Fiche de révision : équations x + b = c et ax = c

Reprendre les acquis de 6e (motifs évolutifs et règle directe, suites de nombres, égalités à trou, « je pense à un nombre » résolu par essais, par opérations inverses ou avec un schéma en barres) ; donner à la lettre le statut d’inconnue : équation, membres, solution et test d’un nombre ; résoudre x + b = c et x − b = c par l’opération inverse, avec des entiers, des décimaux ou des relatifs ; résoudre ax = c en divisant, y compris quand la solution est une fraction ; mettre un problème en équation et le résoudre.

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benprofparticulier.frMathématiques · 5ᵉ

Équations : x + b = c et ax = c

Fiche méthode

(Mathématiques 5ᵉ · Nombres et calculs · Calcul littéral et équations)

La démarche pour retrouver un nombre inconnu

1. Je repère les opérations faites sur le nombre inconnu. Une seule : $x + b = c$ , $x - b = c$ ou $a x = c$ . Plusieurs (nombre pensé, règle d’un motif) : je note leur ordre.

2. J’applique les opérations inverses. $+ b$ se défait par $- b$ , $- b$ par $+ b$ , $\times a$ par $\div a$ ; s’il y en a plusieurs, la dernière se défait en premier.

3. Je vérifie. Je remets le nombre trouvé dans l’équation ou dans l’énoncé.

Le réflexe — un nombre trouvé se vérifie toujours : je le remets à la place de l’inconnue, les deux membres doivent être égaux.

Cas 1 · Rappels de 6e : motifs et nombre inconnu

Réflexe — écarts égaux → règle directe « écart $\times n$ + nombre fixe » ; pour un nombre inconnu, je défais les opérations en partant de la dernière ; avec des parts, je dessine un schéma en barres.

Exemple 1. Étape 1 : $9$ cubes ; étape 2 : $16$ ; étape 3 : $23$ . Combien de cubes à l’étape $30$ ? Quelle étape a $135$ cubes ?

Écart $7$ ; à l’étape 1 : $7 \times 1 = 7$ , il manque $2$ . Règle directe : $7 \times n + 2$ .

Étape $30$ : $7 \times 30 + 2 = 212$ cubes. Pour $135$ cubes : $135 - 2 = 133$ , puis $133 \div 7 = 19$ : c’est l’étape $19$ .

Exemple 2. « Je pense à un nombre, je le divise par $2$ , j’ajoute $9$ et j’obtiens $25$ . »

Je défais d’abord « $+ 9$ » : $25 - 9 = 16$ , puis « $\div 2$ » : $16 \times 2 = 32$ .

Vérification : $32 \div 2 = 16$ , puis $16 + 9 = 25$ .

Exemple 3. Une gourde et une casquette coûtent $23$ € ensemble ; la gourde coûte $7$ € de plus que la casquette.

Barres : casquette | casquette | $7$ . $23 - 7 = 16$ , puis $16 \div 2 = 8$ .

La casquette coûte $8$ € et la gourde $8 + 7 = 15$ € ( $8 + 15 = 23$ ).

Attention — la dernière opération se défait en premier ; et la règle directe garde son nombre fixe : $7 \times n$ seul donnerait $7$ cubes à l’étape 1, pas $9$ .

Cas 2 · Tester un nombre, résoudre x + b = c

Réflexe — pour tester, je calcule chaque membre ; pour résoudre $x + b = c$ , je calcule $c - b$ ; pour $x - b = c$ , je calcule $c + b$ .

Exemple 1. Résoudre $x + 27 = 63$ , puis $x - 4, 5 = 12$ .

$x = 63 - 27 = 36$ . Vérification : $36 + 27 = 63$ .

$x = 12 + 4, 5 = 16, 5$ . Vérification : $16, 5 - 4, 5 = 12$ .

Exemple 2. Le nombre $12$ est-il solution de $40 - x = 26$ ?

Membre de gauche : $40 - 12 = 28$ ; membre de droite : $26$ . Les deux membres sont différents : $12$ n’est pas solution. La solution est $40 - 26 = 14$ .

Attention — dans $x + 9 = 20$ , on ne calcule pas $20 + 9$ : on fait l’inverse de « $+ 9$ », donc $x = 20 - 9$ .

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Cas 3 · Résoudre ax = c

Réflexe — je divise l’autre membre par le nombre qui multiplie $x$ : $x = c \div a$ ; si la division ne tombe pas juste, j’écris la fraction.

Exemple. Résoudre $8 x = 92$ , puis $0, 4 x = 6$ et $9 x = 4$ .

$x = 92 \div 8 = 11, 5$ . Vérification : $8 \times 11, 5 = 92$ .

$x = 6 \div 0, 4 = 60 \div 4 = 15$ . Vérification : $0, 4 \times 15 = 6$ .

$x = \frac{4}{9}$ : la division de $4$ par $9$ ne tombe pas juste.

Attention — dans $6 x = 3$ , on calcule $3 \div 6 = 0, 5$ , et non $6 \div 3$ .

Cas 4 · Mettre un problème en équation

Réflexe — je choisis l’inconnue, j’écris l’équation, je résous, je vérifie dans l’énoncé et je réponds par une phrase.

Exemple. Un paquet de $12$ stylos identiques coûte $10, 20$ €. Quel est le prix d’un stylo ?

Soit $x$ le prix d’un stylo, en euros : $12 x = 10, 2$ .

$x = 10, 2 \div 12 = 0, 85$ . Vérification : $12 \times 0, 85 = 10, 2$ . Un stylo coûte $0, 85$ €.

Attention — « identiques », « chacun » : on multiplie, donc l’équation est du type $a x = c$ , pas $x + a = c$ .

Les pièges

Remonter un nombre pensé dans l’ordre de l’énoncé : la dernière opération se défait en premier.
Confondre « $5$ de plus » ( $+ 5$ ) et « $5$ fois plus » ( $\times 5$ ) dans un schéma en barres.
Ajouter au lieu de retirer : $x + 5 = 21$ donne $x = 16$ , pas $26$ .
Retirer au lieu de diviser : $3 x = 24$ donne $x = 8$ , pas $21$ .
Inverser la division : $4 x = 2$ donne $x = 0, 5$ , pas $2$ .
Oublier la phrase réponse et l’unité, ou ne pas vérifier la solution dans l’énoncé.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode résume en trois étapes la façon de retrouver un nombre inconnu : repérer les opérations, les défaire dans l’ordre inverse, vérifier. Des exemples corrigés pour chaque cas (frise de cubes, nombre pensé, schéma en barres, x + b = c, ax = c, prix d’un stylo), puis les pièges classiques.

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