Collège · 5ᵉ · Mathématiques
Le calcul littéral
Lettres, expressions, substitution, réduction et distributivité (programme de 5e)
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Le calcul littéral » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : À quoi servent les lettres en maths, Les conventions d'écriture, Calculer la valeur d'une expression, Réduire une expression littérale. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
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À quoi servent les lettres en maths
Une lettre comme $x$, $a$ ou $n$ représente un nombre inconnu ou qui peut changer : on parle alors de variable.
Définition. Une expression littérale est un calcul contenant au moins une lettre : $3x + 5$, $2a - b$, $\dfrac{n}{2}$.
Les lettres servent surtout à écrire une formule générale, valable pour n'importe quel nombre : le périmètre d'un carré de côté $c$ s'écrit $4c$, quel que soit $c$.
Exemple. Dans un parking, le tarif est de $3$ € l'heure. Pour $h$ heures, le prix s'écrit $3h$ : une seule formule remplace un tableau entier de prix.
Astuce. Une expression littérale n'a pas de valeur tant qu'on n'a pas fixé la lettre : c'est une recette de calcul, pas un résultat.
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Les conventions d'écriture
Pour écrire plus court, on supprime le signe $\times$ devant une lettre ou une parenthèse.
| On pourrait écrire | On écrit | Pourquoi |
|---|---|---|
| $3 \times x$ | $3x$ | signe $\times$ inutile devant une lettre |
| $a \times b$ | $ab$ | deux lettres se collent |
| $1 \times x$ | $x$ | on n'écrit pas le facteur $1$ |
| $x \times x$ | $x^2$ | se lit « $x$ au carré » |
| $5 \times (x + 2)$ | $5(x + 2)$ | signe $\times$ inutile devant une parenthèse |
Attention ! On garde le signe $\times$ entre deux nombres : $3 \times 4$ ne s'écrit pas $34$. Et $3x$ ne veut pas dire « $3$ suivi de $x$ » mais « $3$ fois $x$ ».
Vocabulaire. Dans $7x$, $7$ est le coefficient et $x$ la variable. Dans $4x + 3$, il y a deux termes : $4x$ et $3$.
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Calculer la valeur d'une expression
Quand on connaît la valeur de la lettre, on la remplace (on dit substituer) et on calcule.
Méthode.
1. Je remets les signes $\times$ cachés.
2. Je remplace la lettre par sa valeur, entre parenthèses si elle est négative.
3. Je calcule en respectant les priorités.
1. Je remets les signes $\times$ cachés.
2. Je remplace la lettre par sa valeur, entre parenthèses si elle est négative.
3. Je calcule en respectant les priorités.
Exemple 1. $3x + 5$ pour $x = 4$ : $3 \times 4 + 5 = 12 + 5 = 17$.
Exemple 2. $3x + 5$ pour $x = -2$ : $3 \times (-2) + 5 = -6 + 5 = -1$.
Exemple 3. $2a + b$ pour $a = 3$ et $b = 7$ : $2 \times 3 + 7 = 13$.
Exemple 2. $3x + 5$ pour $x = -2$ : $3 \times (-2) + 5 = -6 + 5 = -1$.
Exemple 3. $2a + b$ pour $a = 3$ et $b = 7$ : $2 \times 3 + 7 = 13$.
Attention ! $3x$ pour $x = 4$ vaut $12$, et non $34$. Le nombre collé à la lettre est un facteur.
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Réduire une expression littérale
Réduire, c'est écrire l'expression le plus court possible en regroupant les termes semblables.
Règle. On n'additionne que des termes de même nature : les termes en $x$ ensemble, les nombres seuls ensemble.
Exemple. $3x + 2x = 5x$ (comme $3$ pommes $+ 2$ pommes). $7x - 4x = 3x$. $x + x = 2x$.
Exemple complet. $4x + 3 + 2x + 5 = 6x + 8$.
Exemple complet. $4x + 3 + 2x + 5 = 6x + 8$.
Attention ! $3x + 2$ ne se réduit pas : $3x$ et $2$ ne sont pas de même nature. Écrire $5x$ est une erreur.
Astuce. Souligne les termes en $x$ d'une couleur et les nombres d'une autre avant de regrouper : l'erreur devient visible.
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La distributivité : développer un produit
Pour supprimer une parenthèse dans un produit comme $3(x + 2)$, on utilise la distributivité.
Règle. $$k(a + b) = ka + kb \qquad \text{et} \qquad k(a - b) = ka - kb$$ On multiplie le facteur de devant par chaque terme de la parenthèse.
Exemple 1. $3(x + 2) = 3x + 6$.
Exemple 2. $5(2x - 4) = 10x - 20$.
Exemple 3. $2(x + 3) + 4x = 2x + 6 + 4x = 6x + 6$.
Exemple 2. $5(2x - 4) = 10x - 20$.
Exemple 3. $2(x + 3) + 4x = 2x + 6 + 4x = 6x + 6$.
Attention ! $3(x + 4) = 3x + 12$, et non $3x + 4$ : le facteur multiplie les deux termes.
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Tester une égalité avec une valeur
Une égalité comme $2x + 1 = 9$ est vraie pour certaines valeurs de $x$ seulement.
Méthode. Je calcule séparément le membre de gauche et le membre de droite avec la valeur proposée. S'ils sont égaux, la valeur est une solution.
Exemple. $2x + 1 = 9$ pour $x = 4$ : gauche $2 \times 4 + 1 = 9$ ; droite $9$. Égalité vraie, donc $4$ est solution.
Pour $x = 5$ : gauche $11 \neq 9$. L'égalité est fausse.
Pour $x = 5$ : gauche $11 \neq 9$. L'égalité est fausse.
Attention ! Une seule valeur qui fonctionne ne prouve rien pour les autres : tester, ce n'est pas résoudre.
Astuce. Écris toujours « membre de gauche = … » et « membre de droite = … » sur deux lignes : c'est la présentation attendue.
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Traduire un énoncé ou un programme de calcul
Le calcul littéral sert à traduire une phrase ou un programme de calcul en une expression unique.
Méthode. 1. Je nomme le nombre inconnu ($x$ ou $n$). 2. Je traduis chaque étape. 3. J'ajoute des parenthèses si une opération porte sur un résultat entier.
| Phrase | Expression |
|---|---|
| le double de $x$ | $2x$ |
| $x$ augmenté de $5$ | $x + 5$ |
| le double de la somme de $x$ et $5$ | $2(x + 5)$ |
| le tiers de $x$ | $\dfrac{x}{3}$ |
| $x$ diminué de $4$, puis triplé | $3(x - 4)$ |
Programme de calcul. « Choisis un nombre, multiplie-le par $3$, ajoute $6$, puis divise par $3$. » Avec $x$ : $\dfrac{3x + 6}{3} = x + 2$. Le résultat est toujours le nombre de départ augmenté de $2$.
Attention ! « Le double de $x$ augmenté de $5$ » ($2x + 5$) et « le double de la somme de $x$ et $5$ » ($2(x+5)$) ne donnent pas la même expression.
En bref
- On supprime le signe $\times$ devant une lettre ou une parenthèse : $3 \times x = 3x$, $5 \times (x+2) = 5(x+2)$.
- Substituer : on remplace la lettre par sa valeur, entre parenthèses si elle est négative.
- Réduire : on regroupe les termes de même nature ; $3x + 2$ ne se réduit pas.
- Distributivité : $k(a+b) = ka + kb$ — le facteur multiplie chaque terme.
- Tester une égalité : on calcule les deux membres séparément.
- Traduire un énoncé : attention aux parenthèses, $2x+5 \neq 2(x+5)$.
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