier : 4(3x − 2) redonne bien 12x − 8.
Attention — dans 4x + 4, ce qui reste du second terme est 1, pas 0, car 4 = 4 × 1 : 4x + 4 = 4(x + 1). Et dans 3x + 5, aucun nombre entier autre que 1 n’est dans les deux termes : on ne peut pas factoriser ainsi.
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Réduire une expression
Pour ajouter des termes en x, on ajoute leurs coefficients (le nombre écrit devant la lettre) : c’est une factorisation par x, 3x + 2x = (3 + 2)x = 5x.
Un terme en x et un nombre seul ne s’ajoutent pas : 3x + 2 est déjà réduite.
3x + 2x = 5x (comme 3 pommes et 2 pommes font 5 pommes) · 7x − 4x = 3x
x + x = 1x + 1x = 2x · 6y − 6y = 0y = 0
Avec des décimaux : 0,7y + 1,6y = 2,3y
4x + 3 + 2x + 5 = 6x + 8 (les x : 4x + 2x = 6x ; les nombres : 3 + 5 = 8)
2a + 3 + 4a = 6a + 3 (le nombre 3 reste seul)
Développer, puis réduire
Après un développement, on réduit presque toujours : on développe chaque produit, puis on regroupe les termes semblables.
2(x + 3) + 4x = 2x + 6 + 4x = 6x + 6
4(x + 2) + 3(x − 1) = 4x + 8 + 3x − 3 = 7x + 5
Démontrer avec le calcul littéral
Des essais avec quelques nombres ne prouvent rien pour tous les nombres. Une expression littérale, si : la lettre représente n’importe quel nombre.
Programme : « Choisis un nombre, ajoute 5, multiplie le résultat par 4, puis retire 20. » Avec x : 4(x + 5) − 20 = 4x + 20 − 20 = 4x. Quel que soit le nombre choisi, le résultat est son quadruple.
Réflexe — avant de regrouper, je souligne les termes en x d’une couleur et les nombres d’une autre ; à la fin, je vérifie que chaque terme a été pris une fois, avec son signe.
Attention — 3x + 2 ne vaut pas 5x : un terme en x et un nombre seul ne sont pas de même nature. Et x + x = 2x, alors que x × x = x² : il ne faut pas confondre l’addition et la multiplication.
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Pour aller plus loin
Avant ce chapitre — écrire 3x pour 3 × x, remplacer une lettre par un nombre et tester une égalité : voir Calcul littéral : produire et calculer une expression. La distributivité avec des nombres seulement, et le calcul astucieux comme 12 × 99 : voir Opérations : la distributivité simple.
Ensuite — trouver la valeur d’une lettre inconnue en résolvant une équation comme x + 7 = 12 ou 3x = 18 : voir Équations : x + b = c et ax = c.
Se verra en 4e — développer avec un facteur négatif, comme −2(x + 3), et multiplier deux termes en x, comme 3x × 2x = 6x². En 3e — la double distributivité, pour développer un produit de deux sommes comme (a + b)(c + d).
- Une expression littérale porte le nom de la dernière opération effectuée : 4(x + 1) est un produit, 4x + 1 est une somme.
- Développer (produit → somme) : k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb ; le facteur multiplie chaque terme de la parenthèse.
- Factoriser (somme → produit) : ka + kb = k(a + b), avec le facteur commun k ; un terme égal au facteur commun laisse 1 : 4x + 4 = 4(x + 1).
- Réduire : on regroupe les termes en x (on ajoute les coefficients) et les nombres seuls ; 3x + 2 est déjà réduite.
- Après un développement, on réduit : 2(x + 3) + 4x = 2x + 6 + 4x = 6x + 6.
- Pour démontrer qu’une propriété est vraie pour tous les nombres, on l’écrit avec une lettre, puis on développe et on réduit : 4(x + 5) − 20 = 4x.
Questions fréquentes
Comment savoir si une expression littérale est une somme ou un produit ?
On cherche la dernière opération effectuée, en respectant les priorités. Dans 4(x + 1), on calcule x + 1, puis on multiplie par 4 : c’est un produit. Dans 4x + 1, on calcule 4x, puis on ajoute 1 : c’est une somme. On développe un produit, on factorise une somme.
Comment développer k(a + b) ?
On multiplie le facteur k par chaque terme de la parenthèse : k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb. Par exemple 5(2x − 4) = 5 × 2x − 5 × 4 = 10x − 20. Le facteur multiplie les deux termes : 8(x + 3) = 8x + 24, et non 8x + 3.
Comment factoriser une expression comme 5x + 15 ?
On cherche le facteur commun aux deux termes : 5x = 5 × x et 15 = 5 × 3. On l’écrit une seule fois devant la parenthèse : 5x + 15 = 5(x + 3). On vérifie en développant. Attention au 1 caché : 4x + 4 = 4 × x + 4 × 1 = 4(x + 1).
Comment réduire une expression littérale ?
On regroupe les termes semblables : les termes en x ensemble, en ajoutant leurs coefficients, et les nombres seuls ensemble. Ainsi 4x + 3 + 2x + 5 = 6x + 8. Un terme en x et un nombre ne s’ajoutent pas : 3x + 2 est déjà réduite, elle ne vaut pas 5x.
Pourquoi x + x ne fait-il pas x² ?
Parce que x + x, c’est deux fois x : x + x = 2x. Le carré x² est un produit, x × x. Par exemple, pour x = 3, x + x vaut 6 alors que x × x vaut 9.
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