À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Le calcul littéral » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : À quoi servent les lettres en maths, Écrire une expression littérale (conventions), Calculer la valeur d'une expression (substitution), Réduire une expression littérale. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · À quoi servent les lettres en maths
2 · Écrire une expression littérale (conventions)
3 · Calculer la valeur d'une expression (substitution)
4 · Réduire une expression littérale
5 · La distributivité : développer un produit
6 · Tester une égalité avec une valeur
7 · Méthode : passer d'un énoncé à une expression
1À quoi servent les lettres en maths
En 5e, on commence à remplacer des nombres par des lettres. Une lettre comme $x$, $a$ ou $n$ représente un nombre que l'on ne connaît pas encore, ou qui peut changer (on dit alors une variable).
Définition. Une expression littérale est un calcul qui contient au moins une lettre. Par exemple $3x + 5$, $2a - b$ ou $\frac{n}{2}$ sont des expressions littérales.
Les lettres servent surtout à écrire une formule générale valable pour n'importe quel nombre. Par exemple, le périmètre d'un carré de côté $c$ s'écrit toujours $4c$, quel que soit le côté.
Exemple. Pour un carré de côté $c = 3$ cm, le périmètre vaut $4c = 4\times 3 = 12$ cm. Pour $c = 7$ cm, il vaut $4\times 7 = 28$ cm. La même formule $4c$ marche dans tous les cas.
2Écrire une expression littérale (conventions)
Pour écrire plus court et plus clair, on suit des règles d'écriture. La plus importante : on n'écrit pas le signe $\times$ devant une lettre ou devant une parenthèse.
| On écrit d'habitude | On écrit plutôt | Pourquoi |
|---|
| $3\times x$ | $3x$ | signe $\times$ inutile devant une lettre |
| $a\times b$ | $ab$ | deux lettres collées |
| $1\times x$ | $x$ | on n'écrit pas le $1$ |
| $x\times x$ | $x^2$ | une puissance |
| $5\times (x+2)$ | $5(x+2)$ | signe $\times$ inutile devant une parenthèse |
Attention ! On garde toujours le signe $\times$ entre deux nombres : $3\times 4$ ne s'écrit pas $34$ ! La règle ne concerne que les lettres et les parenthèses.
Astuce. Pour une division, on préfère l'écriture en fraction : $x \div 4$ s'écrit $\dfrac{x}{4}$.
3Calculer la valeur d'une expression (substitution)
Quand on connaît la valeur de la lettre, on peut calculer l'expression. On remplace (on dit substituer) la lettre par sa valeur, puis on calcule en respectant les priorités opératoires.
Méthode. Pour calculer une expression littérale pour une valeur donnée : 1) je remets les signes $\times$ que l'on avait cachés, 2) je remplace la lettre par sa valeur entre parenthèses, 3) je calcule.
Exemple. Calculons $3x + 5$ pour $x = 4$.
$3x + 5 = 3\times 4 + 5 = 12 + 5 = 17$.
Exemple. Calculons $2a^2$ pour $a = 5$.
$2a^2 = 2\times 5^2 = 2\times 25 = 50$.
Attention : on calcule d'abord la puissance, puis la multiplication.
4Réduire une expression littérale
Réduire une expression, c'est l'écrire le plus court possible en regroupant ce qui se ressemble.
Règle. On ne peut additionner ou soustraire que des termes de même nature : les termes en $x$ avec les termes en $x$, et les nombres seuls avec les nombres seuls.
Exemple. $3x + 2x = 5x$ (comme $3$ pommes $+ 2$ pommes $= 5$ pommes).
$7x - 4x = 3x$.
$x + x = 2x$.
Exemple complet. Réduisons $4x + 3 + 2x + 5$.
Je regroupe les $x$ : $4x + 2x = 6x$.
Je regroupe les nombres : $3 + 5 = 8$.
Résultat : $6x + 8$.
Attention ! On ne peut pas additionner un terme en $x$ avec un nombre seul : $6x + 8$ ne se simplifie pas davantage. Ce n'est pas égal à $14x$ ni à $14$ !
Attention aux puissances. $x$ et $x^2$ ne sont pas de même nature : $3x^2 + 2x$ ne se réduit pas.
5La distributivité : développer un produit
Comment enlever une parenthèse dans un produit comme $3(x + 2)$ ? On utilise la distributivité de la multiplication.
Règle (distributivité). Pour tous nombres $k$, $a$ et $b$ : $$k(a + b) = ka + kb \qquad k(a - b) = ka - kb$$ On multiplie le facteur de devant par chaque terme de la parenthèse.
Exemple. $3(x + 2) = 3\times x + 3\times 2 = 3x + 6$.
Exemple. $5(2x - 4) = 5\times 2x - 5\times 4 = 10x - 20$.
Attention ! Il faut multiplier par tous les termes. Une erreur fréquente : écrire $3(x+2) = 3x + 2$ (on a oublié de multiplier le $2$). La bonne réponse est $3x + 6$.
6Tester une égalité avec une valeur
Une égalité littérale comme $2x + 1 = 9$ peut être vraie ou fausse selon la valeur que l'on donne à $x$. Tester une valeur, c'est vérifier si elle rend l'égalité vraie.
Méthode. Je calcule séparément le membre de gauche et le membre de droite de l'égalité avec la valeur donnée. Si les deux résultats sont égaux, la valeur est solution.
Exemple. L'égalité $2x + 1 = 9$ est-elle vraie pour $x = 4$ ?
Gauche : $2\times 4 + 1 = 9$. Droite : $9$.
Les deux valent $9$ : l'égalité est vraie, $x = 4$ est solution.
Contre-exemple. La même égalité pour $x = 3$ ?
Gauche : $2\times 3 + 1 = 7$. Droite : $9$. $7 \neq 9$ : l'égalité est fausse pour $x = 3$.
7Méthode : passer d'un énoncé à une expression
Le calcul littéral sert à traduire un énoncé ou un programme de calcul en expression. On choisit une lettre pour le nombre de départ, puis on suit les étapes.
Méthode. 1) Je nomme le nombre inconnu (souvent $x$ ou $n$). 2) Je traduis chaque mot : « ajouter » $\to +$, « le double » $\to 2\times$, « le tiers » $\to \frac{1}{3}\times$. 3) J'écris l'expression en respectant l'ordre.
| Phrase | Expression |
|---|
| le double de $x$ | $2x$ |
| $x$ augmenté de 5 | $x + 5$ |
| le triple de $x$, puis on retire 4 | $3x - 4$ |
| la moitié de $x$ | $\dfrac{x}{2}$ |
Exemple (programme de calcul). « Choisis un nombre, multiplie-le par $4$, puis ajoute $6$. »
Si le nombre est $x$, le programme donne l'expression $4x + 6$. Pour $x = 5$ : $4\times 5 + 6 = 26$.
★À retenir
En bref :
• Une expression littérale contient des lettres qui représentent des nombres.
• On n'écrit pas le $\times$ devant une lettre ou une parenthèse : $3\times x = 3x$, $5\times(x+2) = 5(x+2)$.
• Substituer = remplacer la lettre par sa valeur, puis calculer : $3x+5$ pour $x=4$ donne $17$.
• Réduire = regrouper les $x$ entre eux et les nombres entre eux : $4x+3+2x = 6x+3$.
• Distributivité : $k(a+b) = ka + kb$, donc $3(x+2) = 3x+6$.
• Une égalité est vraie ou fausse selon la valeur testée.