Ressources · Terminale · Spécialité Mathématiques

Fiche de révision : combinatoire et dénombrement

Principes additif et multiplicatif, k-uplets, factorielle et permutations, k-uplets d’éléments distincts, combinaisons, coefficients binomiaux, triangle de Pascal, mots et chemins.

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Combinatoire et dénombrement

Fiche méthode

(Spécialité maths Terminale · Algèbre · Combinatoire et dénombrement)

La démarche pour dénombrer

1. Je décris un résultat type par un objet précis : liste, partie, mot, chemin.

2. Je pose deux questions : l’ordre compte-t-il ? Les répétitions sont-elles possibles ?

3. Je découpe le comptage : en étapes (je multiplie), en cas disjoints (j’additionne), ou par le complémentaire.

4. J’applique la formule : $n^{k}$ , $\frac{n!}{(n - k)!}$ , $n!$ ou $(\binom{n}{k})$ , et je contrôle sur un petit cas.

Le réflexe — un nombre sans justification ne rapporte pas tous les points : on nomme le modèle («

k

-uplet », « partie à

k

éléments ») et le principe utilisé (additif, multiplicatif, complémentaire).

Cas 1 · Principes et k-uplets

Réflexe — étapes : je multiplie ; cas disjoints : j’additionne ; « au moins un » : tout moins « aucun ».

Exemple. Questions types : « Combien de codes… », « Combien contiennent au moins un… ». Exemple : un badge porte $3$ symboles, chacun choisi parmi les lettres A à E et les chiffres $0$ à $9$ . Combien de badges contiennent au moins un chiffre ?

Il y a $5 + 10 = 15$ symboles ; un badge est un $3$ -uplet : $15^{3} = 3 375$ badges.

Badges sans chiffre : $5^{3} = 125$ .

Par passage au complémentaire : $3 375 - 125 = 3 250$ badges contiennent au moins un chiffre.

Attention — on n’additionne que des cas disjoints ; sinon on retire l’intersection.

Cas 2 · Ordre sans répétition

Réflexe — places, rangs, rôles, tirages sans remise : $n (n - 1) \dots (n - k + 1)$ ; tout ranger : $n!$ .

Exemple. Questions types : « Combien de classements… », « Combien de façons d’attribuer des rôles… ». Exemple : un jury classe $4$ projets (du 1er au 4e) parmi $10$ candidats.

L’ordre compte (1er, 2e…) et un projet n’est classé qu’une fois : $4$ -uplet d’éléments distincts.

$10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5 040$ classements, soit $\frac{10!}{6!}$ .

Attention — $\frac{n!}{(n - k)!}$ et non $\frac{n!}{k!}$ ; et $0! = 1$ .

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Cas 3 · Parties et combinaisons

Réflexe — groupe, main, tirage simultané : $(\binom{n}{k})$ ; « exactement » : je choisis dans chaque catégorie et je multiplie.

Exemple. Questions types : « Combien de délégations… contenant exactement… ». Exemple : délégation de $5$ élèves choisis parmi $9$ filles et $7$ garçons, avec exactement $3$ filles.

$3$ filles parmi $9$ : $(\binom{9}{3}) = 84$ ; puis $2$ garçons parmi $7$ : $(\binom{7}{2}) = 21$ .

Par le principe multiplicatif : $84 \times 21 = 1 764$ délégations.

Attention — pour « au moins un », choisir d’abord un élément de la catégorie puis compléter au hasard compte plusieurs fois les mêmes groupes : passer par le complémentaire.

Cas 4 · Relation de Pascal et parties

Réflexe — fixer un élément $a$ : les parties qui le contiennent et celles qui ne le contiennent pas ; $2^{n}$ parties en tout.

Exemple. Questions types : « Démontrer par dénombrement… », « Calculer à l’aide du triangle… ». Exemple : sachant que la ligne $8$ contient $56$ et $70$ aux colonnes $3$ et $4$ , calculer $(\binom{9}{4})$ .

Relation de Pascal avec $n = 8$ et $k = 3$ : $(\binom{9}{4}) = (\binom{8}{3}) + (\binom{8}{4})$ .

$(\binom{9}{4}) = 56 + 70 = 126$ .

Attention — on additionne deux voisins de la même ligne ; le résultat est sous le second, à la ligne suivante.

Cas 5 · Mots, chemins, choix du modèle

Réflexe — un mot à deux lettres ou un chemin : je choisis les positions d’une des lettres, $(\binom{n}{k})$ .

Exemple. Questions types : « Combien de chemins de $A$ à $B$ … passant par $C$ ». Exemple : chemins de $(0; 0)$ à $(3; 4)$ par pas vers la droite ou vers le haut, passant par $(1; 1)$ .

De $(0; 0)$ à $(1; 1)$ : $2$ pas dont $1$ vers le haut, $(\binom{2}{1}) = 2$ .

De $(1; 1)$ à $(3; 4)$ : $5$ pas dont $3$ vers le haut, $(\binom{5}{3}) = 10$ .

Principe multiplicatif : $2 \times 10 = 20$ chemins.

Attention — un chemin de $(0; 0)$ à $(p; q)$ compte $p + q$ pas : $(\binom{p + q}{q})$ , pas $p \times q$ .

Les pièges

« Simultanément », « groupe », « main » : pas d’ordre ; « successivement », « classement », « code » : l’ordre compte.
Le principe additif ne vaut que pour des cas disjoints.
« Au moins un » se compte par le complémentaire, jamais en imposant un élément puis en complétant au hasard.
Groupes sans numéro : on divise par le nombre d’ordres des groupes.
Lettres identiques dans un mot : elles ne se distinguent pas, on ne compte pas n! anagrammes.
0! = 1 et « 0 parmi n » = « n parmi n » = 1.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour dénombrer (décrire le résultat, ordre et répétitions, découper le comptage), puis un exemple rédigé pour chacun des cinq cas : badge avec au moins un chiffre, classement de projets, délégation avec exactement trois filles, calcul par la relation de Pascal, chemins passant par un point. Les formules à connaître sont dans la fiche tableaux.

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