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Loi binomiale
Modélisation des épreuves répétées : schéma de Bernoulli, espérance et écart-type (programme de Terminale Spécialité Maths)
À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Loi binomiale » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Épreuve de Bernoulli, Répétition d'épreuves indépendantes — schéma de Bernoulli, Coefficients binomiaux, Loi binomiale : définition et formule. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.
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Épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ est une expérience aléatoire dont l'issue est binaire :
- Succès (noté $S$) avec la probabilité $p$ ($0 \lt p \lt 1$) ;
- Échec (noté $\overline{S}$) avec la probabilité $1 - p$, souvent notée $q = 1 - p$.
Variable de Bernoulli. On associe à une épreuve de Bernoulli la variable aléatoire $X$ définie par : $X = 1$ si succès, $X = 0$ si échec. Sa loi est donnée par :
$$P(X = 1) = p, \quad P(X = 0) = 1 - p.$$
On dit que $X$ suit la loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$.
$$P(X = 1) = p, \quad P(X = 0) = 1 - p.$$
On dit que $X$ suit la loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$.
Exemple. On lance un dé équilibré à 6 faces. « Obtenir 6 » est un succès. $p = \frac{1}{6}$, $q = \frac{5}{6}$. La variable $X = 1$ si on obtient 6, $X = 0$ sinon suit $\mathcal{B}\!\left(\frac{1}{6}\right)$.
L'espérance d'une variable de Bernoulli vaut $E(X) = p$ et sa variance $V(X) = p(1-p)$.
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Répétition d'épreuves indépendantes — schéma de Bernoulli
Schéma de Bernoulli. On dit qu'on réalise un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ lorsqu'on répète $n$ fois, de façon indépendante, la même épreuve de Bernoulli de paramètre $p$.
Les conditions essentielles sont :
- Chaque épreuve est identique (même $p$) ;
- Les épreuves sont mutuellement indépendantes : le résultat de l'une n'influe pas sur les autres ;
- Le nombre $n$ d'épreuves est fixé à l'avance.
Astuce : tirage avec ou sans remise ? Un tirage avec remise dans une urne réalise un schéma de Bernoulli. Un tirage sans remise ne l'est pas en général, sauf si la population est très grande devant l'échantillon (règle des 10 % : $n \leq 0{,}10 \times N$).
Exemple. On tire 5 cartes successivement avec remise dans un jeu de 52 cartes. « Tirer un as » est le succès ($p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$). On répète 5 fois → schéma de Bernoulli de paramètres $n = 5$, $p = \frac{1}{13}$.
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Coefficients binomiaux
Coefficient binomial. Pour $0 \leq k \leq n$ entiers, le coefficient binomial (ou « $k$ parmi $n$ ») est :
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$
où $n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n$ (convention : $0! = 1$).
$\binom{n}{k}$ compte le nombre de façons de choisir $k$ objets parmi $n$ sans tenir compte de l'ordre.
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Symétrie | $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ |
| Cas extrêmes | $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ |
| Relation de Pascal | $\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}$ |
| Somme totale | $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$ |
Exemple. $\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$. Sur la calculatrice : touche $nCr$ ou menu Proba.
Attention ! $\binom{n}{k}$ est toujours un entier naturel. Si votre calcul donne une fraction, recommencez.
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Loi binomiale : définition et formule
Loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$. Dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$, on note $X$ le nombre de succès obtenus. $X$ prend les valeurs $0, 1, 2, \ldots, n$ et :
$$\boxed{P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k \in \{0, 1, \ldots, n\}.}$$
On dit que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $X \sim \mathcal{B}(n, p)$.
Justification intuitive : une séquence précise de $k$ succès et $(n - k)$ échecs a la probabilité $p^k (1-p)^{n-k}$. Le nombre de telles séquences est $\binom{n}{k}$. On les additionne (elles sont mutuellement exclusives).
Exemple. On lance une pièce équilibrée 4 fois ($n = 4$, $p = 0{,}5$). Soit $X$ = nombre de piles.
$P(X = 2) = \binom{4}{2} \times (0{,}5)^2 \times (0{,}5)^2 = 6 \times 0{,}25 \times 0{,}25 = \frac{6}{16} = 0{,}375.$
$P(X = 2) = \binom{4}{2} \times (0{,}5)^2 \times (0{,}5)^2 = 6 \times 0{,}25 \times 0{,}25 = \frac{6}{16} = 0{,}375.$
Vérification : la somme $\sum_{k=0}^{n} P(X=k) = 1$ (formule du binôme de Newton : $(p + q)^n = 1^n = 1$).
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Représentation graphique de la loi binomiale
Le diagramme en barres (histogramme des probabilités) illustre la répartition des probabilités. Pour $\mathcal{B}(10, 0{,}4)$ :
Observations :
- Si $p \lt 0{,}5$ : la distribution est asymétrique vers les petites valeurs ;
- Si $p = 0{,}5$ : la distribution est symétrique par rapport à $\frac{n}{2}$ ;
- Si $p \gt 0{,}5$ : la distribution est asymétrique vers les grandes valeurs ;
- Le mode (valeur la plus probable) est proche de $np$.
Astuce. Plus $n$ est grand, plus la distribution ressemble à une cloche (loi normale). C'est la base du cours suivant sur la loi normale.
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Espérance, variance et écart-type
Paramètres de $\mathcal{B}(n, p)$.
Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$, alors :
Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$, alors :
| Paramètre | Formule | Interprétation |
|---|---|---|
| Espérance | $E(X) = np$ | Nombre moyen de succès |
| Variance | $V(X) = np(1-p)$ | Dispersion quadratique |
| Écart-type | $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$ | Dispersion autour de la moyenne |
Exemple. Un élève répond au hasard à un QCM de 20 questions à 4 réponses possibles. Soit $X$ le nombre de bonnes réponses. $X \sim \mathcal{B}\!\left(20, \frac{1}{4}\right)$.
$E(X) = 20 \times 0{,}25 = 5$.
$V(X) = 20 \times 0{,}25 \times 0{,}75 = 3{,}75$.
$\sigma(X) = \sqrt{3{,}75} \approx 1{,}94$.
$E(X) = 20 \times 0{,}25 = 5$.
$V(X) = 20 \times 0{,}25 \times 0{,}75 = 3{,}75$.
$\sigma(X) = \sqrt{3{,}75} \approx 1{,}94$.
Attention ! Ces formules ne sont valables que pour la loi binomiale. Ne pas les appliquer à une loi quelconque sans vérifier.
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Utilisation de la calculatrice et des tables
En pratique, les probabilités se calculent avec la calculatrice (TI, Casio, NumWorks) ou un logiciel.
| Calcul | TI-83/84 | Casio Graph 90 | NumWorks |
|---|---|---|---|
| $P(X = k)$ | $binompdf(n,p,k)$ | $BinomPD(k,n,p)$ | Menu Probabilités → Binomiale → Densité |
| $P(X \leq k)$ | $binomcdf(n,p,k)$ | $BinomCD(k,n,p)$ | Menu Probabilités → Binomiale → Cumul |
Astuce. $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$. Ne pas oublier le « $-1$ ».
Exemple. $X \sim \mathcal{B}(15, 0{,}3)$. Calculer $P(X \geq 5)$.
$P(X \geq 5) = 1 - P(X \leq 4) = 1 - \text{binomcdf}(15, 0{,}3, 4) \approx 1 - 0{,}5155 \approx 0{,}485.$
$P(X \geq 5) = 1 - P(X \leq 4) = 1 - \text{binomcdf}(15, 0{,}3, 4) \approx 1 - 0{,}5155 \approx 0{,}485.$
Attention ! Sur certaines calculatrices, la fonction $binomcdf$ calcule $P(X \leq k)$ (cumul à gauche). Vérifiez toujours la convention de votre modèle.
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Applications et pièges classiques
La loi binomiale modélise de nombreuses situations concrètes :
- Contrôle qualité : nombre de pièces défectueuses dans un lot ;
- Médecine/biologie : nombre de patients guéris dans un essai clinique ;
- Jeux de hasard : nombre de fois qu'un événement se réalise sur $n$ tentatives ;
- Sondages : nombre d'individus partageant un avis dans un échantillon (avec la règle des 10 %).
Pièges classiques.
• Vérifier que les épreuves sont bien indépendantes. Si la population est petite et le tirage sans remise, la loi hypergéométrique conviendrait mieux.
• Ne pas confondre $P(X = k)$ et $P(X \leq k)$.
• $\binom{n}{k} \neq \frac{n}{k}$ — toujours utiliser la formule factorielle ou la calculatrice.
• L'espérance $np$ n'est pas forcément une valeur possible de $X$ (si $np$ n'est pas entier).
• Vérifier que les épreuves sont bien indépendantes. Si la population est petite et le tirage sans remise, la loi hypergéométrique conviendrait mieux.
• Ne pas confondre $P(X = k)$ et $P(X \leq k)$.
• $\binom{n}{k} \neq \frac{n}{k}$ — toujours utiliser la formule factorielle ou la calculatrice.
• L'espérance $np$ n'est pas forcément une valeur possible de $X$ (si $np$ n'est pas entier).
Exemple complet. Un médicament a un taux d'efficacité de 70 %. On l'administre à 8 patients. Soit $X$ le nombre de patients guéris. $X \sim \mathcal{B}(8, 0{,}7)$.
1. $P(X = 6) = \binom{8}{6}(0{,}7)^6(0{,}3)^2 = 28 \times 0{,}117649 \times 0{,}09 \approx 0{,}296$.
2. $E(X) = 8 \times 0{,}7 = 5{,}6$ patients guéris en moyenne.
3. $P(X \geq 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) \approx 0{,}296 + 0{,}198 + 0{,}057 \approx 0{,}552$.
1. $P(X = 6) = \binom{8}{6}(0{,}7)^6(0{,}3)^2 = 28 \times 0{,}117649 \times 0{,}09 \approx 0{,}296$.
2. $E(X) = 8 \times 0{,}7 = 5{,}6$ patients guéris en moyenne.
3. $P(X \geq 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) \approx 0{,}296 + 0{,}198 + 0{,}057 \approx 0{,}552$.
À retenir — Loi binomiale
- Schéma de Bernoulli : $n$ épreuves identiques et indépendantes, chacune avec probabilité de succès $p$.
- Formule : $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.
- Coefficients binomiaux : $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, symétrie $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$.
- Espérance : $E(X) = np$ ; Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$.
- Calculatrice : $binompdf$ pour $P(X=k)$, $binomcdf$ pour $P(X \leq k)$.
- Règle des 10 % : tirage sans remise acceptable si $n \leq 0{,}1 \times N$.
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