Mathématiques · Classe de 5ᵉ

Le calcul littéral

Lettres, conventions, réduire, distribuer et tester · 5e

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Le calcul littéral » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Une lettre pour remplacer un nombre, Les conventions d'écriture, Vocabulaire : termes, somme et produit, Calculer la valeur d'une expression. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.

Au programme

1 · Une lettre pour remplacer un nombre

2 · Les conventions d'écriture (3a, a²…)

3 · Vocabulaire : termes, somme et produit

4 · Calculer la valeur d'une expression

5 · Réduire une expression

6 · La distributivité : développer k(a + b)

7 · Tester si une égalité est vraie

8 · Utiliser des formules (périmètre, aire)

1Une lettre pour remplacer un nombre

En 5e, on apprend à calculer non plus seulement avec des nombres, mais aussi avec des lettres. Une lettre (souvent a, b, x, n…) sert à désigner un nombre que l'on ne connaît pas encore ou qui peut changer : on l'appelle une variable.

Définition. Une expression littérale est un calcul qui contient une ou plusieurs lettres. Chaque lettre représente un nombre.

Pourquoi est-ce utile ? Parce qu'une seule expression peut décrire une infinité de situations.

« Le périmètre d'un carré de côté c » s'écrit 4 × c : c'est vrai pour tous les carrés à la fois.
« J'ai n billes et j'en gagne 5 » s'écrit n + 5, quel que soit le nombre de billes du départ.
« Le double d'un nombre x augmenté de 3 » s'écrit 2 × x + 3.

💡 Une lettre cache un nombre. Tout ce qu'on sait faire avec les nombres (additionner, multiplier…) reste vrai avec les lettres : c'est juste plus général.

⚠️ Une lettre ne « vaut » pas une unité particulière. Dans n + 5, le 5 s'ajoute au nombre représenté par n : ce n'est pas « la lettre n plus cinq lettres ».

2Les conventions d'écriture

Pour écrire les expressions littérales plus vite et plus proprement, on utilise des règles d'écriture. Elles sont très importantes : on les retrouvera toute l'année (et au lycée).

Règle n°1 : on supprime le signe ×

Devant une lettre, on n'écrit pas le signe ×.
3 × a = 3a · 5 × x = 5x · a × b = ab · 2 × (a + b) = 2(a + b)

Le nombre placé devant la lettre s'appelle le coefficient. Dans 3a, le coefficient est 3.

⚠️ On supprime × seulement devant une lettre ou une parenthèse. Entre deux nombres, on garde le signe : 3 × 5 ne s'écrit JAMAIS 35 !

Règle n°2 : le coefficient 1 ne s'écrit pas

1 × a = a (on n'écrit pas 1a) · et a × 1 = a.

Règle n°3 : un produit de la lettre par elle-même → le carré

a × a = a² (on lit « a au carré »). De même a × a × a = a³ (« a au cube »).

⚠️ Ne confonds pas a² et 2a !
a² = a × a (un produit) · 2a = a + a (une somme, le double).
Si a = 3 : a² = 9 mais 2a = 6. Ce ne sont pas les mêmes !

L'ordre d'écriture (convention de lecture)

On écrit d'abord le nombre, puis la lettre : on écrit 3a et non a3. Pour un produit de lettres, on les range en général par ordre alphabétique : ba s'écrit ab.

On écrit (avec ×)	On simplifie	On lit
4 × x	4x	quatre x
1 × y	y	y
x × x	x²	x au carré
5 × a × b	5ab	cinq a b
7 × (a + 2)	7(a + 2)	sept fois (a plus deux)

3Vocabulaire : termes, somme et produit

Pour bien réduire une expression, il faut savoir la « lire ».

Un terme est un « morceau » de l'expression séparé des autres par un signe + ou −.
Dans 5a + 3 − 2a + 7, il y a 4 termes : 5a, 3, 2a (précédé d'un −), 7.

Les termes qui contiennent la même lettre (à la même puissance) sont des termes semblables : 5a et 2a sont semblables.
Les termes sans lettre (les nombres seuls) sont des termes constants : ici 3 et 7.

💡 5a et 5a² ne sont pas semblables : la puissance de la lettre n'est pas la même. On ne pourra pas les regrouper.

Une somme relie des termes par + (ou −). Un produit relie des facteurs par × (souvent caché). Dans 3a + 4 : c'est une somme. Dans 3a : c'est un produit (3 × a).

4Calculer la valeur d'une expression

« Calculer l'expression pour a = 4 » signifie : on remplace chaque lettre par sa valeur, puis on effectue le calcul. On dit qu'on substitue.

Méthode pas à pas.

1) Je réécris l'expression en remettant les signes × cachés.
2) Je remplace la lettre par sa valeur (entre parenthèses, c'est plus sûr).
3) Je calcule en respectant les priorités (× et ² avant + et −).

Exemple 1. Calculer 3a + 5 pour a = 4.
3a + 5 = 3 × 4 + 5 = 12 + 5 = 17.

Exemple 2. Calculer a² pour a = 5.
a² = 5 × 5 = 25. (Et pour a = 10 : a² = 100.)

Exemple 3. Calculer 2x + 3y pour x = 5 et y = 2.
2 × 5 + 3 × 2 = 10 + 6 = 16.

Exemple 4 (priorités). Calculer 5 + 2a² pour a = 3.
D'abord le carré : a² = 9, puis 2 × 9 = 18, puis 5 + 18 = 23.

⚠️ Erreur classique : pour 3a avec a = 4, ce n'est pas « 34 » ! Le 3 et le a sont multipliés : 3 × 4 = 12. Remets toujours le × avant de remplacer.

💡 Mettre la valeur entre parenthèses évite les pièges, surtout plus tard avec les nombres négatifs : 3a pour a = 4 → 3 × (4).

5Réduire une expression

Réduire (ou simplifier), c'est regrouper les termes semblables pour écrire l'expression avec le moins de termes possible.

Règle. On additionne (ou soustrait) les coefficients des termes en a entre eux, et les constantes entre elles. La lettre, elle, ne change pas.

L'image qui aide : 5a, c'est « 5 objets a ». Donc 5a + 2a = 7a comme « 5 pommes + 2 pommes = 7 pommes ». Mais 5a + 3 ne se réduit pas, comme « 5 pommes + 3 (tout court) » : ce ne sont pas les mêmes objets.

Exemple 1. 5a + 2a = 7a · 8x − 3x = 5x · a + a = 2a.

Exemple 2 (on sépare les familles). Réduire 5a + 3 + 2a + 7.
Termes en a : 5a + 2a = 7a. Constantes : 3 + 7 = 10.
Résultat : 7a + 10.

Exemple 3 (avec une soustraction). Réduire 9x − 2 − 4x + 6.
En x : 9x − 4x = 5x. Constantes : −2 + 6 = 4. Résultat : 5x + 4.

Exemple 4 (deux lettres). Réduire 3a + 5b + 2a − b.
En a : 3a + 2a = 5a. En b : 5b − b = 4b. Résultat : 5a + 4b (on ne peut pas mélanger a et b).

⚠️ Pièges fréquents :
• 5a + 2a = 7a et non 7a² (on additionne, on ne multiplie pas les lettres).
• a + a = 2a et non a².
• 5a + 3 ne se réduit pas : on ne peut pas mélanger des « a » et des nombres seuls.

💡 Astuce de tri : surligne d'une couleur tous les termes en a, d'une autre les constantes, et regroupe chaque famille séparément. Vérifie en comptant : autant de termes au départ que d'éléments rangés.

6La distributivité : développer k(a + b)

Quand un nombre multiplie une parenthèse, il multiplie chaque terme à l'intérieur. C'est la distributivité. Développer, c'est enlever la parenthèse en distribuant.

k(a + b) = k×a + k×b = ka + kb
et de même k(a − b) = ka − kb

L'image qui aide : 3(a + 2) veut dire « 3 paquets contenant chacun (a + 2) ». En tout, ça fait 3 fois a et 3 fois 2, soit 3a + 6.

Exemples.
3(a + 2) = 3×a + 3×2 = 3a + 6
5(x − 4) = 5x − 20
2(3a + 1) = 6a + 2
4(2 + b) = 8 + 4b

⚠️ Il faut multiplier TOUS les termes de la parenthèse, pas seulement le premier.
3(a + 2) = 3a + 6 ✔ et non 3a + 2 ✘ (on oublie souvent le second produit).

💡 Vérification numérique : prends a = 1. À gauche 3(1 + 2) = 9 ; à droite 3a + 6 = 3 + 6 = 9. Les deux donnent 9 → le développement est juste.

7Tester si une égalité est vraie

Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. Pour tester une valeur, on calcule séparément le membre de gauche et le membre de droite, puis on compare.

Méthode. Pour tester si x = 4 est solution de l'égalité 2x + 1 = 9 :
• membre de gauche : 2 × 4 + 1 = 9
• membre de droite : 9
Les deux membres sont égaux → l'égalité est vraie pour x = 4 : 4 est une solution.

Exemple (valeur qui ne marche pas). x = 2 est-il solution de 3x − 1 = 8 ?
Gauche : 3 × 2 − 1 = 5. Droite : 8. 5 ≠ 8 → l'égalité est fausse : 2 n'est pas solution.

Exemple (égalité toujours vraie). 2(a + 3) = 2a + 6 est vraie pour n'importe quelle valeur de a : c'est une égalité de développement. Avec a = 5 : gauche 2 × 8 = 16, droite 10 + 6 = 16. ✔

⚠️ « Tester » n'est pas « résoudre ». On vérifie une valeur déjà donnée : on remplace, on calcule, on compare. On ne « cherche » pas encore l'inconnue (ça viendra en 4e).

8Utiliser des formules (périmètre, aire)

Le calcul littéral sert à écrire des formules : des expressions générales qui marchent pour toutes les figures. On les écrit avec des lettres, puis on les utilise en remplaçant par les mesures.

Figure	Formule littérale	Avec ses mesures
Carré de côté c	Périmètre P = 4c · Aire A = c²	c = 5 → P = 20 · A = 25
Rectangle L × ℓ	P = 2(L + ℓ) · A = L×ℓ	L=6, ℓ=4 → P = 20 · A = 24
Triangle	P = a + b + c	3+4+5 → P = 12

Exemple 1. Périmètre d'un carré de côté c : P = 4c. Pour c = 7 cm : P = 4 × 7 = 28 cm.

Exemple 2. Aire d'un carré de côté c : A = c². Pour c = 7 cm : A = 7 × 7 = 49 cm².

Exemple 3. Périmètre d'un rectangle : P = 2(L + ℓ). Pour L = 8 et ℓ = 3 : P = 2 × (8 + 3) = 2 × 11 = 22 cm. (On développe : 2L + 2ℓ = 16 + 6 = 22.)

💡 Une formule, c'est du calcul littéral « tout prêt ». Tu écris la formule avec les lettres, puis tu remplaces : c'est exactement la méthode de la section 4.

🎓 Récap express : on supprime × devant une lettre (3×a = 3a) · a×a = a² (≠ 2a) · calculer = remplacer la lettre par sa valeur puis effectuer · réduire = regrouper les termes en a entre eux et les constantes entre elles · développer : k(a+b) = ka + kb (tous les termes !) · tester : on calcule chaque membre et on compare · les formules de périmètre et d'aire sont du calcul littéral.

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