Combien de temps dure ce contrôle sur « Combinatoire et dénombrement » ?

120 minutes pour 5 exercices notés sur 20.

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Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.

Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de terminale ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Combinatoire et dénombrement » du programme officiel de spécialité mathématiques en terminale.

Spécialité Mathématiques Terminale

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Combinatoire et dénombrement

Principes additif et multiplicatif, k-uplets, factorielle et permutations, k-uplets d’éléments distincts, combinaisons, coefficients binomiaux, triangle de Pascal, mots et chemins.

À propos de cette page

Un devoir surveillé de deux heures sur 20 points, calculatrice autorisée, avec corrigé : factorielles et équation « 2 parmi n » = 210, bureau et commission d’une association, jetons de trois couleurs, démonstration de la relation de Pascal avec un programme Python, chemins dans un quadrillage.

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Devoir surveillé · ★★ et ★★★ · Durée 120 min · Noté sur 20

120:00

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Devoir surveillé – Combinatoire et dénombrement

Durée : 120 min – Calculatrice autorisée – Sur 20 points · Spécialité Mathématiques Terminale

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Factorielles et coefficients binomiaux ★★

(4 pts)

Dans cet exercice, $n$ désigne un entier naturel.

a)Calculer $(\binom{17}{3})$ .
b)Simplifier $\frac{(n + 2)!}{n!}$ .
c)Déterminer l’entier $n ⩾ 2$ tel que $(\binom{n}{2}) = 210$ .
d)Montrer que, pour tout entier $n ⩾ 3$ , $(\binom{n + 1}{2}) - (\binom{n - 1}{2}) = 2 n - 1$ .

Exercice 2 – Bureau et commission d’une association ★★

(4 pts)

Une association compte $20$ membres.

a)De combien de façons peut-on élire un bureau formé d’un président, d’un vice-président et d’un trésorier (trois personnes distinctes) ?
b)Combien de commissions de $3$ membres, sans fonction particulière, peut-on former ?
c)Lors d’un vote, chacun des $20$ membres répond « oui », « non » ou « abstention ». Combien de listes de votes individuels sont possibles ?
d)Un élève écrit : « il y a $20 \times 19 \times 18$ commissions de $3$ membres ». Expliquer son erreur.

Exercice 3 – Jetons de trois couleurs ★★

(4 pts)

Un sac contient $6$ jetons bleus, $4$ jaunes et $5$ verts. On tire simultanément $4$ jetons.

a)Combien de tirages sont possibles ?
b)Combien de tirages contiennent exactement $2$ jetons bleus ?
c)Combien de tirages contiennent au moins un jeton jaune ?
d)Combien de tirages contiennent des jetons des trois couleurs ?

Exercice 4 – Relation de Pascal et nombre de parties ★★★

(4 pts)

Dans cet exercice, $n$ et $k$ sont des entiers naturels.

a)Démontrer par un raisonnement de dénombrement que, pour $0 ⩽ k ⩽ n - 1$ , $(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1}) = (\binom{n + 1}{k + 1})$ .
b)
Voici une fonction Python qui remplit le triangle. Expliquer pourquoi l’indice k parcourt les valeurs en décroissant, puis donner la liste renvoyée par pascal(7).
```
def pascal(n):
    L = [1] + [0] * n
    for j in range(1, n + 1):
        for k in range(j, 0, -1):
            L[k] = L[k] + L[k - 1]
    return L
```
c)Justifier qu’un ensemble à $n$ éléments possède $2^{n}$ parties.
d)Combien de parties d’un ensemble à $7$ éléments ont un nombre pair d’éléments ?

Exercice 5 – Chemins dans un quadrillage ★★★

(4 pts)

Dans un repère, on relie $A (0; 0)$ à $B (8; 3)$ par des pas unitaires vers la droite ou vers le haut. On note $C (4; 2)$ .

a)Combien de chemins relient $A$ à $B$ ?
b)Combien de ces chemins passent par $C$ ?
c)On note $D (6; 1)$ . Justifier qu’aucun chemin ne passe à la fois par $C$ et par $D$ , puis compter les chemins de $A$ à $B$ qui passent par $C$ ou par $D$ .
d)Justifier, sans calcul, qu’il y a autant de chemins de $A$ à $B$ que de chemins de $A$ à $B' (3; 8)$ .

Bon courage !

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Corrigé et barème – Combinatoire et dénombrement

Durée : 120 min – Calculatrice autorisée – Sur 20 points · Spécialité Mathématiques Terminale

Exercice 1 – Factorielles et coefficients binomiaux ★★

(4 pts)

a) $(\binom{17}{3}) = \frac{17 \times 16 \times 15}{3!} = \frac{4 080}{6} = 680$ . (1)
b) $(n + 2)! = (n + 2) (n + 1) \times n!$ , donc $\frac{(n + 2)!}{n!} = (n + 2) (n + 1)$ . (1)
c) $(\binom{n}{2}) = \frac{n (n - 1)}{2}$ , donc $(\binom{n}{2}) = 210 ⟺ n (n - 1) = 420$ $⟺ n^{2} - n - 420 = 0$ . Le discriminant vaut $Δ = 1 + 1 680 = 1 681 = 41^{2}$ ; les racines sont $\frac{1 + 41}{2} = 21$ et $\frac{1 - 41}{2} = - 20$ . Comme $n$ est un entier naturel, $n = 21$ (contrôle : $\frac{21 \times 20}{2} = 210$ ). (1)
d)Pour $n ⩾ 3$ , on a $n + 1 ⩾ 2$ et $n - 1 ⩾ 2$ , donc on peut écrire : $(\binom{n + 1}{2}) - (\binom{n - 1}{2}) = \frac{(n + 1) n}{2} - \frac{(n - 1) (n - 2)}{2} .$ On développe : $(n + 1) n = n^{2} + n$ et $(n - 1) (n - 2) = n^{2} - 3 n + 2$ . La différence vaut $\frac{n^{2} + n - n^{2} + 3 n - 2}{2} = \frac{4 n - 2}{2} = 2 n - 1$ . (1)

Repère — On simplifie toujours un quotient de factorielles avant de calculer : n! se « range » dans (n + 2)!.

Exercice 2 – Bureau et commission d’une association ★★

(4 pts)

a)Les trois fonctions sont distinctes : l’ordre compte, sans répétition. Un bureau est un $3$ -uplet de membres distincts : $20 \times 19 \times 18 = 6 840$ bureaux. (1)
b)Une commission est une partie à $3$ éléments de l’ensemble des $20$ membres : $(\binom{20}{3}) = \frac{20 \times 19 \times 18}{3!} = \frac{6 840}{6} = 1 140$ commissions. (1)
c)Une liste de votes est un $20$ -uplet de ${oui; non; abstention}$ (ordre des membres fixé, répétitions permises) : $3^{20} = 3 486 784 401$ listes. (1)
d)Le produit $20 \times 19 \times 18$ compte des $3$ -uplets, donc des choix ordonnés. Une même commission ${a, b, c}$ y est comptée $3! = 6$ fois (une fois par ordre de ses membres). Il faut diviser par $6$ : on obtient $1 140$ . (1)

Repère — Des rôles différents : l’ordre compte. Un simple groupe : on divise par k! pour oublier l’ordre.

Exercice 3 – Jetons de trois couleurs ★★

(4 pts)

a)Le tirage est simultané : c’est une partie à $4$ éléments de l’ensemble des $15$ jetons, soit $(\binom{15}{4}) = 1 365$ tirages. (1)
b)On choisit $2$ bleus parmi $6$ , puis $2$ jetons parmi les $9$ non bleus ; par le principe multiplicatif : $(\binom{6}{2}) \times (\binom{9}{2}) = 15 \times 36 = 540$ tirages. (1)
c)Le contraire de « au moins un jaune » est « aucun jaune » : $4$ jetons parmi les $11$ non jaunes, soit $(\binom{11}{4}) = 330$ tirages. Par passage au complémentaire : $1 365 - 330 = 1 035$ tirages. (1)
d)Avec $4$ jetons et $3$ couleurs toutes présentes, une couleur apparaît exactement deux fois et les deux autres une fois. Ces trois cas sont disjoints. Deux bleus, un jaune, un vert : $15 \times 4 \times 5 = 300$ , car $(\binom{6}{2}) = 15$ . Un bleu, deux jaunes, un vert : $6 \times 6 \times 5 = 180$ , car $(\binom{4}{2}) = 6$ . Un bleu, un jaune, deux verts : $6 \times 4 \times 10 = 240$ , car $(\binom{5}{2}) = 10$ . Par le principe additif : $300 + 180 + 240 = 720$ tirages. (1)

Repère — « Exactement » : on choisit dans chaque catégorie et on multiplie ; « au moins » : on passe par le contraire.

Exercice 4 – Relation de Pascal et nombre de parties ★★★

(4 pts)

a)Soit $E$ un ensemble à $n + 1$ éléments et $a$ un élément fixé de $E$ . Les parties de $E$ à $k + 1$ éléments se rangent en deux familles disjointes. Celles qui contiennent $a$ : leurs $k$ autres éléments sont choisis parmi les $n$ éléments de $E$ différents de $a$ , soit $(\binom{n}{k})$ parties. Celles qui ne contiennent pas $a$ : leurs $k + 1$ éléments sont choisis parmi ces $n$ éléments, soit $(\binom{n}{k + 1})$ parties. Par le principe additif, $(\binom{n + 1}{k + 1}) = (\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1})$ . (1)
b)Au début du passage $j$ de la boucle, la liste contient la ligne $j - 1$ (complétée par des $0$ ) ; l’instruction $L [k] = L [k] + L [k - 1]$ applique la relation de Pascal $(\binom{j}{k}) = (\binom{j - 1}{k}) + (\binom{j - 1}{k - 1})$ . En parcourant $k$ en décroissant, la case $L [k - 1]$ contient encore l’ancienne valeur (ligne $j - 1$ ) au moment où on l’utilise ; en croissant, elle aurait déjà été remplacée. La fonction renvoie la ligne $7$ : $[1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1]$ . (1)
c)Notons $E = {e_{1}, \dots, e_{n}}$ . À une partie $A$ de $E$ , on associe le $n$ -uplet $(x_{1}, \dots, x_{n})$ de ${0; 1}^{n}$ défini par $x_{i} = 1$ si $e_{i} \in A$ , $x_{i} = 0$ sinon. Deux parties distinctes donnent deux $n$ -uplets distincts, et tout $n$ -uplet provient d’une partie (celle des $e_{i}$ tels que $x_{i} = 1$ ) : c’est une bijection. Donc le nombre de parties est $card ({0; 1}^{n}) = 2^{n}$ (principe multiplicatif). (1)
d)Une telle partie a $0$ , $2$ , $4$ ou $6$ éléments ; ces familles sont disjointes. Avec la ligne $7$ de la question 2, le principe additif donne $(\binom{7}{0}) + (\binom{7}{2}) + (\binom{7}{4}) + (\binom{7}{6}) = 1 + 21 + 35 + 7 = 64$ parties, soit la moitié des $2^{7} = 128$ parties. (1)

Repère — Fixer un élément et séparer les parties qui le contiennent de celles qui ne le contiennent pas : c’est la clé de la relation de Pascal.

Exercice 5 – Chemins dans un quadrillage ★★★

(4 pts)

a)Un chemin de $A$ à $B$ compte $8 + 3 = 11$ pas, dont $3$ vers le haut ; il est déterminé par les positions de ces $3$ pas : $(\binom{11}{3}) = 165$ chemins. (1)
b)Un tel chemin est un chemin de $A$ à $C$ suivi d’un chemin de $C$ à $B$ , choisis indépendamment. De $A$ à $C$ : $6$ pas dont $2$ vers le haut, $(\binom{6}{2}) = 15$ . De $C$ à $B$ : $4$ pas à droite et $1$ vers le haut, $(\binom{5}{1}) = 5$ . Par le principe multiplicatif : $15 \times 5 = 75$ chemins. (1)
c)Passer par $C (4; 2)$ puis par $D (6; 1)$ obligerait à descendre, et passer par $D$ puis par $C$ à revenir vers la gauche : impossible avec des pas vers la droite ou vers le haut. Les deux ensembles sont donc disjoints. Par $D$ : de $A$ à $D$ , $(\binom{7}{1}) = 7$ chemins ; de $D$ à $B$ , $2$ pas à droite et $2$ vers le haut, $(\binom{4}{2}) = 6$ chemins ; soit $7 \times 6 = 42$ . Par le principe additif : $75 + 42 = 117$ chemins. (1)
d)Échanger « droite » et « haut » dans un chemin de $A$ à $B$ donne un chemin de $A$ à $B'$ (symétrie d’axe la droite d’équation $y = x$ ), et en échangeant de nouveau on revient au chemin de départ : c’est une bijection entre les deux ensembles de chemins, qui ont donc le même cardinal. C’est la symétrie $(\binom{11}{3}) = (\binom{11}{8})$ . (1)

Repère — Un chemin est un mot : choisir les positions des pas vers le haut suffit à le décrire.

Pour aller plus loin : le devoir surveillé bilan « Dénombrement, loi binomiale et sommes de variables aléatoires » mélange ce chapitre avec d'autres, en 3 niveaux : niveau ★ · niveau ★★ · niveau ★★★.

Ce contrôle de spécialité mathématiques Terminale en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Combinatoire et dénombrement » : 5 exercices, 120 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Factorielles et coefficients binomiaux ★★/ 4 pts
Exercice 2 — Bureau et commission d’une association ★★/ 4 pts
Exercice 3 — Jetons de trois couleurs ★★/ 4 pts
Exercice 4 — Relation de Pascal et nombre de parties ★★★/ 4 pts
Exercice 5 — Chemins dans un quadrillage ★★★/ 4 pts

Notions évaluées

Principe additif, principe multiplicatif, complémentaire, k-uplets, nombre de parties, k-uplets d’éléments distincts, factorielle, permutations, combinaisons, coefficients binomiaux, symétrie, relation de Pascal, triangle de Pascal, mots et chemins.

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours et la fiche de révision.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (24 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 120 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

Voir tous les contrôles de spécialité mathématiques Terminale · tous les devoirs surveillés corrigés

Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Combinatoire et dénombrement » ?: 120 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de terminale ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Combinatoire et dénombrement » du programme officiel de spécialité mathématiques en terminale, soit : principe additif, principe multiplicatif ; k-uplets d’un ensemble fini ; nombre de parties d’un ensemble à n éléments ; k-uplets d’éléments distincts, factorielle, permutations ; combinaisons, coefficients binomiaux et leurs formules ; symétrie, relation et triangle de Pascal ; mots et chemins.

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