Que signifie le carré d'un nombre ?

Le carré d'un nombre $a$, noté $a^2$, est le produit de ce nombre par lui-même : $a^2 = a \times a$. Par exemple $7^2 = 7 \times 7 = 49$, et non $7 \times 2 = 14$.

Que signifie le cube d'un nombre ?

Le cube d'un nombre $a$, noté $a^3$, est le produit de trois facteurs égaux à $a$ : $a^3 = a \times a \times a$. Par exemple $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$ et $10^3 = 1\,000$.

Quels carrés parfaits faut-il connaître en 5e ?

Les carrés des entiers de 0 à 12 : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. Il est utile de connaître aussi 13² = 169, 14² = 196 et 15² = 225.

Dans un calcul, quand calcule-t-on la puissance ?

Les puissances se calculent avant les multiplications, les divisions, les additions et les soustractions, sauf si des parenthèses imposent un autre ordre : $3 + 2^2 = 7$ mais $(3 + 2)^2 = 25$.

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Puissances : carré et cube d'un nombre

Notations $a^{2}$ et $a^{3}$ , carrés parfaits jusqu'à 15², cubes jusqu'à 5³ et cube de 10, lien avec l'aire et le volume, priorités de calcul avec les puissances (programme de 5e)

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Puissances : carré et cube d'un nombre » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Le carré d'un nombre, Les carrés parfaits à connaître, Le cube d'un nombre, Aire du carré, volume du cube : d'où viennent les mots. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.

Le carré d'un nombre

Définition. Le carré d'un nombre

a

est le produit de ce nombre par lui-même. On le note

a^{2}

et on lit «

a

au carré » ou «

a

exposant 2 » :

a^{2} = a \times a

Le petit

2

s'appelle l'exposant : il indique le nombre de facteurs égaux à

a

Exemples.

7^{2} = 7 \times 7 = 49

;

12^{2} = 12 \times 12 = 144

;

1, 5^{2} = 1, 5 \times 1, 5 = 2, 25

;

0, 3^{2} = 0, 09

;

{(\frac{2}{5})}^{2} = \frac{4}{25}

Attention !

7^{2}

n'est pas

7 \times 2

. L'exposant ne se multiplie pas : il compte les facteurs.

7^{2} = 49

alors que

7 \times 2 = 14

Cas particuliers.

0^{2} = 0

1^{2} = 1

. Le carré d'un nombre compris entre

0

1

est plus petit que ce nombre :

0, 5^{2} = 0, 25

Les carrés parfaits à connaître

Définition. Un carré parfait est le carré d'un nombre entier :

0, 1, 4, 9, 16, 25

… Le programme demande de connaître par cœur les carrés des entiers de

0

12

; ceux de

13

14

15

sont très utiles.

$a$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
$a^{2}$	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225

Astuce. Les écarts entre deux carrés parfaits consécutifs sont les nombres impairs :

1, 3, 5, 7, 9

… (

16 + 9 = 25

25 + 11 = 36

). Un carré parfait ne se termine jamais par

2

3

7

8

Le cube d'un nombre

Définition. Le cube d'un nombre

a

est le produit de trois facteurs égaux à

a

. On le note

a^{3}

et on lit «

a

au cube » ou «

a

exposant 3 » :

a^{3} = a \times a \times a

$a$	1	2	3	4	5	10
$a^{3}$	1	8	27	64	125	1 000

Exemples.

2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8

(et non

6

) ;

10^{3} = 10 \times 10 \times 10 = 1 000

;

0, 5^{3} = 0, 5 \times 0, 5 \times 0, 5 = 0, 125

;

1, 1^{3} = 1, 331

Astuce. Pour calculer un cube, calcule d'abord le carré puis multiplie encore une fois :

4^{3} = 4^{2} \times 4 = 16 \times 4 = 64

Attention !

2^{3} = 8

mais

3^{2} = 9

: l'exposant et la base ne jouent pas le même rôle, on ne peut pas les échanger.

Aire du carré, volume du cube : d'où viennent les mots

Les mots « carré » et « cube » viennent de la géométrie.

Propriétés.
• L'aire d'un carré de côté

c

est

c \times c = c^{2}

.
• Le volume d'un cube d'arête

a

est

a \times a \times a = a^{3}

Exemples. Un carré de

7

cm de côté a une aire de

7^{2} = 49

cm². Un cube de

3

cm d'arête a un volume de

3^{3} = 27

cm³.

L'exposant se retrouve dans l'unité. cm² pour une aire (2 dimensions), cm³ pour un volume (3 dimensions). C'est aussi pour cela que

1

dm³

= 10^{3}

cm³

= 1 000

cm³ (

= 1

L) et que

1

m²

= 100^{2}

cm²

= 10 000

cm².

Attention ! Si on double le côté d'un carré, son aire est multipliée par

2^{2} = 4

; si on double l'arête d'un cube, son volume est multiplié par

2^{3} = 8

, pas par

2

Priorités de calcul avec les puissances

Règle. Dans un calcul, on effectue dans l'ordre : ① les parenthèses, ② les puissances, ③ les multiplications et divisions, ④ les additions et soustractions.

Exemples.

3 + 2^{2} = 3 + 4 = 7

mais

(3 + 2)^{2} = 5^{2} = 25

2 \times 5^{2} = 2 \times 25 = 50

mais

(2 \times 5)^{2} = 10^{2} = 100

10 - 2^{3} = 10 - 8 = 2

4^{2} - 3^{2} = 16 - 9 = 7

mais

(4 - 3)^{2} = 1^{2} = 1

Attention ! Le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés :

(3 + 4)^{2} = 49

alors que

3^{2} + 4^{2} = 25

. Même chose pour le cube.

Expression littérale. Pour

x = 3

2 x^{2} + 1 = 2 \times 9 + 1 = 19

, tandis que

(2 x)^{2} + 1 = 6^{2} + 1 = 37

. L'exposant ne porte que sur ce qui le touche, sauf parenthèses.

Retrouver un nombre à partir de son carré ou de son cube

Question inverse : « quel nombre positif a pour carré $144$ ? » On cherche dans la table des carrés parfaits : $12^{2} = 144$ , donc c'est $12$ .

Écrire un nombre sous forme de puissance.

81 = 9^{2}

;

125 = 5^{3}

;

1 000 000 = 100^{3} = 1 000^{2}

;

64 = 8^{2} = 4^{3}

(à la fois un carré et un cube).

Exemples. Un carré a une aire de

2, 25

m² : son côté mesure

1, 5

m car

1, 5^{2} = 2, 25

. Un cube a un volume de

27

dm³ : son arête mesure

3

dm car

3^{3} = 27

Astuce. Pour

1, 44

, pense à

144 = 12^{2}

: le nombre cherché est

1, 2

. Pour

0, 008

, pense à

8 = 2^{3}

: c'est

0, 2

. Vérifie ensuite :

1, 2^{2} = 1, 44

✓,

0, 2^{3} = 0, 008

✓. Une notation spéciale pour « le nombre positif dont le carré vaut… » sera introduite les années suivantes.

Méthodes et erreurs fréquentes

Les quatre erreurs classiques.
①

a^{2} = a \times 2

a^{3} = a \times 3

: non, l'exposant compte les facteurs.
② Calculer la somme avant la puissance :

5 + 2^{2} = 9

, pas

49

.
③ Distribuer le carré sur une somme :

(a + b)^{2} \neq a^{2} + b^{2}

.
④ Oublier la virgule :

0, 3^{2} = 0, 09

(deux chiffres après la virgule), pas

0, 9

Contrôle du résultat. Le carré d'un nombre supérieur à

1

est plus grand que ce nombre ; celui d'un nombre entre

0

1

est plus petit. Un carré parfait ne se termine jamais par

2

3

7

8

En bref

$a^{2} = a \times a$ (carré) et $a^{3} = a \times a \times a$ (cube) ; l'exposant compte les facteurs, il ne se multiplie pas.
Carrés parfaits : $0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225$ .
Cubes : $1, 8, 27, 64, 125$ et $10^{3} = 1 000$ .
Aire d'un carré de côté $c$ : $c^{2}$ ; volume d'un cube d'arête $a$ : $a^{3}$ .
Priorités : parenthèses, puis puissances, puis $\times$ $\div$ , puis $+$ $-$ ; $(a + b)^{2} \neq a^{2} + b^{2}$ .
Retrouver le nombre dont le carré vaut $169$ : c'est $13$ car $13^{2} = 169$ .

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