Devoir surveillé : Calcul littéral, carrés et cubes

1. a)$9^2=9\times 9=81$. (1 pt) (1)
2. b)$5^3=5\times 5\times 5=25\times 5=125$. (1 pt) (1)
3. c)$x^2=1,1^2=1,1\times 1,1=1,21$. (0,5 pt pour le remplacement, 0,5 pt pour le résultat) (1)
4. d)$2y^3=2\times 3^3=2\times 27=54$ ; le cube ne porte que sur $y$. (0,5 pt pour $3^3=27$, 0,5 pt pour $54$) (1)

Piège — $5^3$ n'est pas $5\times 3$ : l'exposant indique combien de fois le nombre apparaît comme facteur, donc $5^3=5\times 5\times 5$.

1. a)$3^2+4\times 3=9+12=21$. (0,5 pt pour le remplacement, 0,5 pt pour le résultat) (1)
2. b)$2\times 3^2=2\times 9=18$. (0,5 pt pour le carré calculé en premier, 0,5 pt pour le résultat) (1)
3. c)$(2\times 3{)}^2=6^2=36$. (0,5 pt pour la parenthèse calculée en premier, 0,5 pt pour le résultat) (1)
4. d)$3^3-5\times 3=27-15=12$. (0,5 pt pour $27$ et $15$, 0,5 pt pour le résultat) (1)

Méthode — on remplace la lettre en rétablissant les signes $\times$, puis on applique les priorités : parenthèses, puissances, multiplications, enfin additions et soustractions ; c'est pourquoi $2x^2$ et $(2x{)}^2$ sont différents.

1. a)$5a+3a-2a=(5+3-2)a=6a$. (1 pt) (1)
2. b)On regroupe les termes de même nature : $x^2+2x^2+4x-x=3x^2+3x$ ; on ne peut pas aller plus loin car $x^2$ et $x$ ne se regroupent pas. (0,5 pt par terme) (1)
3. c)$4(y+5)=4\times y+4\times 5=4y+20$. (1 pt) (1)
4. d)$3(2t-1)=3\times 2t-3\times 1=6t-3$. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — en développant, on oublie de multiplier le second terme : $4(y+5)$ ne vaut pas $4y+5$ ; le facteur devant la parenthèse multiplie chacun des termes.

1. a)Vrai : $3^2+4^2=9+16=25$ et $5^2=25$. (0,5 pt pour la réponse, 0,5 pt pour le calcul) (1)
2. b)Faux : $a\times a\times a=a^3$. Contre-exemple : pour $a=2$, $2^3=8$ alors que $3\times 2=6$. (0,5 pt pour la réponse, 0,5 pt pour le contre-exemple) (1)
3. c)Vrai : $5^2-2\times 5=25-10=15$. (0,5 pt pour la réponse, 0,5 pt pour le calcul) (1)
4. d)Faux : $2^3=2\times 2\times 2=8$ et $3^2=3\times 3=9$ ; or $8\ne 9$. (0,5 pt pour la réponse, 0,5 pt pour le calcul) (1)

Astuce — un seul contre-exemple suffit pour montrer qu'une affirmation générale est fausse ; pour une égalité entre nombres, on calcule chaque membre séparément puis on compare.

1. a)Périmètre : $c+c+c+c=4c$ (en m) ; aire : $c\times c=c^2$ (en m²). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)Périmètre : $4\times 8=32$ m ; aire : $8^2=64$ m². (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Le nouveau côté mesure $c+2$, donc le périmètre vaut $4(c+2)=4c+8$ (en m). (0,5 pt pour l'expression, 0,5 pt pour le développement) (1)
4. d)${11}^2=11\times 11=121$, donc le côté mesure $11$ m ; périmètre : $4\times 11=44$ m. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Méthode — une aire se calcule avec un carré et s'exprime en m², un périmètre est une somme de longueurs en m : ne confonds jamais $4c$ et $c^2$.

1. a)$A=2\times 9+64=18+64=82$. (0,5 pt pour les puissances, 0,5 pt pour le résultat) (1)
2. b)$B=(1+4{)}^2-10=5^2-10=25-10=15$. (0,5 pt pour la parenthèse, 0,5 pt pour le résultat) (1)
3. c)$C=5\times 2^2-3\times 2=5\times 4-6=20-6=14$. (0,5 pt pour le remplacement, 0,5 pt pour le résultat) (1)
4. d)$D=(3+1{)}^3-3^3=4^3-27=64-27=37$. (0,5 pt pour $4^3=64$, 0,5 pt pour le résultat) (1)

Piège — dans $2\times 3^2$, le carré ne porte que sur $3$ : on calcule $3^2=9$ avant de multiplier par $2$, et surtout pas $6^2$.

1. a)$3x^2-x^2+5x+2x-4=2x^2+7x-4$. (0,5 pt pour $2x^2$, 0,5 pt pour $7x-4$) (1)
2. b)$5\times a+5\times 2+3a=5a+10+3a=8a+10$. (0,5 pt pour le développement, 0,5 pt pour la réduction) (1)
3. c)$2\times 3y-2\times 4-5y+9=6y-8-5y+9=y+1$. (0,5 pt pour le développement, 0,5 pt pour la réduction) (1)
4. d)$x\times x+x\times 6=x^2+6x$. (0,5 pt pour la distributivité, 0,5 pt pour l'écriture $x^2$) (1)

Erreur fréquente — $x\times x=x^2$ mais $x+x=2x$ : on ne regroupe que des termes de même nature, les $x^2$ entre eux, les $x$ entre eux, les nombres entre eux.

1. a)Membre de gauche : $1^2+6=1+6=7$ ; membre de droite : $5\times 1=5$. Comme $7\ne 5$, l'égalité est fausse pour $x=1$. (1 pt) (1)
2. b)Pour $x=2$ : $2^2+6=10$ et $5\times 2=10$, l'égalité est vraie. Pour $x=3$ : $3^2+6=15$ et $5\times 3=15$, elle est vraie. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$0,5^2+6=0,25+6=6,25$ et $5\times 0,5=2,5$ ; $6,25\ne 2,5$, l'égalité est fausse. (0,5 pt pour le carré, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
4. d)Non. Pour $x=1$, l'égalité est fausse (question 1) : c'est un contre-exemple. Qu'une égalité soit vraie pour quelques valeurs ne prouve pas qu'elle est vraie pour toutes. (0,5 pt pour la réponse, 0,5 pt pour le contre-exemple rédigé) (1)

Méthode — tester une égalité, c'est calculer séparément ses deux membres pour la valeur donnée puis les comparer ; une égalité vraie pour certaines valeurs peut être fausse pour d'autres.

1. a)A : $5^2+2\times 5=25+10=35$. B : $(5+2)\times 5=7\times 5=35$. (0,5 pt par programme) (1)
2. b)A : $1,5^2+2\times 1,5=2,25+3=5,25$. B : $(1,5+2)\times 1,5=3,5\times 1,5=5,25$. (0,5 pt par programme) (1)
3. c)A : $x^2+2x$. B : $(x+2)\times x$, que l'on écrit $x(x+2)$. (0,5 pt par expression) (1)
4. d)On développe B : $x(x+2)=x\times x+x\times 2=x^2+2x$, c'est l'expression de A. Les deux programmes donnent donc le même résultat quel que soit le nombre de départ. (0,5 pt pour le développement, 0,5 pt pour la conclusion) (1)

Astuce — les essais numériques permettent de deviner une propriété, mais seul un calcul avec la lettre $x$, valable pour tous les nombres, la démontre.

1. a)$V=a\times a\times a=a^3$ (en cm³) ; chaque face est un carré d'aire $a^2$, donc $S=6a^2$ (en cm²). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)$V=5^3=125$ cm³ ; $S=6\times 5^2=6\times 25=150$ cm². (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)${10}^3=10\times 10\times 10=1000$, donc l'arête mesure $10$ cm ; $S=6\times {10}^2=6\times 100=600$ cm². (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)$V=6^3=36\times 6=216$ et $S=6\times 6^2=6\times 36=216$ : les deux nombres sont égaux (mais les unités restent différentes). (0,5 pt par calcul) (1)

Piège — l'aire totale d'un cube compte six faces, soit $6a^2$, à ne pas confondre avec $(6a{)}^2$ ; et une aire se mesure en cm², un volume en cm³.

1. a)$A=3\times [8-3^2+16]=3\times [8-9+16]=3\times 15=45$. (0,5 pt pour le crochet, 0,5 pt pour le résultat) (1)
2. b)Numérateur : $25+27-2=50$ ; dénominateur : $2,25-0,25=2$ ; $B={\displaystyle \frac{50}{2}}=25$. (0,5 pt pour numérateur et dénominateur, 0,5 pt pour le résultat) (1)
3. c)$C=7\times 3^2-2\times 3^3=7\times 9-2\times 27=63-54=9$. (0,5 pt pour le remplacement, 0,5 pt pour le résultat) (1)
4. d)$0,5^2=0,25$ et $0,5^3=0,25\times 0,5=0,125$ ; $D=2\times 0,125+0,25=0,25+0,25=0,5$. (0,5 pt pour les puissances, 0,5 pt pour le résultat) (1)

Méthode — avec des crochets, on calcule de l'intérieur vers l'extérieur ; avec un trait de fraction, le numérateur et le dénominateur se calculent séparément, comme s'ils étaient entre parenthèses.

1. a)Vrai : $3(x+4)-2x-12=3x+12-2x-12=x$, et ce calcul est valable pour tout nombre $x$. (0,5 pt pour le développement, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
2. b)Faux : pour $0,5$, on a $0,5^2=0,25$, qui est inférieur à $0,5$. (0,5 pt pour la réponse, 0,5 pt pour le contre-exemple) (1)
3. c)Faux : $1^2=1$ et $1^3=1$ ; de même, $0^2=0^3=0$. (0,5 pt pour la réponse, 0,5 pt pour le contre-exemple) (1)
4. d)Vrai : $4^3=4\times 4\times 4=64$ et $64=8\times 8=8^2$. (0,5 pt pour $64$, 0,5 pt pour $8^2$) (1)

Astuce — pour chercher un contre-exemple, pense d'abord aux nombres particuliers : $0$, $1$ et les décimaux compris entre $0$ et $1$, dont le carré est plus petit qu'eux.

1. a)$4^2+3\times 4=16+12=28$ ; $6^2+3\times 6=36+18=54$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)Quand $n$ augmente, $n^2=n\times n$ augmente (produit de deux nombres positifs plus grands) et $3n$ augmente aussi ; leur somme augmente donc. (1 pt) (1)
3. c)On teste dans l'ordre : $n=0$ donne $0$ ; $n=1$ donne $4$ ; $n=2$ donne $10$ ; $n=3$ donne $18$ ; $n=4$ donne $28$ ; $n=5$ donne $40$ ; $n=6$ donne $54$ ; $n=7$ donne $49+21=70$. Dès $n=7$ on dépasse $60$, et d'après la question 2 toutes les valeurs suivantes dépassent aussi $60$. Les solutions sont $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$, soit $7$ entiers. (1 pt pour la liste, 0,5 pt pour la justification de l'arrêt) (1)
4. d)Non : $n=6$ donne $54$ et $n=7$ donne $70$ ; comme l'expression augmente avec $n$, aucun entier ne donne exactement $60$. (0,5 pt) (1)

Méthode — pour ne rien oublier, on teste les entiers dans l'ordre et on justifie l'arrêt : si l'expression augmente avec $n$, dès qu'une valeur dépasse la borne, toutes les suivantes la dépassent aussi.

1. a)L'allée se découpe en $4$ rectangles de $x$ m sur $1$ m, le long des côtés, et $4$ carrés de $1$ m de côté, aux coins. Son aire vaut $4\times x\times 1+4\times 1^2=4x+4$ (en m²). (1 pt pour le découpage, 0,5 pt pour l'expression) (1)
2. b)Avec l'expression : $4\times 12+4=48+4=52$ m². Autrement : le grand carré a pour côté $12+2=14$ m, donc l'allée mesure ${14}^2-{12}^2=196-144=52$ m². (0,5 pt par méthode) (1)
3. c)Une dalle a pour aire $0,5^2=0,25$ m² ; il en faut $52÷0,25=52\times 4=208$. (0,5 pt pour l'aire d'une dalle, 0,5 pt pour le nombre de dalles) (1)
4. d)$9^2=81$, donc le côté de la cour vaut $x=9$ m ; l'allée a pour aire $4\times 9+4=40$ m². (0,5 pt) (1)

Astuce — découper une figure en morceaux simples fournit une expression ; calculer la même aire d'une seconde manière, ici par différence de deux carrés, permet de contrôler le résultat.

1. a)$1+8=9=3^2$ ; $9+27=36=6^2$ ; $36+64=100={10}^2$. (0,5 pt pour les sommes, 0,5 pt pour les carrés) (1)
2. b)$1+2=3$, $3+3=6$, $6+4=10$ : on ajoute $2$, puis $3$, puis $4$. Le nombre suivant est $10+5=15$, d'où la prévision ${15}^2=225$. Vérification : $100+5^3=100+125=225$. (0,5 pt pour la prévision, 0,5 pt pour la vérification) (1)
3. c)Pour $n=4$ : ${\displaystyle \frac{4\times 5}{2}}={\displaystyle \frac{20}{2}}=10$, c'est bien le 4e nombre. Pour $n=5$ : ${\displaystyle \frac{5\times 6}{2}}={\displaystyle \frac{30}{2}}=15$, c'est bien le 5e. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Pour $n=10$ : ${\displaystyle \frac{10\times 11}{2}}=55$, donc la somme vaut ${55}^2=55\times 55=3025$. Ce n'est pas une preuve : la régularité n'a été vérifiée que sur quelques cas et la formule a été admise sans être démontrée. (0,5 pt pour le calcul, 0,5 pt pour l'explication) (1)

Piège — une régularité observée sur quelques exemples n'est qu'une conjecture : elle ne devient une propriété qu'une fois démontrée pour tous les cas.