Le calcul littéral

Q: Qu’est-ce qu’une expression littérale ?

C’est un calcul qui contient au moins une lettre, comme 3x + 5 ou 2(a − 1). La lettre représente un nombre qu’on ne connaît pas encore ou qui peut changer : une formule comme 4c, le périmètre d’un carré de côté c, marche pour toutes les valeurs de c.

Q: Quand peut-on supprimer le signe × ?

Devant une lettre ou devant une parenthèse : 3 × x = 3x, a × b = ab, 5 × (x + 2) = 5(x + 2). On n’écrit pas le facteur 1 (1 × x = x) et x × x s’écrit x². Entre deux nombres, le × reste : 3 × 4 ne s’écrit jamais 34.

Q: Comment traduire une phrase par une expression littérale ?

On nomme le nombre inconnu x, on traduit les étapes dans l’ordre et on met des parenthèses quand une opération porte sur tout un résultat : « le double de x, augmenté de 5 » donne 2x + 5, « le double de la somme de x et 5 » donne 2(x + 5).

Q: Comment calculer la valeur d’une expression littérale ?

On remet les signes × cachés, on remplace la lettre par sa valeur, entre parenthèses si elle est négative, puis on calcule en respectant les priorités : 3x + 5 pour x = 4 donne 3 × 4 + 5 = 17.

Q: Comment tester une égalité, et qu’est-ce qu’un contre-exemple ?

On calcule séparément le membre de gauche et le membre de droite avec la valeur proposée : s’ils sont égaux, l’égalité est vraie pour cette valeur. Un contre-exemple est un nombre pour lequel une affirmation générale est fausse : un seul suffit pour prouver qu’elle est fausse.

Écrire une formule ou traduire une phrase avec une lettre, appliquer les conventions d’écriture (3x, ab, x², 5(x + 2)), calculer la valeur d’une expression littérale en remplaçant la lettre par un nombre, tester si une égalité est vraie pour une valeur et prouver qu’une affirmation est fausse par un contre-exemple.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 5e sur le calcul littéral suit trois cas : écrire une expression avec des lettres (formules, conventions d’écriture comme 3x, ab, x² ou 5(x + 2), traduction d’une phrase ou d’un programme de calcul), calculer la valeur d’une expression en remplaçant la lettre par un nombre, puis tester une égalité et trouver un contre-exemple.

Écrire une expression avec des lettres

En 6ᵉ, tu as déjà utilisé une lettre pour écrire la règle d’un motif ou d’un programme de calcul. En 5ᵉ, on apprend à écrire ces expressions proprement, à les calculer et à les tester.

1. Une lettre pour un nombre

Ce qu’il faut savoirUne lettre comme

x

a

n

désigne un nombre qu’on ne connaît pas encore ou qui peut changer : on dit que c’est une variable.
Une expression littérale est un calcul qui contient au moins une lettre :

3 x + 5

2 a - b

\frac{n}{2}

.
Une formule est une expression littérale valable pour n’importe quelle valeur de la lettre : le périmètre d’un carré de côté

c

est

4 c

, quel que soit

c

Exemples

Le double de $n$ : $2 n$ · le triple de $n$ : $3 n$ · la moitié de $n$ : $\frac{n}{2}$ · le carré de $n$ : $n^{2}$

Pour un nombre entier $n$ : son successeur (l’entier qui le suit) est $n + 1$ , son prédécesseur (l’entier juste avant) est $n - 1$ .

Rectangle de longueur $L$ et de largeur $ℓ$ : aire $L ℓ$ ; périmètre $2 (L + ℓ)$ .

Au parking, l’heure coûte 3 € : pour $h$ heures, on paie $3 h$ euros. Une seule formule remplace tout un tableau de prix.

2. Les conventions d’écriture

Ce qu’il faut savoirPour écrire plus court, on supprime le signe × devant une lettre ou devant une parenthèse, jamais entre deux nombres :

3 \times 4

ne s’écrit pas 34.
Dans

7 x

, le nombre 7 qui multiplie la lettre s’appelle le coefficient ; il s’écrit toujours devant la lettre.

On pourrait écrire	On écrit	Pourquoi
$3 \times x$ ou $x \times 3$	$3 x$	pas de × devant une lettre ; le nombre se met devant
$a \times b$	$a b$	deux lettres se collent
$1 \times x$	$x$	on n’écrit pas le facteur 1
$x \times x$	$x^{2}$	se lit « $x$ au carré »
$5 \times (x + 2)$	$5 (x + 2)$	pas de × devant une parenthèse

Exemples

$9 \times t = 9 t$ · $y \times 6 = 6 y$ · $2 \times a \times b = 2 a b$ · $1 \times m = m$ · $k \times k = k^{2}$ · $4 \times (z + 3) = 4 (z + 3)$

Dans l’autre sens, je remets les × cachés : $5 n = 5 \times n$ · $3 x^{2} = 3 \times x \times x$ · $7 (a - 2) = 7 \times (a - 2)$

3. Traduire une phrase ou un programme de calcul

Ce qu’il faut savoir1. Je nomme le nombre inconnu avec une lettre (

x

n

).
2. Je traduis chaque étape, dans l’ordre de l’énoncé.
3. Je mets des parenthèses quand une opération porte sur tout le résultat précédent.

Phrase	Expression
le double de $x$	$2 x$
$x$ augmenté de 5	$x + 5$
le double de la somme de $x$ et 5	$2 (x + 5)$
le tiers de $x$	$\frac{x}{3}$
$x$ diminué de 4, puis triplé	$3 (x - 4)$

Exemples

« Choisir un nombre ; le multiplier par 5 ; soustraire 2. » Avec $x$ : $5 x - 2$ . Pas de parenthèses : la multiplication est déjà faite en premier.

« Choisir un nombre ; lui ajouter 7 ; multiplier le résultat par 4. » Avec $x$ : $4 (x + 7)$ . La parenthèse est indispensable : on ajoute 7 avant de multiplier.

Réflexe — je vérifie mon expression avec un nombre simple, par exemple 10 : le programme fait pas à pas et mon expression doivent donner le même résultat.

Attention — « le double de $x$ , augmenté de 5 » s’écrit $2 x + 5$ , mais « le double de la somme de $x$ et 5 » s’écrit $2 (x + 5)$ : pour $x = 10$ , on trouve 25 d’un côté et 30 de l’autre. Et $3 x$ veut dire « 3 fois $x$ », pas « 3 suivi de $x$ ».

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Calculer la valeur d’une expression littérale

Ce qu’il faut savoirUne expression littérale n’a pas de valeur tant qu’on n’a pas choisi la valeur de la lettre : c’est une recette de calcul, pas un résultat. Quand on connaît cette valeur, on la met à la place de la lettre : on dit qu’on substitue.
Méthode : 1. je remets les signes × cachés ; 2. je remplace chaque lettre par sa valeur (un nombre négatif s’écrit entre parenthèses) ; 3. je calcule en respectant les priorités.

Exemples

$3 x + 5$ pour $x = 4$ : $3 \times 4 + 5 = 12 + 5 = 17$

$2 a + b$ pour $a = 3$ et $b = 7$ : $2 \times 3 + 7 = 6 + 7 = 13$

$6 (y - 1, 5)$ pour $y = 4$ : $6 \times (4 - 1, 5) = 6 \times 2, 5 = 15$ (la parenthèse d’abord)

$\frac{t + 9}{4}$ pour $t = 3$ : $\frac{3 + 9}{4} = \frac{12}{4} = 3$ (la barre de fraction agit comme des parenthèses)

$n^{2} + 1$ pour $n = 6$ : $6 \times 6 + 1 = 36 + 1 = 37$

Avec un nombre négatif

Quand la lettre est remplacée par un nombre négatif dans une somme ou une différence, on calcule comme dans Relatifs : additionner et soustraire.

Exemples

$x + 8$ pour $x = - 3$ : $(- 3) + 8 = 5$

$10 - m$ pour $m = - 4$ : $10 - (- 4) = 10 + 4 = 14$ (soustraire $- 4$ , c’est ajouter son opposé, 4)

Utiliser une formule

Exemple

Périmètre d’un rectangle : $P = 2 (L + ℓ)$ . Pour $L = 6, 5$ cm et $ℓ = 4$ cm : $P = 2 \times (6, 5 + 4) = 2 \times 10, 5 = 21$ cm.

Réflexe — avant de calculer, je réécris l’expression avec tous ses signes × : $5 a b$ devient $5 \times a \times b$ , puis je remplace les lettres.

Attention — pour $x = 4$ , $3 x$ vaut $3 \times 4 = 12$ , et non 34 : le nombre collé à la lettre est un facteur. De même, $x^{2}$ vaut $4 \times 4 = 16$ , et non $2 \times 4$ .

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Tester une égalité, trouver un contre-exemple

Ce qu’il faut savoirUne égalité comme

2 x + 1 = 9

a deux membres : à gauche

2 x + 1

, à droite

9

. Avec une lettre, elle peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d’autres.
Pour tester une égalité avec une valeur : je calcule séparément le membre de gauche et le membre de droite. S’ils donnent le même nombre, l’égalité est vraie pour cette valeur ; sinon, elle est fausse.

Exemples

$2 x + 1 = 9$ pour $x = 4$ : à gauche $2 \times 4 + 1 = 9$ ; à droite $9$ . Même nombre : l’égalité est vraie pour $x = 4$ .

Pour $x = 5$ : à gauche $2 \times 5 + 1 = 11$ ; à droite $9$ . $11 \neq 9$ : l’égalité est fausse pour $x = 5$ .

$3 y + 2 = y + 8$ pour $y = 3$ : à gauche $3 \times 3 + 2 = 11$ ; à droite $3 + 8 = 11$ . Vraie. Pour $y = 1$ : à gauche $5$ , à droite $9$ . Fausse.

Le contre-exemple

Ce qu’il faut savoirUne affirmation qui dit « pour tous les nombres… » est fausse dès qu’un seul nombre ne la vérifie pas : ce nombre s’appelle un contre-exemple.
À l’inverse, des exemples qui marchent ne suffisent pas pour prouver qu’elle est toujours vraie : on ne peut pas essayer tous les nombres.

Exemples

« Pour tout nombre $x$ , $x + x = x^{2}$ . » Pour $x = 2$ : $2 + 2 = 4$ et $2^{2} = 4$ , ça marche. Pour $x = 3$ : $3 + 3 = 6$ mais $3^{2} = 9$ . $x = 3$ est un contre-exemple : l’affirmation est fausse.

« Le double d’un nombre est toujours plus grand que ce nombre. » Pour 0 : le double de 0 est 0, qui n’est pas plus grand que 0. Contre-exemple : l’affirmation est fausse (−5 en est un autre : son double est (−5) + (−5) = −10, et −10 < −5).

Réflexe — j’écris les deux calculs sur deux lignes, « à gauche : … » et « à droite : … », puis je conclus par une phrase.

Attention — une valeur qui marche ne prouve pas que l’égalité est toujours vraie. Et tester n’est pas résoudre : on vérifie un nombre proposé, on ne cherche pas le nombre qui convient.

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Pour aller plus loin

Avant ce chapitre — nommer un calcul et traduire un programme de calcul avec des nombres : voir Opérations : vocabulaire et priorités opératoires.

Ensuite — transformer une expression : développer ( $3 (x + 2) = 3 x + 6$ ), factoriser, réduire ( $4 x + 3 x = 7 x$ ), dire si une expression est une somme ou un produit. C’est aussi ce qui permet de démontrer qu’un programme de calcul donne toujours le même résultat : voir Calcul littéral : développer, factoriser, réduire.

Ensuite — chercher la valeur de la lettre qui rend une égalité vraie, comme dans $x + 7 = 12$ ou $4 x = 20$ , c’est résoudre une équation : voir Équations : x + b = c et ax = c.

Les expressions qui contiennent un carré ou un cube sont travaillées dans Puissances : carré et cube d’un nombre.

Se verra en 4ᵉ — remplacer la lettre par un nombre négatif dans un produit, comme $3 x$ pour $x = - 2$ : il faut savoir multiplier des nombres relatifs.

À retenir

Une expression littérale est un calcul qui contient au moins une lettre ; une formule vaut pour toutes les valeurs de la lettre (périmètre du carré : 4c).
On supprime le × devant une lettre ou une parenthèse : 3 × x = 3x, a × b = ab, 1 × x = x, x × x = x², 5 × (x + 2) = 5(x + 2) ; jamais entre deux nombres.
Traduire une phrase : une lettre pour le nombre, les étapes dans l’ordre, des parenthèses quand une opération porte sur tout un résultat : 2(x + 5) n’est pas 2x + 5.
Calculer la valeur : je remets les ×, je remplace la lettre (entre parenthèses si elle est négative), je respecte les priorités ; pour x = 4, 3x = 12.
Tester une égalité : je calcule séparément les deux membres. Un seul contre-exemple suffit pour prouver qu’une affirmation est fausse.

Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’une expression littérale ?

C’est un calcul qui contient au moins une lettre, comme 3x + 5 ou 2(a − 1). La lettre représente un nombre qu’on ne connaît pas encore ou qui peut changer : une formule comme 4c, le périmètre d’un carré de côté c, marche pour toutes les valeurs de c.

Quand peut-on supprimer le signe × ?

Devant une lettre ou devant une parenthèse : 3 × x = 3x, a × b = ab, 5 × (x + 2) = 5(x + 2). On n’écrit pas le facteur 1 (1 × x = x) et x × x s’écrit x². Entre deux nombres, le × reste : 3 × 4 ne s’écrit jamais 34.

Comment traduire une phrase par une expression littérale ?

On nomme le nombre inconnu x, on traduit les étapes dans l’ordre et on met des parenthèses quand une opération porte sur tout un résultat : « le double de x, augmenté de 5 » donne 2x + 5, « le double de la somme de x et 5 » donne 2(x + 5).

Comment calculer la valeur d’une expression littérale ?

On remet les signes × cachés, on remplace la lettre par sa valeur, entre parenthèses si elle est négative, puis on calcule en respectant les priorités : 3x + 5 pour x = 4 donne 3 × 4 + 5 = 17.

Comment tester une égalité, et qu’est-ce qu’un contre-exemple ?

On calcule séparément le membre de gauche et le membre de droite avec la valeur proposée : s’ils sont égaux, l’égalité est vraie pour cette valeur. Un contre-exemple est un nombre pour lequel une affirmation générale est fausse : un seul suffit pour prouver qu’elle est fausse.

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