Puissances : carré et cube d'un nombre

Notations a² et a³ (base, exposant), carré et cube d’un entier ou d’un décimal, lien avec l’aire du carré et le volume du cube, carrés parfaits de 0 à 12 et cube de 10, écrire un nombre sous la forme d’un carré ou d’un cube, calculer une expression avec des puissances (priorités, expression littérale).

À propos de cette page

Six problèmes corrigés sur les carrés et les cubes : le carrelage d’une pièce carrée, les cubes d’un menuisier, l’échiquier et le casse-tête cubique, la contenance d’un aquarium cubique en litres, un programme de calcul qui donne des carrés et des sommes de cubes qui forment des carrés parfaits.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis tout l’énoncé et je repère ce qui est un côté, une arête, une aire ou un volume (et les unités).
Je choisis la puissance : une aire de carré → un carré (c²) ; un volume de cube ou un empilement de cubes → un cube (a³).
Je convertis si besoin avant de calculer (50 cm = 0,5 m ; 1 L = 1 000 cm³).
Je calcule en respectant les priorités, puis je vérifie avec la table des carrés et des cubes.
Je réponds par une phrase, avec l’unité (cm², m³, L…).

Problème 1 · Le carrelage★★★Facile

On veut carreler le sol d’une pièce carrée de

6

m de côté avec des carreaux carrés de

50

cm de côté.

1. Quelle est l’aire du sol de la pièce, en m² ?
$6^{2} = 6 \times 6 = 36$ m².
2. Quelle est l’aire d’un carreau, en m² ?
$50$ cm $= 0, 5$ m ; $0, 5^{2} = 0, 5 \times 0, 5 = 0, 25$ m².
3. Combien de carreaux faut-il ?
$36 \div 0, 25 = 144$ carreaux.
Autre façon : $6$ m $= 600$ cm, soit $600 \div 50 = 12$ carreaux par côté, et $12^{2} = 144$ .
4. Une autre pièce carrée a une aire de $49$ m². Quelle est la longueur de son côté, en m ?
$7^{2} = 7 \times 7 = 49$ : le côté mesure $7$ m.

Problème 2 · Les cubes du menuisier★★★Moyen

Un menuisier fabrique des cubes en bois. Le petit modèle a une arête de

5

cm, le grand modèle une arête de

10

cm.

1. Quel est le volume du petit cube, en cm³ ?
$5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125$ cm³.
2. Quel est le volume du grand cube, en cm³ ?
$10^{3} = 10 \times 10 \times 10 = 1 000$ cm³.
3. Le volume du grand cube est combien de fois celui du petit ?
$1 000 \div 125 = 8$ . L’arête a doublé, et le volume est multiplié par $2^{3} = 8$ , pas par $2$ .
4. Il fabrique un modèle géant dont l’arête est le triple de celle du petit. Son volume est combien de fois celui du petit ?
L’arête mesure $3 \times 5 = 15$ cm, donc le volume vaut $15^{3} = 225 \times 15 = 3 375$ cm³.
$3 375 \div 125 = 27 = 3^{3}$ : tripler l’arête multiplie le volume par $27$ .

Problème 3 · Jeux de société★★★Moyen

Un échiquier est un carré de

8

cases de côté. Un casse-tête cubique est formé de petits cubes :

3

rangées de

3

petits cubes, sur

3

étages.

1. Combien de cases compte l’échiquier ?
$8^{2} = 8 \times 8 = 64$ cases.
2. Combien de petits cubes compte le casse-tête ?
$3 \times 3 \times 3 = 3^{3} = 27$ petits cubes.
3. Un casse-tête plus grand a $4$ petits cubes par côté. Combien de petits cubes compte-t-il ?
$4^{3} = 4 \times 4 \times 4 = 64$ petits cubes.
4. Dans ce grand casse-tête, combien de petits cubes sont cachés au centre (ils ne touchent aucune face extérieure) ?
En retirant la couche extérieure, il reste un cube de $2$ petits cubes par côté : $2^{3} = 8$ petits cubes cachés.

Problème 4 · L’aquarium★★★Difficile

Un aquarium a la forme d’un cube de

40

cm d’arête. On rappelle que

1

= 1 000

cm³.

1. Quel est le volume de l’aquarium, en cm³ ?
$40^{3} = 40 \times 40 \times 40 = 64 000$ cm³ (car $4^{3} = 64$ et $10^{3} = 1 000$ ).
2. Quelle est sa contenance, en litres ?
$64 000 \div 1 000 = 64$ L.
3. Quelle est la contenance d’un aquarium cubique de $50$ cm d’arête, en litres ?
$50^{3} = 125 000$ cm³, et $125 000 \div 1 000 = 125$ L.
4. Quelle arête, en cm, faut-il pour un aquarium cubique de $27$ L ?
$27$ L $= 27 000$ cm³. Or $27 = 3^{3}$ et $1 000 = 10^{3}$ , donc $30^{3} = 27 000$ : l’arête mesure $30$ cm.

Problème 5 · Le programme de calcul★★★Difficile

Programme : « Choisis un nombre. Calcule son carré. Ajoute le double du nombre choisi. Ajoute

1

. »

1. Quel résultat obtient-on en partant de $4$ ?
Carré : $4^{2} = 16$ ; double : $2 \times 4 = 8$ ; résultat : $16 + 8 + 1 = 25$ .
2. Quel résultat obtient-on en partant de $7$ ?
Carré : $7^{2} = 49$ ; double : $2 \times 7 = 14$ ; résultat : $49 + 14 + 1 = 64$ .
3. Le résultat obtenu en partant de $7$ est le carré de quel nombre entier ?
$64 = 8^{2}$ . De même, en partant de $4$ , on obtient $25 = 5^{2}$ : le résultat semble être le carré du nombre qui suit le nombre choisi.
4. Quel résultat obtient-on en partant de $1, 5$ ?
Carré : $1, 5^{2} = 2, 25$ ; double : $2 \times 1, 5 = 3$ ; résultat : $2, 25 + 3 + 1 = 6, 25$ .
On retrouve la remarque : $2, 5^{2} = 6, 25$ , et $2, 5$ est le nombre choisi augmenté de $1$ .

Problème 6 · Des cubes qui font des carrés★★★Difficile

On additionne les cubes des premiers nombres entiers. Par exemple :

1^{3} + 2^{3} = 1 + 8 = 9

, et

9 = 3^{2}

1. Calcule $1^{3} + 2^{3} + 3^{3}$ .
$1 + 8 + 27 = 36$ .
2. Ce résultat est le carré de quel nombre entier ?
$6^{2} = 36$ .
3. Calcule $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3}$ .
$36 + 64 = 100$ , et $100 = 10^{2}$ .
4. Les bases des carrés obtenus sont $3 = 1 + 2$ , $6 = 1 + 2 + 3$ , $10 = 1 + 2 + 3 + 4$ . Prévois la valeur de $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + 5^{3}$ .
La base devrait être $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ , donc le résultat $15^{2} = 225$ .
Vérification : $100 + 5^{3} = 100 + 125 = 225$ ✓

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