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Puissances : carré et cube d'un nombre
Notations a² et a³ (base, exposant), carré et cube d’un entier ou d’un décimal, lien avec l’aire du carré et le volume du cube, carrés parfaits de 0 à 12 et cube de 10, écrire un nombre sous la forme d’un carré ou d’un cube, calculer une expression avec des puissances (priorités, expression littérale).
À propos de cette page
Carré et cube d’un nombre
Multiplier un nombre par lui-même revient très souvent : l’aire d’un carré (côté × côté), le volume d’un cube (arête × arête × arête). On a donc inventé une écriture courte.
Le cube d’un nombre a est le produit de trois facteurs égaux à a : a³ = a × a × a. On lit « a au cube » ou « a exposant 3 ».
a² et a³ sont des puissances de a. Dans 5³, le nombre 5 est la base et le petit 3 est l’exposant : il indique le nombre de facteurs égaux à 5.
7² = 7 × 7 = 49 · 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 (et non 6)
1,5² = 1,5 × 1,5 = 2,25 · 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
0,5³ = 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,125 · 1,1³ = 1,1 × 1,1 × 1,1 = 1,331
Pour un cube, on calcule d’abord le carré, puis on multiplie encore une fois : 4³ = 4² × 4 = 16 × 4 = 64
Cas particuliers : 0² = 0 · 1² = 1 · 1³ = 1
Le carré d’un nombre plus grand que 1 est plus grand que ce nombre (1,5² = 2,25). Le carré d’un nombre compris entre 0 et 1 est plus petit que ce nombre : 0,5² = 0,25, et 0,25 < 0,5.
Aire du carré, volume du cube : d’où viennent les mots
L’exposant se retrouve dans l’unité : cm² pour une aire (2 dimensions), cm³ pour un volume (3 dimensions).
Un carré de 5 cm de côté a une aire de 5² = 25 cm². Un cube de 4 cm d’arête a un volume de 4³ = 64 cm³.
Un carré de 10 cm de côté (le double de 5 cm) a une aire de 10² = 100 cm², soit 4 fois plus : doubler le côté multiplie l’aire par 2² = 4. Doubler l’arête d’un cube multiplie son volume par 2³ = 8.
1 dm = 10 cm, donc 1 dm³ = 10³ cm³ = 1 000 cm³ (c’est 1 L) ; 1 m = 100 cm, donc 1 m² = 100² cm² = 10 000 cm².
Réflexe — pour un décimal, je calcule sans la virgule, puis je place autant de chiffres après la virgule qu’en tout dans les facteurs : pour 0,3², je calcule 3 × 3 = 9 et je place 2 chiffres après la virgule, ce qui donne 0,09.
Attention — 7² n’est pas 7 × 2 : l’exposant ne multiplie pas, il compte les facteurs (7² vaut 49 ; 7 × 2 vaut 14). De même, 2³ vaut 8 mais 3² vaut 9 : on ne peut pas échanger la base et l’exposant. Et 0,3² vaut 0,09, pas 0,9.
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Carrés parfaits ; écrire un nombre sous la forme d’un carré ou d’un cube
À connaître par cœur : les carrés des entiers de 0 à 12 et le cube de 10 : 10³ = 1 000. Les carrés de 13, 14, 15 et les cubes de 2 à 5 sont très utiles.
| a | a² | a | a² | a | a² | a | a² |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 4 | 16 | 8 | 64 | 12 | 144 |
| 1 | 1 | 5 | 25 | 9 | 81 | 13 | 169 |
| 2 | 4 | 6 | 36 | 10 | 100 | 14 | 196 |
| 3 | 9 | 7 | 49 | 11 | 121 | 15 | 225 |
| a | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| a³ | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 1 000 |
Écrire un nombre sous la forme d’un carré ou d’un cube
81 = 9² · 125 = 5³ · 1 000 000 = 100³ = 1 000² (ce nombre est à la fois un carré et un cube)
Question inverse : « quel nombre positif a pour carré 144 ? » Dans la table, 12² = 144 : c’est 12. « Quel nombre a pour cube 8 ? » C’est 2, car 2³ = 8.
Un carré a une aire de 1,69 m² : son côté mesure 1,3 m, car 1,3² = 1,69. Un cube a un volume de 1 000 cm³ (1 L) : son arête mesure 10 cm, car 10³ = 1 000.
Avec des décimaux : pour 1,44, je pense à 144 = 12² ; le nombre cherché est 1,2. Pour 0,008, je pense à 8 = 2³ : c’est 0,2. Vérification : 1,2² = 1,44 ✓ et 0,2³ = 0,008 ✓
Deux astuces de contrôle
Les écarts entre deux carrés parfaits qui se suivent sont les nombres impairs 1, 3, 5, 7, 9… : 16 + 9 = 25, puis 25 + 11 = 36. Un carré parfait ne se termine jamais par 2, 3, 7 ou 8 : 47 et 58 ne sont donc pas des carrés parfaits.
Réflexe — pour retrouver le nombre de départ, je cherche dans la table, puis je vérifie en recalculant son carré ou son cube.
Attention — le nombre positif qui a pour carré 36 est 6, et non la moitié de 36 : on cherche un nombre qui, multiplié par lui-même, donne 36. De même, 0,09 est le carré de 0,3, pas de 0,03 (le carré de 0,03 est 0,0009).
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Calculer une expression avec des puissances
1. les calculs entre parenthèses ;
2. les puissances (carrés, cubes) ;
3. les multiplications et divisions ;
4. les additions et soustractions.
L’exposant ne porte que sur le nombre qu’il touche, ou sur toute la parenthèse s’il est placé juste après elle.
3 + 2² = 3 + 4 = 7 mais (3 + 2)² = 5² = 25
2 × 5² = 2 × 25 = 50 mais (2 × 5)² = 10² = 100
10 − 2³ = 10 − 8 = 2
4² − 3² = 16 − 9 = 7 mais (4 − 3)² = 1² = 1
Avec une lettre
Dans une expression littérale, 2x² signifie 2 × x² : l’exposant ne porte que sur x. Pour calculer sa valeur, on remplace la lettre par le nombre, puis on applique les priorités.
2x² + 1 = 2 × 3² + 1 = 2 × 9 + 1 = 18 + 1 = 19
(2x)² + 1 = (2 × 3)² + 1 = 6² + 1 = 36 + 1 = 37
x² = 3² = 9, alors que 2x = 2 × 3 = 6 : il ne faut pas confondre x² et 2x.
A = 4 × (1 + 2)² − 2³
A = 4 × 3² − 2³ (parenthèse)
A = 4 × 9 − 8 (puissances)
A = 36 − 8 (produit)
A = 28
Réflexe — avant de calculer, je repère les puissances : je les calcule juste après les parenthèses, avant toute multiplication.
Attention — 5 + 2² vaut 5 + 4 = 9, et non 7² = 49 : on n’additionne pas avant de calculer la puissance. De même, 2 × 5² ne vaut pas 10².
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Pour aller plus loin
Pour la suite — les priorités sans puissances (parenthèses, × et ÷ avant + et −, de gauche à droite à priorité égale) sont dans Opérations : vocabulaire et priorités opératoires ; les conventions d’écriture et le calcul d’une expression littérale en général, dans Calcul littéral : produire et calculer une expression ; le volume du cube et du pavé et les conversions de volumes et de contenances, dans Volumes : pavé, prisme droit, cylindre ; les conversions d’aires, dans Aires : parallélogramme, triangle, disque.
Se verra en 4e — les puissances d’exposant plus grand que 3 (3 × 3 × 3 × 3 s’écrira 3⁴), les puissances de 10 et les produits de puissances ; le carré d’une fraction, qui demande de multiplier des fractions ; la racine carrée, notation du nombre positif dont on connaît le carré.
- a² = a × a (« a au carré ») et a³ = a × a × a (« a au cube ») : l’exposant compte les facteurs égaux à la base ; 7² = 49, pas 14.
- Aire d’un carré de côté c : c² (en cm², m²…) ; volume d’un cube d’arête a : a³ (en cm³, m³…).
- Carrés parfaits à connaître : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 ; et le cube de 10 : 10³ = 1 000.
- Écrire un nombre comme un carré ou un cube : 81 = 9², 125 = 5³ ; on retrouve le nombre de départ dans la table, puis on vérifie.
- Ordre des calculs : parenthèses, puissances, × et ÷, + et − ; (3 + 4)² n’est pas égal à 3² + 4².
Questions fréquentes
Que signifient a² et a³ ?
a² (« a au carré ») est le produit a × a et a³ (« a au cube ») est le produit a × a × a. Le petit nombre, l’exposant, compte les facteurs égaux à la base : 6² = 6 × 6 = 36 et 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
Pourquoi 7² ne vaut-il pas 14 ?
Parce que l’exposant ne multiplie pas la base : il indique combien de fois elle est facteur. 7² = 7 × 7 = 49, alors que 7 × 2 = 14. De même, 2³ = 8 et non 6.
Quels carrés faut-il connaître par cœur en 5e ?
Les carrés des entiers de 0 à 12 : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, ainsi que le cube de 10 : 10³ = 1 000. On les appelle des carrés parfaits ; 169, 196 et 225 (carrés de 13, 14 et 15) sont aussi très utiles.
Comment retrouver un nombre à partir de son carré ?
On cherche dans la table des carrés parfaits, puis on vérifie : le nombre positif qui a pour carré 121 est 11, car 11² = 121. Avec un décimal, on s’appuie sur l’entier : 1,21 = 1,1², car 11² = 121.
Dans quel ordre calculer une expression avec des puissances ?
D’abord les parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions : 1 + 3 × 2² = 1 + 3 × 4 = 13, alors que (1 + 3)² = 4² = 16.
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