Puissances : carré et cube d'un nombre

Calcule de tête.

1. $8^2=$
   $8^2=8\times 8=64$.
2. ${30}^2=$
   ${30}^2=30\times 30=900$ : on calcule $3\times 3=9$, puis on écrit les deux zéros.
3. $7^3=$
   $7^3=7\times 7\times 7$ : $7\times 7=49$, puis $49\times 7=343$.

Calcule. Pour un décimal, calcule sans la virgule, puis place-la.

1. $0,9^2=$
   $9\times 9=81$, avec $2$ chiffres après la virgule : $0,9^2=0,81$.
   Le carré est plus petit que $0,9$ : normal, car $0,9$ est compris entre $0$ et $1$.
2. $2,1^2=$
   $21\times 21=441$, avec $2$ chiffres après la virgule : $2,1^2=4,41$.
3. $0,1^3=$
   $0,1\times 0,1=0,01$, puis $0,01\times 0,1=0,001$ : trois chiffres après la virgule.
4. $1,2^3=$
   $1,2\times 1,2=1,44$, puis $1,44\times 1,2=1,728$.

Aires, volumes et raisonnement.

1. Aire d’un carré de côté $4,5$ cm : cm²
   $4,5^2=4,5\times 4,5$ : $45\times 45=2025$, avec $2$ chiffres après la virgule : $20,25$ cm².
2. Volume d’un cube d’arête $20$ cm : cm³
   ${20}^3=20\times 20\times 20=8000$ cm³ (car $2^3=8$ et ${10}^3=1000$). C’est $8$ L.
3. On triple le côté d’un carré. Son aire est multipliée par
   Le côté est multiplié par $3$, donc l’aire (côté $\times$ côté) est multipliée par $3\times 3=3^2=9$.
4. $3^2$ et $2^3$ ne sont pas égaux : $3^2-2^3=$
   $3^2=3\times 3=9$ et $2^3=2\times 2\times 2=8$ : la différence est $9-8=1$. On ne peut pas échanger la base et l’exposant.
5. $1$ m³ $=$ dm³
   $1$ m $=10$ dm, donc $1$ m³ $={10}^3$ dm³ $=1000$ dm³.

Retrouve le nombre positif.

1. Le nombre positif dont le carré est $16$ :
   $4^2=4\times 4=16$.
2. Le nombre positif dont le carré est $121$ :
   ${11}^2=11\times 11=121$.
3. Le nombre positif dont le carré est $100$ :
   ${10}^2=10\times 10=100$.
4. Le nombre dont le cube est $64$ :
   $4^3=4\times 4\times 4=16\times 4=64$.
5. Le nombre dont le cube est $27$ :
   $3^3=3\times 3\times 3=9\times 3=27$.

Complète l’exposant ou la base.

1. $1000={10}^{\dots }$ : l’exposant est
   $1000=10\times 10\times 10$ : trois facteurs $10$, donc $1000={10}^3$.
2. $6\times 6\times 6=6^{\dots }$ : l’exposant est
   Trois facteurs égaux à $6$ : c’est $6^3$ (qui vaut $216$).
3. $225={\dots }^2$ : la base est
   $15\times 15=225$, donc $225={15}^2$.
4. $4900={\dots }^2$ : la base est
   $49=7^2$ et $100={10}^2$ ; $70\times 70=4900$, donc $4900={70}^2$.
5. $8000000={\dots }^3$ : la base est
   $8=2^3$ et $1000000={100}^3$ ; $200\times 200\times 200=8000000$, donc $8000000={200}^3$.

Raisonne avec les carrés et les cubes.

1. Un carré a une aire de $0,49$ m². Son côté mesure m
   $49=7^2$, donc je pense à $0,7$ : $0,7\times 0,7=0,49$. Le côté mesure $0,7$ m.
2. Un cube a un volume de $8$ dm³. Son arête mesure dm
   $2^3=2\times 2\times 2=8$ : l’arête mesure $2$ dm.
3. Le nombre positif dont le carré est $0,04$ :
   $4=2^2$, donc je pense à $0,2$ : $0,2\times 0,2=0,04$.
4. Nombre de carrés parfaits compris entre $50$ et $150$ :
   Ce sont $64=8^2$, $81=9^2$, $100={10}^2$, $121={11}^2$ et $144={12}^2$ : il y en a $5$ ($7^2=49$ est trop petit, ${13}^2=169$ trop grand).

Calcule en respectant les priorités.

1. $4+3^2=$
   La puissance d’abord : $3^2=9$, puis $4+9=13$.
2. $(4+3{)}^2=$
   La parenthèse d’abord : $4+3=7$, puis $7^2=49$.
3. $2\times 6^2=$
   La puissance avant le produit : $6^2=36$, puis $2\times 36=72$ (et non ${12}^2=144$).
4. $20-4^2=$
   $4^2=16$, puis $20-16=4$.
5. $(2\times 3{)}^3=$
   La parenthèse d’abord : $2\times 3=6$, puis $6^3=36\times 6=216$.

Calcule en écrivant une étape par ligne sur ton brouillon.

1. $5^2+2^3=$
   Les deux puissances d’abord : $25+8=33$.
2. ${10}^2-7^2=$
   $100-49=51$.
3. $(10-7{)}^2=$
   La parenthèse d’abord : $10-7=3$, puis $3^2=9$. Ce n’est pas ${10}^2-7^2$.
4. $3\times 2^3-4=$
   Puissance : $2^3=8$ ; produit : $3\times 8=24$ ; enfin $24-4=20$.
5. $50-2\times 4^2=$
   Puissance : $4^2=16$ ; produit : $2\times 16=32$ ; enfin $50-32=18$.

Calcule la valeur de l’expression pour la valeur de $x$ donnée.

1. Pour $x=5$ : $x^2+3=$
   Le carré d’abord : $5^2=25$ ; puis $25+3=28$.
2. Pour $x=2$ : $3x^3=$
   $3x^3$ signifie $3\times x^3$ : $3\times 2^3=3\times 8=24$.
3. Pour $x=6$ : $(x-2{)}^2=$
   La parenthèse d’abord : $6-2=4$, puis $4^2=16$.
4. Pour $x=1,5$ : $2x^2=$
   $2\times 1,5^2=2\times 2,25=4,5$.
5. Pour $x=10$ : $x^3-x^2=$
   ${10}^3-{10}^2=1000-100=900$.