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Combinatoire et dénombrement

Principe multiplicatif, k-uplets, arrangements, permutations, combinaisons, coefficients binomiaux et triangle de Pascal

À propos de cette page

Ce QCM sur « Combinatoire et dénombrement » en terminale teste tes connaissances en spécialité mathématiques de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de terminale. Au programme : L'essentiel, k-uplets, arrangements et permutations, Combinaisons et coefficients binomiaux, Relation de Pascal et formule du binôme. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en terminale.

Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !

Les 24 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 8 questions

Que vaut $0!$ ?
- A. $0$
- B. $1$
- C. $- 1$
- D. elle n'est pas définie
Réponse
B. $1$ — Par convention $0! = 1$ ; c'est ce qui rend valable $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ pour $k = 0$ et $k = n$ .
Combien de parties possède un ensemble à 6 éléments ?
- A. $12$
- B. $36$
- C. $64$
- D. $720$
Réponse
C. $64$ — Un ensemble à $n$ éléments possède $2^{n}$ parties : $2^{6} = 64$ .
Pour tout entier $n \geq 1$ , $(\binom{n}{1})$ est égal à :
- A. $1$
- B. $n$
- C. $n - 1$
- D. $n!$
Réponse
B. $n$ — Il y a exactement $n$ parties à un élément (les singletons).
On tire simultanément 3 cartes d'un jeu. Un tirage se modélise par :
- A. un 3-uplet quelconque
- B. une permutation du jeu
- C. une combinaison de 3 cartes
- D. un 3-uplet de cartes distinctes
Réponse
C. une combinaison de 3 cartes — « Simultanément » : pas d'ordre, pas de répétition, c'est une partie à 3 éléments.
Combien y a-t-il de 4-uplets d'éléments d'un ensemble à 5 éléments (répétitions permises) ?
- A. $5^{4}$
- B. $4^{5}$
- C. $(\binom{5}{4})$
- D. $5 \times 4$
Réponse
A. $5^{4}$ — 5 choix pour chacun des 4 termes : $5^{4} = 625$ .
Par symétrie, $(\binom{17}{15})$ est égal à :
- A. $(\binom{17}{2})$
- B. $(\binom{15}{2})$
- C. $(\binom{17}{13})$
- D. $(\binom{32}{15})$
Réponse
A. $(\binom{17}{2})$ — $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$ avec $17 - 15 = 2$ : $(\binom{17}{2}) = 136$ .
Pour $0 \leq k \leq n - 1$ , $(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1})$ est égal à :
- A. $(\binom{n + 1}{k})$
- B. $(\binom{2 n + 1}{2 k + 1})$
- C. $(\binom{n}{2 k + 1})$
- D. $(\binom{n + 1}{k + 1})$
Réponse
D. $(\binom{n + 1}{k + 1})$ — C'est la relation de Pascal : $(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1}) = (\binom{n + 1}{k + 1})$ .
Combien de mots peut-on écrire avec les 6 lettres, toutes distinctes, du mot BINÔME ?
- A. $6$
- B. $36$
- C. $120$
- D. $720$
Réponse
D. $720$ — Ce sont les permutations de 6 lettres distinctes : $6! = 720$ .

Niveau moyen — 8 questions

Nombre de mots de passe de 4 lettres distinctes choisies parmi les 26 lettres de l'alphabet :
- A. $104$
- B. $358 800$
- C. $14 950$
- D. $456 976$
Réponse
B. $358 800$ — 4-uplets d'éléments distincts : $26 \times 25 \times 24 \times 23 = 358 800$ .
Dans une classe de 31 élèves, nombre de façons de choisir 2 délégués (sans distinguer de rôle) :
- A. $930$
- B. $62$
- C. $31^{2}$
- D. $465$
Réponse
D. $465$ — $(\binom{31}{2}) = \frac{31 \times 30}{2} = 465$ ; 930 compterait les choix ordonnés.
Coefficient de $x^{3}$ dans le développement de $(x + 3)^{5}$ :
- A. $30$
- B. $90$
- C. $270$
- D. $10$
Réponse
B. $90$ — Terme $(\binom{5}{3}) x^{3} \times 3^{2} = 10 \times 9 x^{3}$ , soit 90.
Nombre de chemins de $(0; 0)$ à $(5; 6)$ par pas unitaires vers la droite ou vers le haut :
- A. $30$
- B. $2^{11}$
- C. $462$
- D. $924$
Réponse
C. $462$ — Mot de 11 pas dont 5 vers la droite : $(\binom{11}{5}) = 462$ .
Un jeu de 40 cartes contient 4 as. Nombre de mains de 3 cartes contenant exactement un as :
- A. $2 520$
- B. $7 140$
- C. $9 880$
- D. $630$
Réponse
A. $2 520$ — $(\binom{4}{1}) \times (\binom{36}{2}) = 4 \times 630 = 2 520$ .
Nombre d'anagrammes du mot ANANAS :
- A. $720$
- B. $120$
- C. $60$
- D. $360$
Réponse
C. $60$ — 6 lettres dont 3 A et 2 N : $\frac{6!}{3! 2!} = \frac{720}{12} = 60$ .
Nombre de parties ayant au moins 2 éléments d'un ensemble à 8 éléments :
- A. $247$
- B. $255$
- C. $248$
- D. $28$
Réponse
A. $247$ — On retire de $2^{8} = 256$ la partie vide et les 8 singletons : $256 - 9 = 247$ .
Sans calcul, $(\binom{15}{3}) + (\binom{15}{4})$ est égal à :
- A. $(\binom{15}{7})$
- B. $(\binom{30}{7})$
- C. $2 (\binom{15}{7})$
- D. $(\binom{16}{4})$
Réponse
D. $(\binom{16}{4})$ — Relation de Pascal avec $n = 15$ , $k = 3$ : $(\binom{16}{4}) = 1 820$ .

Niveau difficile — 8 questions

On tire successivement et sans remise 3 boules dans une urne de 9 boules numérotées. Nombre de tirages :
- A. $84$
- B. $729$
- C. $504$
- D. $27$
Réponse
C. $504$ — L'ordre compte, sans répétition : $9 \times 8 \times 7 = 504$ . 84 oublie l'ordre, 729 autorise la remise.
Pour tout entier $n \geq 2$ , laquelle de ces égalités est fausse ?
- A. $(\binom{n}{n}) = 1$
- B. $(\binom{n}{1}) = (\binom{n}{n - 1})$
- C. $(\binom{2 n}{2}) = 2 (\binom{n}{2})$
- D. $(\binom{n}{2}) = \frac{n (n - 1)}{2}$
Réponse
C. $(\binom{2 n}{2}) = 2 (\binom{n}{2})$ — $(\binom{2 n}{2}) = n (2 n - 1)$ alors que $2 (\binom{n}{2}) = n (n - 1)$ : ces nombres diffèrent.
Un ensemble $E$ possède $65 536$ parties. Combien de parties de $E$ ont 3 éléments ?
- A. $560$
- B. $3 360$
- C. $4 096$
- D. $21 845$
Réponse
A. $560$ — $65 536 = 2^{16}$ , donc $E$ a 16 éléments et $(\binom{16}{3}) = 560$ ; 3 360 compte les choix ordonnés.
Dans un lycée, 40 élèves étudient le latin, 25 le grec et 9 les deux. Nombre d'élèves étudiant au moins l'une des deux langues :
- A. $65$
- B. $56$
- C. $47$
- D. $74$
Réponse
B. $56$ — Les deux groupes ne sont pas disjoints : $40 + 25 - 9 = 56$ . Le principe additif seul donnerait 65, à tort.
Nombre de façons de répartir 6 personnes en 3 binômes non numérotés :
- A. $90$
- B. $15$
- C. $20$
- D. $45$
Réponse
B. $15$ — Binômes numérotés : $(\binom{6}{2}) (\binom{4}{2}) (\binom{2}{2}) = 90$ ; sans numéro, on divise par $3!$ : 15.
Nombre de diagonales d'un polygone convexe à 11 côtés :
- A. $55$
- B. $110$
- C. $99$
- D. $44$
Réponse
D. $44$ — Segments joignant 2 sommets : $(\binom{11}{2}) = 55$ , dont 11 côtés : $55 - 11 = 44$ .
Le nombre de mots de 7 caractères formés de cinq « 0 » et de deux « 1 » est :
- A. $(\binom{7}{2})$
- B. $\frac{7!}{5!}$
- C. $2^{7}$
- D. $(\binom{7}{5}) + (\binom{7}{2})$
Réponse
A. $(\binom{7}{2})$ — Le mot est déterminé par les 2 positions des « 1 » : $(\binom{7}{2}) = 21$ ; $\frac{7!}{5!} = 42$ distingue à tort les deux « 1 ».
Coefficient de $x^{3}$ dans le développement de $(1 - 2 x)^{6}$ :
- A. $160$
- B. $- 20$
- C. $- 120$
- D. $- 160$
Réponse
D. $- 160$ — $(\binom{6}{3}) (- 2 x)^{3} = 20 \times (- 8) x^{3}$ : le coefficient vaut $- 160$ ; oublier le signe donne 160.

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