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Combinatoire et dénombrement

Principe multiplicatif, k-uplets, arrangements, permutations, combinaisons, coefficients binomiaux et triangle de Pascal

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Combinatoire et dénombrement » en terminale permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en spécialité mathématiques. Ils suivent le programme officiel de terminale et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel, k-uplets, arrangements et permutations, Combinaisons et coefficients binomiaux, Relation de Pascal et formule du binôme. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser spécialité mathématiques en terminale.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Factorielles et coefficients binomiaux

Facile

a) Calculer $\frac{13!}{11!}$ .
b) Calculer $(\binom{12}{5})$ .
c) Simplifier $\frac{(n + 1)!}{(n - 1)!}$ pour tout entier $n \geq 1$ .
d) Déterminer l'entier $n \geq 2$ tel que $(\binom{n}{2}) = 231$ .

a) $13! = 13 \times 12 \times 11!$ , donc $\frac{13!}{11!} = 13 \times 12$ , soit $156$ .

b) $(\binom{12}{5}) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5!} = \frac{95 040}{120}$ , soit $(\binom{12}{5}) = 792$ .

c) Pour $n \geq 1$ , $(n + 1)! = (n + 1) \times n \times (n - 1)!$ , donc $\frac{(n + 1)!}{(n - 1)!} = n (n + 1)$ .

d) $(\binom{n}{2}) = \frac{n (n - 1)}{2}$ , donc l'équation équivaut à $n^{2} - n - 462 = 0$ . $Δ = 1 + 4 \times 462 = 1 849 = 43^{2}$ , d'où les racines $\frac{1 + 43}{2} = 22$ et $\frac{1 - 43}{2} = - 21$ . Comme $n$ est un entier naturel, $n = 22$ (contrôle : $\frac{22 \times 21}{2} = 231$ ).

Exercice 2 — Menus d'un restaurant

Facile

Un restaurant propose 5 entrées, 7 plats et 4 desserts.

a) Combien de menus « entrée + plat + dessert » peut-on composer ?
b) Le midi, le client choisit une formule « entrée + plat » ou une formule « plat + dessert ». Combien de repas différents sont possibles ? Justifier la méthode.
c) Le restaurateur ajoute une boisson au menu complet de la question a) et souhaite offrir au moins 1 000 menus « entrée + plat + dessert + boisson ». Combien de boissons doit-il proposer au minimum ?

a) Un menu est un triplet (entrée, plat, dessert). Par le principe multiplicatif : $5 \times 7 \times 4$ , soit 140 menus.

b) Formules « entrée + plat » : $5 \times 7 = 35$ . Formules « plat + dessert » : $7 \times 4 = 28$ . Ces deux ensembles sont disjoints (le premier ne contient aucun dessert, le second aucune entrée), donc le principe additif s'applique : $35 + 28$ , soit 63 repas.

c) Avec $b$ boissons, il y a $140 b$ menus. On veut $140 b \geq 1 000$ , soit $b \geq \frac{1 000}{140} \approx 7, 14$ . Avec 7 boissons on n'obtient que 980 menus : il faut au moins 8 boissons (1 120 menus).

Exercice 3 — Codes à chiffres et parties

Facile

a) Combien existe-t-il de codes de 5 chiffres (chaque chiffre de 0 à 9) ?
b) Combien de ces codes ont leurs 5 chiffres deux à deux distincts ?
c) Combien de codes comportent au moins deux chiffres identiques ?
d) Combien de parties possède un ensemble à 11 éléments ? Justifier à l'aide de 11-uplets de ${0; 1}$ .

a) Un code est un 5-uplet d'éléments de ${0, \dots, 9}$ (10 éléments) : $10^{5} = 100 000$ codes.

b) 5-uplets d'éléments distincts : $10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = \frac{10!}{5!}$ , soit $30 240$ codes.

c) « Au moins deux chiffres identiques » est le contraire de « chiffres tous distincts » : $100 000 - 30 240$ , soit $69 760$ codes.

d) On numérote les éléments $e_{1}, \dots, e_{11}$ et on associe à une partie $A$ le 11-uplet $(x_{1}, \dots, x_{11})$ avec $x_{i} = 1$ si $e_{i} \in A$ , $0$ sinon. Cette correspondance est une bijection entre les parties et ${0; 1}^{11}$ , qui compte $2^{11}$ éléments : $2 048$ parties.

Exercice 4 — Anagrammes du mot TERMINALE

Moyen

On appelle anagramme du mot TERMINALE tout mot de 9 lettres, ayant un sens ou non, utilisant exactement ces lettres (le E figure deux fois).

a) Combien le mot TERMINALE a-t-il d'anagrammes ?
b) Combien de ces anagrammes commencent par T ?
c) Combien d'anagrammes ont leurs deux E côte à côte ?
d) Combien d'anagrammes n'ont pas leurs deux E côte à côte ?

a) On choisit d'abord les 2 positions des E parmi 9 : $(\binom{9}{2}) = 36$ choix ; on place ensuite les 7 autres lettres, toutes distinctes, dans les 7 positions restantes : $7! = 5 040$ façons. Par le principe multiplicatif : $36 \times 5 040$ , soit $181 440$ anagrammes. (Contrôle : $\frac{9!}{2!} = 181 440$ , car échanger les deux E ne change pas le mot.)

b) T étant fixé en tête, on range les 8 lettres restantes, dont deux E : $\frac{8!}{2!} = \frac{40 320}{2}$ , soit $20 160$ .

c) On colle les deux E en un bloc « EE ». On range alors 8 objets distincts (T, R, M, I, N, A, L, EE) : $8! = 40 320$ anagrammes.

d) C'est le complémentaire de c) dans a) : $181 440 - 40 320$ , soit $141 120$ anagrammes.

Exercice 5 — Tirages dans une urne

Moyen

Une urne contient 5 boules rouges et 8 boules noires, indiscernables au toucher.

a) On tire simultanément 3 boules. Combien de tirages sont possibles ?
b) Combien de ces tirages contiennent exactement 2 boules rouges ?
c) Combien contiennent au moins une boule rouge ?
d) On tire maintenant successivement et sans remise 3 boules. Combien de tirages sont possibles ? Combien contiennent exactement 2 boules rouges ? Expliquer le lien avec la réponse b).

a) Un tirage simultané est une partie à 3 éléments de l'ensemble des 13 boules : $(\binom{13}{3}) = \frac{13 \times 12 \times 11}{6}$ , soit 286 tirages.

b) On choisit 2 rouges parmi 5 et 1 noire parmi 8 : $(\binom{5}{2}) \times (\binom{8}{1}) = 10 \times 8$ , soit 80 tirages.

c) Le contraire est « aucune rouge », c'est-à-dire 3 noires : $(\binom{8}{3}) = 56$ . Donc $286 - 56$ , soit 230 tirages.

d) Un tirage est un 3-uplet de boules distinctes : $13 \times 12 \times 11 =$ $1 716$ tirages. Pour exactement 2 rouges : 3 positions possibles pour la noire, puis $5 \times 4$ façons d'ordonner les deux rouges et 8 choix de noire : $3 \times 5 \times 4 \times 8 =$ 480. Lien : chaque tirage simultané de b) correspond à $3! = 6$ ordres de sortie, et $6 \times 80 = 480$ .

Exercice 6 — Chemins dans un quadrillage

Moyen

Dans un repère, on se déplace de $O (0; 0)$ à $A (6; 4)$ par pas unitaires vers la droite (D) ou vers le haut (H).

a) Combien existe-t-il de chemins de $O$ à $A$ ?
b) Combien de ces chemins passent par $B (2; 3)$ ?
c) Combien évitent le point $B$ ?
d) Combien passent à la fois par $B$ et par $C (5; 4)$ ?

a) Un chemin de $O$ à $A$ compte 6 pas D et 4 pas H : c'est un mot de 10 lettres déterminé par la position de ses 4 lettres H. Il y en a $(\binom{10}{4}) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{24}$ , soit 210 chemins.

b) De $O$ à $B$ : 2 D et 3 H, soit $(\binom{5}{2}) = 10$ chemins. De $B$ à $A$ : 4 D et 1 H, soit $(\binom{5}{1}) = 5$ chemins. Un chemin passant par $B$ est un couple (chemin $O \to B$ , chemin $B \to A$ ) : $10 \times 5$ , soit 50 chemins.

c) Par complémentaire : $210 - 50$ , soit 160 chemins.

d) De $O$ à $B$ : 10 ; de $B$ à $C$ : 3 D et 1 H, soit $(\binom{4}{1}) = 4$ ; de $C$ à $A$ : un seul pas D, soit 1 chemin. Total : $10 \times 4 \times 1$ , soit 40 chemins.

Exercice 7 — Identités sur les coefficients binomiaux

Moyen

a) Montrer que, pour tout entier $n \geq 2$ , $(\binom{n}{2}) + (\binom{n + 1}{2}) = n^{2}$ . Vérifier l'égalité pour $n = 25$ .
b) Déterminer l'entier $n \geq 3$ tel que $(\binom{n}{3}) = 2 (\binom{n}{2})$ .
c) Sans calculer séparément les deux termes, écrire $(\binom{9}{4}) + (\binom{9}{5})$ sous la forme d'un seul coefficient binomial, puis donner sa valeur.

a) $(\binom{n}{2}) + (\binom{n + 1}{2}) = \frac{n (n - 1)}{2} + \frac{(n + 1) n}{2} = \frac{n [(n - 1) + (n + 1)]}{2} = \frac{2 n^{2}}{2}$ , donc $(\binom{n}{2}) + (\binom{n + 1}{2}) = n^{2}$ . Pour $n = 25$ : $(\binom{25}{2}) + (\binom{26}{2}) = 300 + 325 = 625 = 25^{2}$ .

b) $\frac{n (n - 1) (n - 2)}{6} = 2 \times \frac{n (n - 1)}{2} = n (n - 1)$ . Comme $n \geq 3$ , $n (n - 1) \neq 0$ et l'on peut diviser : $\frac{n - 2}{6} = 1$ , d'où $n = 8$ . Contrôle : $(\binom{8}{3}) = 56$ et $2 (\binom{8}{2}) = 2 \times 28 = 56$ .

c) Par la relation de Pascal avec $n = 9$ et $k = 4$ : $(\binom{9}{4}) + (\binom{9}{5}) = (\binom{10}{5}) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{120}$ , soit $252$ .

Exercice 8 — Mains de cinq cartes

Difficile

On utilise un jeu de 52 cartes : 13 hauteurs (as, 2, …, 10, valet, dame, roi) dans chacune des 4 couleurs (cœur, carreau, trèfle, pique). Une main est un ensemble de 5 cartes.

a) Combien existe-t-il de mains ?
b) Combien de mains contiennent un carré (quatre cartes de même hauteur) ?
c) Combien de mains sont des « full » (trois cartes d'une même hauteur et deux cartes d'une autre hauteur) ?
d) Combien de mains ont leurs 5 cartes de la même couleur ?
e) Un élève affirme : « pour avoir au moins un as, je choisis un as (4 choix) puis 4 cartes parmi les 51 restantes, donc $4 \times (\binom{51}{4})$ mains ». Expliquer son erreur et donner le nombre exact de mains contenant au moins un as.

a) Une main est une partie à 5 éléments d'un ensemble à 52 éléments : $(\binom{52}{5}) = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{120}$ , soit $2 598 960$ mains.

b) On choisit la hauteur du carré (13 choix) ; ses 4 cartes sont alors imposées ; la cinquième carte est l'une des 48 autres : $13 \times 48$ , soit 624 mains.

c) Hauteur du brelan : 13 choix, puis $(\binom{4}{3}) = 4$ choix de cartes ; hauteur de la paire parmi les 12 autres, puis $(\binom{4}{2}) = 6$ choix : $13 \times 4 \times 12 \times 6$ , soit $3 744$ mains.

d) 4 choix de couleur, puis 5 cartes parmi les 13 de cette couleur : $4 \times (\binom{13}{5}) = 4 \times 1 287$ , soit $5 148$ mains.

e) Sa méthode compte une main plusieurs fois : une main contenant l'as de cœur et l'as de pique est obtenue en choisissant d'abord l'as de cœur, puis en choisissant d'abord l'as de pique. Plus généralement, une main à $j$ as est comptée $j$ fois ; son nombre $4 \times 249 900 = 999 600$ est donc trop grand. On passe par le complémentaire : les mains sans as sont les parties à 5 éléments des 48 autres cartes, soit $(\binom{48}{5}) = 1 712 304$ . Donc $2 598 960 - 1 712 304$ , soit $886 656$ mains contiennent au moins un as.

Exercice 9 — Binôme et parité des parties

Difficile

a) Développer $(2 x - 1)^{5}$ .
b) Montrer que, pour tout entier $n \geq 1$ , $\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) = 0$ .
c) En déduire qu'un ensemble à $n \geq 1$ éléments possède autant de parties de cardinal pair que de parties de cardinal impair, puis que chacun de ces nombres vaut $2^{n - 1}$ . Combien un ensemble à 10 éléments a-t-il de parties de cardinal pair ?
d) Montrer que, pour $1 \leq k \leq n$ , $k (\binom{n}{k}) = n (\binom{n - 1}{k - 1})$ , puis que $\sum_{k = 0}^{n} k (\binom{n}{k}) = n 2^{n - 1}$ .

a) Ligne 5 du triangle : 1, 5, 10, 10, 5, 1. Avec $a = 2 x$ et $b = - 1$ : $(2 x)^{5} - 5 (2 x)^{4} + 10 (2 x)^{3} - 10 (2 x)^{2} + 5 (2 x) - 1$ , soit $32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x - 1$ .

b) Formule du binôme avec $a = - 1$ et $b = 1$ : $\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (- 1)^{k} 1^{n - k} = (- 1 + 1)^{n} = 0^{n} = 0$ car $n \geq 1$ . D'où $\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) = 0$ .

c) Notons $P$ le nombre de parties de cardinal pair et $I$ celui de cardinal impair. Par le principe additif, $P = \sum_{k pair} (\binom{n}{k})$ et $I = \sum_{k impair} (\binom{n}{k})$ . D'après b), $P - I = 0$ ; d'après le cours, $P + I = 2^{n}$ . Donc $P = I = \frac{2^{n}}{2} = 2^{n - 1}$ . Pour $n = 10$ : $2^{9} = 512$ parties de cardinal pair.

d) $k (\binom{n}{k}) = \frac{k n!}{k! (n - k)!} = \frac{n!}{(k - 1)! (n - k)!} = n \times \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! ((n - 1) - (k - 1))!} = n (\binom{n - 1}{k - 1})$ . Le terme $k = 0$ étant nul : $\sum_{k = 0}^{n} k (\binom{n}{k}) = \sum_{k = 1}^{n} n (\binom{n - 1}{k - 1}) = n \sum_{j = 0}^{n - 1} (\binom{n - 1}{j}) = n 2^{n - 1}$ (en posant $j = k - 1$ ). Contrôle pour $n = 4$ : $0 + 4 + 12 + 12 + 4 = 32 = 4 \times 2^{3}$ .

Exercice 10 — Applications entre ensembles finis

Difficile

On note $E = {1; 2; 3; 4}$ et $F = {1; 2; \dots; 7}$ .

a) Combien existe-t-il d'applications de $E$ dans $F$ ?
b) Combien sont injectives (deux éléments distincts de $E$ ont des images distinctes) ?
c) Combien sont strictement croissantes ? Justifier à l'aide d'une bijection avec des parties de $F$ .
d) Combien existe-t-il d'applications de $E$ dans ${0; 1}$ prenant les deux valeurs 0 et 1 ?

a) Une application $f$ est déterminée par le 4-uplet $(f (1), f (2), f (3), f (4))$ d'éléments de $F$ : $7^{4} = 2 401$ applications.

b) $f$ est injective si et seulement si ce 4-uplet est formé d'éléments distincts : $7 \times 6 \times 5 \times 4$ , soit 840 applications injectives.

c) Une application strictement croissante est injective ; on lui associe son image $f (E)$ , partie de $F$ à 4 éléments. Réciproquement, à une partie ${a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4}}$ correspond une unique application strictement croissante : $f (i) = a_{i}$ . C'est une bijection, donc il y a $(\binom{7}{4}) = 35$ applications strictement croissantes. Contrôle : chaque partie donne $4! = 24$ injections, et $\frac{840}{24} = 35$ .

d) Il y a $2^{4} = 16$ applications de $E$ dans ${0; 1}$ ; seules les 2 applications constantes ne prennent pas les deux valeurs. Donc $16 - 2$ , soit 14 applications.

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