Le calcul littéral

Écris chaque expression sans les signes × inutiles (exemple : 4 × y s’écrit 4y). Pour un carré, tape ² ou ^2.

1. $6\times x$ s’écrit
   Le signe $\times$ disparaît devant une lettre : $6x$.
2. $x\times 8$ s’écrit
   Le nombre s’écrit devant la lettre : $x\times 8=8x$.
3. $a\times b$ s’écrit
   Deux lettres multipliées se collent, en général dans l’ordre alphabétique : $ab$.
4. $1\times n$ s’écrit
   On n’écrit pas le facteur 1 : $1\times n=n$.
5. $z\times z$ s’écrit
   $z\times z$ se note $z^2$, qui se lit « $z$ au carré ».
6. $7\times (x+3)$ s’écrit
   Le signe $\times$ disparaît aussi devant une parenthèse : $7(x+3)$.

Écris l’expression demandée ($n$ désigne un nombre entier). Pour une division, tape / ; pour un carré, tape ² ou ^2.

1. Le triple de $n$ :
   Trois fois $n$ : $3\times n=3n$.
2. La moitié de $n$ :
   On divise $n$ par 2 : ${\displaystyle \frac{n}{2}}$, qu’on peut aussi écrire $0,5n$.
3. Le successeur de $n$ :
   L’entier qui suit $n$ : $n+1$.
4. Le prédécesseur de $n$ :
   L’entier juste avant $n$ : $n-1$.
5. L’aire d’un carré de côté $n$ cm, en cm² :
   Aire du carré = côté × côté, soit $n\times n=n^2$.

Traduis chaque phrase ou programme par une expression en $x$ (tape / pour une division).

1. Le double de $x$, diminué de 3 :
   On double d’abord, puis on enlève 3 : $2x-3$.
2. Le double de la différence de $x$ et 3 :
   La différence $x-3$ est calculée d’abord, puis doublée : $2(x-3)$.
3. Le quart de la somme de $x$ et 6 :
   On additionne d’abord, puis on divise tout le résultat par 4 : ${\displaystyle \frac{x+6}{4}}$, qu’on tape (x+6)/4.
4. « Choisir $x$ ; ajouter 1 ; multiplier par 5 » :
   On ajoute 1 avant de multiplier : la parenthèse est indispensable, $5(x+1)$.
5. « Choisir $x$ ; multiplier par 4 ; enlever 9 » :
   La multiplication est faite en premier, elle passe déjà avant la soustraction : $4x-9$, sans parenthèses.

Calcule la valeur de l’expression pour la valeur indiquée.

1. $5x$ pour $x=3$ :
   $5x=5\times 3=15$ : le nombre collé à la lettre est un facteur.
2. $x+8$ pour $x=6$ :
   $6+8=14$.
3. $2x+1$ pour $x=10$ :
   $2\times 10+1=20+1=21$ : la multiplication d’abord.
4. $ab$ pour $a=4$ et $b=5$ :
   $ab$ signifie $a\times b=4\times 5=20$.
5. $y^2$ pour $y=7$ :
   $y^2=7\times 7=49$, et non $2\times 7$.

Calcule la valeur de chaque expression (attention aux priorités et aux parenthèses).

1. $4(x+2,5)$ pour $x=1,5$ :
   $4\times (1,5+2,5)=4\times 4=16$ : la parenthèse d’abord.
2. $3a+2b$ pour $a=1,2$ et $b=0,9$ :
   $3\times 1,2+2\times 0,9=3,6+1,8=5,4$.
3. ${\displaystyle \frac{n+11}{3}}$ pour $n=7$ :
   ${\displaystyle \frac{7+11}{3}}={\displaystyle \frac{18}{3}}=6$ : la barre de fraction agit comme des parenthèses.
4. $10-2y$ pour $y=3,5$ :
   $10-2\times 3,5=10-7=3$.
5. $x^2-x$ pour $x=4$ :
   $4\times 4-4=16-4=12$.

La lettre est remplacée par un nombre négatif : calcule.

1. $x+9$ pour $x=-4$ :
   $(-4)+9=5$.
2. $x-6$ pour $x=-1,5$ :
   $(-1,5)-6=-7,5$ : on s’éloigne encore de zéro vers la gauche.
3. $12-m$ pour $m=-3$ :
   $12-(-3)=12+3=15$ : soustraire $-3$, c’est ajouter 3.
4. $a+b$ pour $a=-7$ et $b=2,5$ :
   $(-7)+2,5=-4,5$.
5. $a-b$ pour $a=2$ et $b=8$ :
   $2-8=-6$.

Calcule les deux membres de l’égalité pour la valeur donnée, puis écris « vraie » ou « fausse ».

1. $2y+5=4y-1$ pour $y=3$ : à gauche , à droite ; l’égalité est
   À gauche : $2\times 3+5=11$. À droite : $4\times 3-1=11$. Même nombre : l’égalité est vraie pour $y=3$.
2. $5n-2=3n+6$ pour $n=2$ : à gauche , à droite ; l’égalité est
   À gauche : $5\times 2-2=8$. À droite : $3\times 2+6=12$. $8\ne 12$ : l’égalité est fausse pour $n=2$.
3. $x+10=3x$ pour $x=5$ : à gauche , à droite ; l’égalité est
   À gauche : $5+10=15$. À droite : $3\times 5=15$. L’égalité est vraie pour $x=5$.
4. $6a-7=a+9$ pour $a=3$ : à gauche , à droite ; l’égalité est
   À gauche : $6\times 3-7=11$. À droite : $3+9=12$. $11\ne 12$ : l’égalité est fausse pour $a=3$.

Teste les valeurs pour répondre.

1. Pour $x=4$, les deux membres de l’égalité $4x-3=2x+5$ prennent la même valeur. Laquelle ?
   À gauche : $4\times 4-3=16-3=13$. À droite : $2\times 4+5=8+5=13$. L’égalité est donc vraie pour $x=4$. Attention : $4x$ veut dire $4\times x$, pas « 44 ».
2. Teste les nombres entiers de 1 à 6 : pour quelle valeur de $x$ l’égalité $3x+1=2x+6$ est-elle vraie ?
   Pour $x=4$ : à gauche 13, à droite 14, c’est faux. Pour $x=5$ : $3\times 5+1=16$ et $2\times 5+6=16$, c’est vrai.
3. L’égalité $t\times t=3t$ est vraie pour deux des nombres 0 ; 2 ; 3 ; 7. Le plus petit est et le plus grand est
   $t=0$ : $0=0$, vraie. $t=2$ : $4$ et $6$, fausse. $t=3$ : $9$ et $9$, vraie. $t=7$ : $49$ et $21$, fausse. Ce sont 0 et 3.

Chaque affirmation est fausse : trouve le contre-exemple ou fais le calcul qui le prouve.

1. « Pour tout nombre $x$, $2x$ est plus grand que $x+1$. » Parmi 0 ; 3 ; 5, le contre-exemple est
   $x=3$ : $6>4$ ; $x=5$ : $10>6$ ; mais $x=0$ : $2\times 0=0$ et $0+1=1$, et $0<1$. Le contre-exemple est 0.
2. « Pour tout nombre $n$, $3(n+2)=3n+2$. » Pour $n=1$ : à gauche , à droite
   À gauche : $3\times (1+2)=9$. À droite : $3\times 1+2=5$. $9\ne 5$ : $n=1$ est un contre-exemple, l’affirmation est fausse.
3. « Pour tout nombre $a$, $a^2$ est plus grand que $a$. » Parmi 4 ; 0,5 ; 10, le contre-exemple est
   $4^2=16>4$ ; ${10}^2=100>10$ ; mais $0,5^2=0,5\times 0,5=0,25$ et $0,25<0,5$. Le contre-exemple est 0,5.
4. « Si on ajoute 1 au double d’un nombre entier $n$, on obtient toujours un multiple de 3. » C’est vrai pour $n=1$ ($2\times 1+1=3$). Pour $n=2$, on obtient
   $2\times 2+1=5$, qui n’est pas un multiple de 3 : $n=2$ est un contre-exemple. Un exemple qui marche ($n=1$) ne prouvait rien.