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Loi binomiale

Q: Comment justifier qu’une variable aléatoire suit une loi binomiale ?

On nomme le succès (ce que l’on compte) et sa probabilité p, on vérifie que l’épreuve est répétée un nombre n fixé de fois, à l’identique et de façon indépendante (avec remise ou dans une population très grande), puis on conclut : X, nombre de succès, suit la loi binomiale B(n ; p).

Q: Comment calculer P(X = k) pour une loi binomiale ?

On applique P(X = k) = (k parmi n) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ : le coefficient binomial compte les chemins de l’arbre à k succès, et chacun a pour probabilité pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ. La calculatrice donne aussi directement P(X = k).

Q: Comment calculer P(X ≥ k) à la calculatrice ?

La calculatrice donne P(X ≤ k). On passe à l’événement contraire en prenant l’entier juste avant : P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Pour « entre a et b », on calcule P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1).

Q: Quelles sont l’espérance et la variance d’une loi binomiale ?

Si X suit B(n ; p), alors E(X) = np, V(X) = np(1 − p) et σ(X) = √(np(1 − p)). L’espérance est le nombre moyen de succès sur un grand nombre de répétitions du schéma.

Q: Comment trouver le nombre minimal d’épreuves ou un seuil ?

Pour « au moins un succès avec une probabilité au moins α », on résout 1 − (1 − p)ⁿ ≥ α avec le logarithme, en changeant le sens de l’inégalité car ln(1 − p) < 0. Pour un seuil sur k ou un intervalle, on lit le tableau de la calculatrice et on cite les deux valeurs qui encadrent le seuil.

Épreuve et schéma de Bernoulli, loi binomiale et formule de P(X = k), P(X ≤ k) à la calculatrice, espérance, variance et écart type, seuils et intervalles de probabilité.

À propos de cette page

Ce cours de spécialité maths de Terminale sur la loi binomiale suit cinq parties : épreuve et schéma de Bernoulli avec les épreuves indépendantes, formule de P(X = k) et coefficients binomiaux, calcul de P(X ≤ k) et P(X ≥ k) à la calculatrice, espérance, variance et écart type, seuils et intervalles de probabilité. La démonstration exigible de la formule de P(X = k) y est rédigée, ainsi qu’un programme Python de recherche de seuil.

Épreuve de Bernoulli et épreuves indépendantes

Ce qu’il faut savoir

Épreuve de Bernoulli. C’est une expérience aléatoire à deux issues : le succès $S$ , de probabilité $p$ , et l’échec $\overset{―}{S}$ , de probabilité $1 - p$ .

Loi de Bernoulli de paramètre $p$ . La variable aléatoire $X$ qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d’échec vérifie $P (X = 1) = p$ et $P (X = 0) = 1 - p$ .

Succession d’épreuves indépendantes. Une issue est une liste ordonnée (un $n$ -uplet) de résultats $(x_{1}; x_{2}; \dots; x_{n})$ ; on la représente par un chemin d’arbre pondéré. Si les épreuves sont indépendantes, sa probabilité est le produit des probabilités de chacun des résultats :

$P (x_{1}; \dots; x_{n})$ $= P (x_{1}) \times \dots \times P (x_{n})$ .

Épreuves qui dépendent les unes des autres (rappel de 1^re). Sur chaque branche, on écrit une probabilité conditionnelle $P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ ; la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches, et la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent (formule des probabilités totales).

Schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ . C’est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques (même $p$ ) et indépendantes, le nombre $n$ étant fixé à l’avance.

Tirages. Avec remise, les tirages sont indépendants. Sans remise, la composition change à chaque tirage : les tirages ne sont pas indépendants. Quand la population est très grande devant le nombre de tirages, on assimile un tirage sans remise à un tirage avec remise (hypothèse des sujets de bac : « le stock est assez important »).

Exemples

Issue d’épreuves indépendantes. Un sac contient $4$ jetons verts et $6$ jetons rouges ; on tire $3$ jetons avec remise. L’arbre a $2^{3} = 8$ issues, et l’issue $(V; R; V)$ a pour probabilité $0, 4 \times 0, 6 \times 0, 4 = 0, 096$ .

Deux épreuves différentes. On lance une pièce équilibrée, puis un dé équilibré. Les deux lancers sont indépendants : $P (Pile; 6) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$ .

Probabilités totales. Un élève vient en bus avec la probabilité $0, 7$ , sinon à vélo. En bus, il est en retard avec la probabilité $0, 1$ ; à vélo, avec la probabilité $0, 05$ . Deux chemins mènent au retard $R$ : $P (R) = 0, 7 \times 0, 1 + 0, 3 \times 0, 05$ $= 0, 07 + 0, 015 = 0, 085$ .

Réponse rédigée : reconnaître un schéma de Bernoulli. Une urne contient $3$ boules rouges et $7$ boules noires ; on tire $8$ fois une boule avec remise, et $X$ compte les boules rouges. « Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli dont le succès, “la boule est rouge”, a pour probabilité $p = \frac{3}{10} = 0, 3$ . Les $8$ tirages sont identiques et indépendants, car ils se font avec remise. $X$ compte les succès de ce schéma de Bernoulli : $X$ suit la loi binomiale $ℬ (8; 0, 3)$ . »

Sans remise. Une urne contient $10$ boules dont $3$ rouges ; on en tire deux, sans remise. $P (R_{1}) = \frac{3}{10}$ , mais $P_{R_{1}} (R_{2}) = \frac{2}{9}$ : le second tirage dépend du premier, ce n’est pas un schéma de Bernoulli.

Réflexe — Pour justifier un schéma de Bernoulli, je coche trois points, dans l’ordre : deux issues (je nomme le succès et je donne $p$ ) ; une épreuve répétée un nombre $n$ fixé de fois, à l’identique ; des répétitions indépendantes (avec remise, ou population très grande, et je le cite).

Attention — Le succès est ce que l’on compte, même s’il est rare ou désagréable : si $X$ compte les pièces défectueuses, $p$ est la probabilité qu’une pièce soit défectueuse. Et un tirage sans remise dans une petite urne ne donne jamais une loi binomiale.

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Loi binomiale et formule de P(X = k)

Ce qu’il faut savoir

Loi binomiale. Dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ , la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , notée $ℬ (n; p)$ . Elle prend les valeurs $0, 1, \dots, n$ .

Coefficient binomial. Pour $0 ⩽ k ⩽ n$ , $(\binom{n}{k})$ (lire « $k$ parmi $n$ ») est le nombre de chemins de l’arbre qui comportent exactement $k$ succès, c’est-à-dire le nombre de façons de placer les $k$ succès parmi les $n$ épreuves. Valeurs utiles : $(\binom{n}{0}) = (\binom{n}{n}) = 1$ , $(\binom{n}{1}) = n$ , $(\binom{n}{2}) = \frac{n (n - 1)}{2}$ et la symétrie $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$ . Les autres se lisent à la calculatrice (touche nCr ou combinaison).

Formule (démonstration exigible). Pour tout entier $k$ tel que $0 ⩽ k ⩽ n$ :

$P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .

La somme de ces $n + 1$ probabilités vaut $1$ : c’est une loi de probabilité.

Exemples

Compter les chemins. Pour $n = 3$ épreuves, les chemins à exactement $2$ succès sont $S S \overset{―}{S}$ , $S \overset{―}{S} S$ et $\overset{―}{S} S S$ : il y en a $(\binom{3}{2}) = 3$ .

Démonstration de la formule. L’événement ${X = k}$ est formé des issues de l’arbre qui comportent exactement $k$ succès et $n - k$ échecs. Les épreuves sont indépendantes : chacune de ces issues a pour probabilité le produit de $k$ facteurs $p$ et de $n - k$ facteurs $1 - p$ , soit $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ . Ces issues sont deux à deux incompatibles, et il y en a $(\binom{n}{k})$ (choix des positions des $k$ succès parmi les $n$ épreuves). En additionnant leurs probabilités :

$P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .

Lancers de dé. On lance $5$ fois un dé équilibré et $X$ compte les « 6 ». Succès « obtenir 6 », $p = \frac{1}{6}$ , $5$ lancers identiques et indépendants : $X$ suit $ℬ (5; \frac{1}{6})$ . Alors

$P (X = 2) = (\binom{5}{2}) {(\frac{1}{6})}^{2} {(\frac{5}{6})}^{3}$ $= 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216}$ $= \frac{1 250}{7 776} \approx 0, 161$ .

Urne avec remise (suite de la partie précédente). $X$ suit $ℬ (8; 0, 3)$ et $(\binom{8}{2}) = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ , donc

$P (X = 2) = 28 \times 0, 3^{2} \times 0, 7^{6}$ $= 28 \times 0, 09 \times 0, 117 649 \approx 0, 296$ .

Réflexe — J’écris d’abord $n$ , $p$ et $k$ , puis la formule complète : le coefficient $(\binom{n}{k})$ , $p$ à la puissance « nombre de succès » $k$ , $1 - p$ à la puissance « nombre d’échecs » $n - k$ . Je garde les valeurs exactes et j’arrondis à la fin.

Attention — $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ est la probabilité d’un seul chemin ; sans le coefficient $(\binom{n}{k})$ , on oublie tous les autres chemins à $k$ succès. Et les exposants ne s’échangent pas : l’exposant de $p$ est le nombre de succès.

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Calculer P(X ≤ k) et P(X ≥ k) à la calculatrice

Ce qu’il faut savoir

À la calculatrice. Pour $X$ de loi $ℬ (n; p)$ , la calculatrice donne directement $P (X = k)$ (TI : binomFdp ; Casio : Bpd ; NumWorks : application Probabilités, loi binomiale) et $P (X ⩽ k)$ (TI : binomFRép ; Casio : Bcd). Toutes les autres probabilités s’en déduisent.

Événement	Calcul
$X < k$	$P (X ⩽ k - 1)$
$X ⩾ k$	$1 - P (X ⩽ k - 1)$
$X > k$	$1 - P (X ⩽ k)$
$a ⩽ X ⩽ b$	$P (X ⩽ b) - P (X ⩽ a - 1)$
$X ⩾ 1$	$1 - P (X = 0) = 1 - (1 - p)^{n}$

Ces formules viennent de l’événement contraire et du fait que $X$ ne prend que des valeurs entières. Sauf indication contraire, on arrondit au millième ( $10^{- 3}$ près).

Exemples

Avec la calculatrice. $X$ suit $ℬ (25; 0, 2)$ . La calculatrice donne $P (X ⩽ 3) \approx 0, 234$ et $P (X ⩽ 8) \approx 0, 953$ . Alors

$P (X ⩾ 4) = 1 - P (X ⩽ 3) \approx 0, 766$ ;

$P (4 ⩽ X ⩽ 8)$ $= P (X ⩽ 8) - P (X ⩽ 3)$ $\approx 0, 719$ .

À la main, par le contraire. $X$ suit $ℬ (6; 0, 4)$ . Le contraire de ${X ⩾ 2}$ est ${X ⩽ 1}$ , soit ${X = 0}$ ou ${X = 1}$ .

$P (X = 0) = 0, 6^{6} = 0, 046 656$ et $P (X = 1)$ $= 6 \times 0, 4 \times 0, 6^{5} = 0, 186 624$ .

Donc $P (X ⩾ 2) = 1 - 0, 046 656 - 0, 186 624$ $= 0, 766 72 \approx 0, 767$ .

Réflexe — J’écris l’événement en toutes lettres (« au moins 4 », « plus de 4 », « entre 4 et 8 »), je le traduis avec $⩽$ ou $⩾$ , puis je passe au contraire en prenant l’entier juste avant : « au moins $k$ » a pour contraire « au plus $k - 1$ ».

Attention — $P (X ⩾ k) = 1 - P (X ⩽ k - 1)$ , et non $1 - P (X ⩽ k)$ : $P (X = k)$ serait retiré à tort. Et on n’arrondit qu’à la fin : un résultat obtenu à partir de valeurs déjà arrondies peut différer au millième.

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Espérance, variance et écart type

Ce qu’il faut savoir

Loi de Bernoulli de paramètre $p$ . $E (X) = 1 \times p + 0 \times (1 - p) = p$ et $V (X) = p (1 - p)$ .

Loi binomiale. Si $X$ suit $ℬ (n; p)$ , alors

$E (X) = n p$ , $V (X) = n p (1 - p)$ , $σ (X) = \sqrt{n p (1 - p)}$ .

Ces formules sont admises ici ; elles se démontrent dans le chapitre Sommes de variables aléatoires, en écrivant $X$ comme la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes.

Interprétation. $E (X)$ est le nombre moyen de succès quand on répète le schéma un très grand nombre de fois ; $σ (X)$ mesure la dispersion du nombre de succès autour de cette moyenne.

Retrouver les paramètres. $\frac{V (X)}{E (X)} = 1 - p$ : on obtient $p$ , puis $n = \frac{E (X)}{p}$ .

Gain affine. Pour des réels $a$ et $b$ : $E (a X + b) = a E (X) + b$ et $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ (propriétés démontrées dans le chapitre Sommes de variables aléatoires). Cela sert pour un gain qui dépend du nombre de succès.

Exemples

Germination. Une graine germe avec la probabilité $0, 85$ , indépendamment des autres. On sème $200$ graines : $X$ suit $ℬ (200; 0, 85)$ , $E (X) = 200 \times 0, 85 = 170$ et $V (X) = 200 \times 0, 85 \times 0, 15 = 25, 5$ , donc $σ (X) = \sqrt{25, 5} \approx 5, 05$ . En moyenne, $170$ graines germent, avec un écart type d’environ $5$ graines.

Allure de la loi. Pour $ℬ (8; 0, 4)$ , $E (X) = 8 \times 0, 4 = 3, 2$ . Les probabilités, arrondies au dix-millième :

$k$	$P (X = k)$
$0$	$\approx 0, 0168$
$1$	$\approx 0, 0896$
$2$	$\approx 0, 2090$
$3$	$\approx 0, 2787$
$4$	$\approx 0, 2322$
$5$	$\approx 0, 1239$
$6$	$\approx 0, 0413$
$7$	$\approx 0, 0079$
$8$	$\approx 0, 0007$

La plus grande probabilité est atteinte en $k = 3$ , près de l’espérance $3, 2$ . La loi n’est pas symétrique, car $p \neq 0, 5$ ; pour $p = 0, 5$ , on aurait $P (X = k) = P (X = n - k)$ .

Réflexe — J’écris la loi avec ses paramètres avant toute formule, je calcule $V (X)$ puis seulement $σ (X)$ , et j’interprète $E (X)$ dans la situation (« en moyenne, sur un grand nombre de séries… »).

Attention — $n p (1 - p)$ est la variance ; l’écart type est sa racine carrée. Et $E (X)$ n’est pas forcément une valeur prise par $X$ : $3, 2$ succès n’arrive jamais.

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Seuils et intervalles de probabilité

Ce qu’il faut savoir

Nombre minimal d’épreuves. Pour avoir au moins un succès avec une probabilité au moins égale à $α$ : $1 - (1 - p)^{n} ⩾ α$ $⟺ (1 - p)^{n} ⩽ 1 - α$ $⟺ n \ln (1 - p) ⩽ \ln (1 - α)$ $⟺ n ⩾ \frac{\ln (1 - α)}{\ln (1 - p)}$ , en divisant par $\ln (1 - p) < 0$ , ce qui change le sens de l’inégalité.

Seuil sur $k$ . La suite des $P (X ⩽ k)$ est croissante en $k$ . Pour trouver le plus petit entier $k$ tel que $P (X ⩽ k) ⩾ s$ , on lit le tableau de valeurs de la calculatrice, et on cite les deux valeurs qui encadrent $s$ .

Intervalle de probabilité. Pour trouver un intervalle $[a; b]$ tel que $P (a ⩽ X ⩽ b) ⩾ 1 - α$ (par exemple $0, 95$ ) : $a$ est le plus petit entier tel que $P (X ⩽ a) > \frac{α}{2}$ , et $b$ le plus petit entier tel que $P (X ⩽ b) ⩾ 1 - \frac{α}{2}$ . Alors $P (X ⩽ a - 1) ⩽ \frac{α}{2}$ , et

$P (a ⩽ X ⩽ b)$ $= P (X ⩽ b) - P (X ⩽ a - 1)$ $⩾ 1 - \frac{α}{2} - \frac{α}{2} = 1 - α$ .

La probabilité que $X$ tombe hors de $[a; b]$ est donc inférieure ou égale à $α$ .

Exemples

Combien de passages ? Un capteur détecte un défaut avec la probabilité $0, 1$ à chaque passage, indépendamment. Pour le détecter au moins une fois avec une probabilité d’au moins $0, 99$ : $1 - 0, 9^{n} ⩾ 0, 99$ $⟺ 0, 9^{n} ⩽ 0, 01$ $⟺ n ⩾ \frac{\ln 0, 01}{\ln 0, 9} \approx 43, 7$ (car $\ln 0, 9 < 0$ ). Il faut au moins $44$ passages.

Seuil sur $k$ . $X$ suit $ℬ (40; 0, 3)$ . La calculatrice donne $P (X ⩽ 15) \approx 0, 885 < 0, 9$ et $P (X ⩽ 16) \approx 0, 937 ⩾ 0, 9$ . Le plus petit entier $k$ tel que $P (X ⩽ k) ⩾ 0, 9$ est $k = 16$ . Le programme suivant fait la même recherche :

from math import comb
def seuil(n, p, s):
    k = 0
    F = (1-p)**n
    while F < s:
        k = k + 1
        q = p**k * (1-p)**(n-k)
        F = F + comb(n, k) * q
    return k

La variable F contient $P (X ⩽ k)$ ; l’appel seuil(40, 0.3, 0.9) renvoie $16$ .

Intervalle à $0, 95$ . On lance $100$ fois une pièce équilibrée : $X$ suit $ℬ (100; 0, 5)$ . $P (X ⩽ 39) \approx 0, 018$ $⩽ 0, 025$ $< P (X ⩽ 40) \approx 0, 028$ , donc $a = 40$ ; $P (X ⩽ 59) \approx 0, 972$ $< 0, 975$ $⩽ P (X ⩽ 60) \approx 0, 982$ , donc $b = 60$ . Ainsi $P (40 ⩽ X ⩽ 60) \approx 0, 965$ , et $0, 965 ⩾ 0, 95$ : le nombre de « Pile » tombe entre $40$ et $60$ dans plus de $95 %$ des séries.

Réflexe — Seuil sur $n$ : je pose l’inéquation, je prends le logarithme et je retourne l’inégalité en divisant par un logarithme négatif. Seuil sur $k$ : je cite les deux valeurs de la calculatrice qui encadrent le seuil, puis je conclus par une phrase.

Attention — On compare les valeurs non arrondies : $0, 949$ n’est pas « à peu près $0, 95$ », il est en dessous. Et le résultat d’un seuil sur $n$ est un entier : $43, 7$ donne $44$ , pas $43$ .

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Pour aller plus loin

Calculer un coefficient binomial. La formule $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ , la relation de Pascal et le triangle de Pascal sont démontrés dans le chapitre Combinatoire et dénombrement.

Démontrer $E (X) = n p$ et $V (X) = n p (1 - p)$ . La linéarité de l’espérance et la variance d’une somme de variables indépendantes sont au programme du chapitre Sommes de variables aléatoires.

À retenir

Schéma de Bernoulli : $n$ épreuves à deux issues, identiques et indépendantes, de probabilité de succès $p$ ; $X$ , nombre de succès, suit $ℬ (n; p)$ .
Épreuves indépendantes : la probabilité d’une issue est le produit des probabilités de ses résultats.
$P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ , où $(\binom{n}{k})$ compte les chemins à $k$ succès.
$P (X ⩾ k) = 1 - P (X ⩽ k - 1)$ et $P (X ⩾ 1) = 1 - (1 - p)^{n}$ .
$E (X) = n p$ , $V (X) = n p (1 - p)$ , $σ (X) = \sqrt{n p (1 - p)}$ .
Seuil sur $n$ : logarithme et division par $\ln (1 - p) < 0$ ; seuil sur $k$ : deux valeurs qui encadrent.

Questions fréquentes

Comment justifier qu’une variable aléatoire suit une loi binomiale ?

On nomme le succès (ce que l’on compte) et sa probabilité p, on vérifie que l’épreuve est répétée un nombre n fixé de fois, à l’identique et de façon indépendante (avec remise ou dans une population très grande), puis on conclut : X, nombre de succès, suit la loi binomiale B(n ; p).

Comment calculer P(X = k) pour une loi binomiale ?

On applique P(X = k) = (k parmi n) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ : le coefficient binomial compte les chemins de l’arbre à k succès, et chacun a pour probabilité pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ. La calculatrice donne aussi directement P(X = k).

Comment calculer P(X ≥ k) à la calculatrice ?

La calculatrice donne P(X ≤ k). On passe à l’événement contraire en prenant l’entier juste avant : P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Pour « entre a et b », on calcule P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1).

Quelles sont l’espérance et la variance d’une loi binomiale ?

Si X suit B(n ; p), alors E(X) = np, V(X) = np(1 − p) et σ(X) = √(np(1 − p)). L’espérance est le nombre moyen de succès sur un grand nombre de répétitions du schéma.

Comment trouver le nombre minimal d’épreuves ou un seuil ?

Pour « au moins un succès avec une probabilité au moins α », on résout 1 − (1 − p)ⁿ ≥ α avec le logarithme, en changeant le sens de l’inégalité car ln(1 − p) < 0. Pour un seuil sur k ou un intervalle, on lit le tableau de la calculatrice et on cite les deux valeurs qui encadrent le seuil.

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