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Spécialité Mathématiques Terminale

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Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace, expression en repère orthonormé, orthogonalité de droites et de plans, vecteur normal, équation cartésienne d'un plan, projeté orthogonal d'un point sur une droite ou un plan, distances

À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel : produit scalaire dans l'espace, Repère orthonormé : produit scalaire, norme et distance, Orthogonalité dans l'espace : droites, plans, vecteur normal, Équation cartésienne d'un plan. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.
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L'essentiel : produit scalaire dans l'espace

Définition. Soient u→ et v→ deux vecteurs de l'espace et trois points A, B, C tels que u→=AB→ et v→=AC→. Ces trois points sont toujours dans un même plan : le produit scalaire u→·v→ est le produit scalaire AB→·AC→ calculé dans ce plan. Si u→ et v→ sont non nuls : u→·v→=‖u→‖×‖v→‖×cosBAC^. Si u→=0→ ou v→=0→, alors u→·v→=0.
Avec un projeté. Si H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), alors AB→·AC→=AB→·AH→ : c'est AB×AH si AB→ et AH→ sont de même sens, −AB×AH sinon.
Règles de calcul. Pour tous vecteurs u→, v→, w→ et tout réel k : u→·v→=v→·u→ ; u→·(v→+w→)=u→·v→+u→·w→ ; (ku→)·v→=k(u→·v→) ; u→·u→=‖u→‖2.
Développement et polarisation. ‖u→+v→‖2=‖u→‖2+2u→·v→+‖v→‖2, d'où u→·v→=12(‖u→+v→‖2−‖u→‖2−‖v→‖2)=12(‖u→‖2+‖v→‖2−‖u→−v→‖2).
Exemples. Dans un cube ABCDEFGH d'arête 3 (face ABCD en bas, E, F, G, H au-dessus de A, B, C, D) : le projeté orthogonal de G sur (AB) est B, donc AB→·AG→=AB→·AB→=9 ; celui de H est A, donc AB→·AH→=0.
Si ‖u→‖=2, ‖v→‖=3 et ‖u→+v→‖=4, alors u→·v→=12(16−4−9)=32.
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Repère orthonormé : produit scalaire, norme et distance

Base et repère orthonormés. Une base (ı→,ȷ→,k→) de l'espace est orthonormée si ses trois vecteurs sont de norme 1 et deux à deux orthogonaux. Le repère (O;ı→,ȷ→,k→) est alors orthonormé.
Expression analytique (base orthonormée uniquement). Si u→(x;y;z) et v→(x′;y′;z′) : u→·v→=xx′+yy′+zz′,‖u→‖=x2+y2+z2. Distance entre deux points : AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2.
Exemple 1. u→(2;−1;3) et v→(4;5;−1) : u→·v→=8−5−3=0, les vecteurs sont orthogonaux. ‖u→‖=4+1+9=14.
Exemple 2 (angle). a→(1;1;0) et b→(0;1;1) : a→·b→=1 et ‖a→‖=‖b→‖=2, donc cosθ=12×2=12 : l'angle géométrique vaut 60∘.
Pour un angle : on calcule cosθ=u→·v→‖u→‖×‖v→‖, puis θ à la calculatrice en mode degrés ; θ est compris entre 0∘ et 180∘. Un cosinus négatif signale un angle obtus.
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Orthogonalité dans l'espace : droites, plans, vecteur normal

Vecteurs orthogonaux. u→ et v→ sont orthogonaux si et seulement si u→·v→=0. Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.
Droites orthogonales. Deux droites de vecteurs directeurs u→ et u→′ sont orthogonales si et seulement si u→·u→′=0. Elles sont perpendiculaires si, de plus, elles sont sécantes. Deux droites orthogonales peuvent être non coplanaires.
Vecteur normal à un plan. Un vecteur n→ non nul est normal au plan P s'il est orthogonal à tout vecteur de P. Propriété : il suffit qu'il soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P.
Justification. Si u→ et v→ dirigent P, tout vecteur w→ de P s'écrit w→=αu→+βv→, donc n→·w→=α(n→·u→)+β(n→·v→)=0.
Droite orthogonale à un plan. Une droite est orthogonale à un plan si un de ses vecteurs directeurs est normal au plan, c'est-à-dire si elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan. Elle est alors orthogonale à toutes les droites du plan.
Deux plans de vecteurs normaux n→ et n→′ sont parallèles si et seulement si n→ et n→′ sont colinéaires ; ils sont perpendiculaires si et seulement si n→·n→′=0.
Exemple. Cube ABCDEFGH d'arête 1, repère (A;AB→,AD→,AE→) : AG→(1;1;1), BD→(−1;1;0), BE→(−1;0;1). On a AG→·BD→=−1+1+0=0 et AG→·BE→=−1+0+1=0 ; comme BD→ et BE→ ne sont pas colinéaires, la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE).
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Équation cartésienne d'un plan

Théorème. Dans un repère orthonormé, soit A un point et n→(a;b;c) un vecteur non nul. Le plan passant par A et de vecteur normal n→ est l'ensemble des points M tels que AM→·n→=0 ; il admet une équation de la forme ax+by+cz+d=0. Réciproquement, si (a;b;c)≠(0;0;0), l'ensemble des points M(x;y;z) tels que ax+by+cz+d=0 est un plan de vecteur normal n→(a;b;c).
Justification. M∈P⟺AM→·n→=0⟺a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)=0, qui s'écrit ax+by+cz+d=0 avec d=−(axA+byA+czA). Réciproquement, si par exemple a≠0, le point A(−da;0;0) vérifie l'équation, et celle-ci équivaut à AM→·n→=0.
Exemple. Plan passant par A(2;−1;3) et de vecteur normal n→(1;4;−2) : il a une équation x+4y−2z+d=0 ; A lui appartient, donc 2−4−6+d=0, soit d=8. Équation : x+4y−2z+8=0.
Position relative de deux plans. On lit les vecteurs normaux sur les équations. Non colinéaires : les plans sont sécants selon une droite. Colinéaires : les plans sont parallèles, confondus si un point de l'un appartient à l'autre, strictement parallèles sinon.
Exemple. Plans x+4y−2z+8=0 et 2x+y+3z−1=0 : (1;4;−2)·(2;1;3)=2+4−6=0, les plans sont perpendiculaires.
Une équation cartésienne n'est pas unique : en la multipliant par un réel non nul, on obtient une autre équation du même plan. Pour une intersection droite-plan, la forme la plus efficace est « représentation paramétrique de la droite + équation cartésienne du plan ».
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Projeté orthogonal et distances dans l'espace

Projeté orthogonal sur une droite. Le projeté orthogonal d'un point M sur une droite d de vecteur directeur u→ est le point H de d tel que MH→·u→=0.
Projeté orthogonal sur un plan. Le projeté orthogonal de M sur un plan P est le point d'intersection H de P et de la droite passant par M orthogonale à P : H∈P et MH→ est colinéaire à un vecteur normal n→.
Propriété (démonstration exigible). Le projeté orthogonal H d'un point M sur un plan P est le point de P le plus proche de M.
Démonstration. Soit N un point de P. Comme H et N sont dans P, HN→ est un vecteur de P ; or MH→ est normal à P, donc MH→·HN→=0. Alors MN2=‖MH→+HN→‖2=MH2+2MH→·HN→+HN2=MH2+HN2. Ainsi MN2⩾MH2, soit MN⩾MH, avec égalité si et seulement si HN=0, c'est-à-dire N=H.
Distance d'un point à un plan (ou à une droite) : c'est la longueur MH, où H est le projeté orthogonal de M. Elle est nulle si et seulement si M appartient au plan (à la droite).
Exemple. P:x+2y−2z+3=0 et M(2;1;−1). La droite passant par M dirigée par n→(1;2;−2) est formée des points (2+t;1+2t;−1−2t). On remplace : (2+t)+2(1+2t)−2(−1−2t)+3=9+9t=0, d'où t=−1 et H(1;−1;1). Distance : MH=‖−n→‖=1+4+4=3.
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Méthodes

Méthode 1 — Vecteur normal et équation d'un plan défini par trois points
  1. Calculer AB→ et AC→ et vérifier qu'ils ne sont pas colinéaires.
  2. Chercher n→(a;b;c) tel que n→·AB→=0 et n→·AC→=0 : deux équations, trois inconnues.
  3. Fixer une inconnue non nulle et en déduire les deux autres.
  4. Écrire ax+by+cz+d=0, trouver d avec A, vérifier avec B et C.
Exemple rédigé. A(1;0;2), B(2;1;0), C(0;3;1). AB→(1;1;−2) et AC→(−1;3;−1) ne sont pas colinéaires (premières coordonnées opposées, deuxièmes non). On résout a+b−2c=0 et −a+3b−c=0 ; en ajoutant, 4b−3c=0. Avec c=4 : b=3 et a=2c−b=5. Donc n→(5;3;4). Plan : 5x+3y+4z+d=0 ; avec A : 5+8+d=0, d=−13. Vérification : B donne 10+3−13=0 et C donne 9+4−13=0. (ABC):5x+3y+4z−13=0.
Méthode 2 — Intersection d'une droite et d'un plan
  1. Prendre une représentation paramétrique de la droite et une équation cartésienne du plan.
  2. Remplacer x, y, z par leurs expressions en t dans l'équation du plan.
  3. Une solution unique t0 : droite et plan sécants, le point s'obtient avec t0. Égalité toujours fausse : droite strictement parallèle au plan. Égalité toujours vraie : droite contenue dans le plan.
Exemple rédigé. d:x=1+2t, y=−t, z=3+t et P:2x+y+z−1=0. On obtient 2(1+2t)−t+(3+t)−1=4+4t=0, donc t=−1 : d coupe P en (−1;1;2). Avec P′:x+y−z+4=0, on obtient (1+2t)−t−(3+t)+4=2, et l'équation 2=0 n'a pas de solution : d est strictement parallèle à P′.
Méthode 3 — Projeté orthogonal d'un point sur une droite
  1. Écrire les coordonnées d'un point H quelconque de d en fonction de t.
  2. Exprimer MH→ en fonction de t.
  3. Résoudre MH→·u→=0.
  4. En déduire H, puis la distance MH de M à d.
Exemple rédigé. d passe par A(0;1;2), de vecteur directeur u→(1;−1;2), et M(1;2;−1). H(t;1−t;2+2t), MH→(t−1;−1−t;3+2t). MH→·u→=(t−1)+(1+t)+2(3+2t)=6t+6=0, donc t=−1 : H(−1;2;0), MH→(−2;0;1) et MH=5.
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Pièges et erreurs classiques

Produit scalaire nul ≠ vecteur nul. (1;1;0)·(1;−1;5)=0 alors qu'aucun des deux vecteurs n'est nul : ils sont simplement orthogonaux.
Orthogonales ≠ perpendiculaires. Dans un cube, (AB) et (CG) sont orthogonales mais ne se coupent pas. « Perpendiculaires » exige en plus que les droites soient sécantes.
Un seul produit scalaire ne suffit pas. Pour qu'un vecteur soit normal à un plan, il doit être orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
Repère orthonormé obligatoire. xx′+yy′+zz′ et x2+y2+z2 sont faux dans un repère quelconque : vérifier que le repère est orthonormé avant de calculer.
Une équation ax+by+cz+d=0 décrit un plan. Dans l'espace, 2x−y+3=0 est un plan (parallèle à l'axe des cotes), pas une droite : une droite se décrit par une représentation paramétrique ou comme intersection de deux plans.
Normales colinéaires ≠ plans confondus. Il faut encore tester un point de l'un dans l'équation de l'autre.
Formule de la distance point-plan. |axM+byM+czM+d|a2+b2+c2 n'est pas au programme : on la retrouve en calculant le projeté orthogonal, et on justifie chaque étape.
En bref
  • Repère orthonormé : u→·v→=xx′+yy′+zz′, ‖u→‖=x2+y2+z2 ; u→·v→=‖u→‖‖v→‖cosθ.
  • Orthogonalité : u→·v→=0. Droites orthogonales ≠ perpendiculaires (sécantes en plus).
  • n→ normal à P : orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P.
  • Plan de vecteur normal n→(a;b;c) : ax+by+cz+d=0, d se trouve avec un point.
  • Deux plans : normales colinéaires ⇒ parallèles ; n→·n→′=0 ⇔ perpendiculaires.
  • Projeté H de M sur un plan : droite (M;n→) ∩ plan. H est le point du plan le plus proche de M (démonstration exigible) et MH est la distance de M au plan.
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