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Combinatoire et dénombrement
Principes additif et multiplicatif, k-uplets, factorielle et permutations, k-uplets d’éléments distincts, combinaisons, coefficients binomiaux, triangle de Pascal, mots et chemins.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Que vaut 0! ?
- A. 1
- B. 0
- C. −1
- D. elle n'est pas définie
Réponse
A. 1 — Par convention, 0! = 1 ; c'est ce qui rend la formule n!/(k!(n − k)!) valable pour k = 0 et k = n.
Combien de parties possède un ensemble à 6 éléments ?
- A. 12
- B. 36
- C. 64
- D. 720
Réponse
C. 64 — Un ensemble à n éléments possède 2ⁿ parties : 2⁶ = 64.
Pour tout entier n ≥ 1, « 1 parmi n » est égal à :
- A. 1
- B. n
- C. n − 1
- D. n!
Réponse
B. n — Il y a exactement n parties à un élément : les singletons.
On tire simultanément 3 cartes d'un jeu. Un tirage se modélise par :
- A. un 3-uplet de cartes quelconques
- B. une permutation du jeu entier
- C. un 3-uplet de cartes distinctes
- D. une partie à 3 cartes
Réponse
D. une partie à 3 cartes — « Simultanément » : pas d'ordre, pas de répétition. C'est une combinaison de 3 cartes.
Nombre de 4-uplets d'un ensemble à 5 éléments (répétitions permises) :
- A. 5⁴ = 625
- B. 4⁵ = 1 024
- C. 5 × 4 × 3 × 2 = 120
- D. « 4 parmi 5 » = 5
Réponse
A. 5⁴ = 625 — 5 choix pour chacun des 4 termes : 5⁴ = 625.
Par symétrie, « 15 parmi 17 » est égal à :
- A. « 2 parmi 15 »
- B. « 2 parmi 17 »
- C. « 13 parmi 17 »
- D. « 15 parmi 32 »
Réponse
B. « 2 parmi 17 » — « k parmi n » = « n − k parmi n » avec 17 − 15 = 2 ; cela vaut 17 × 16 / 2 = 136.
Pour 0 ≤ k ≤ n − 1, « k parmi n » + « k + 1 parmi n » est égal à :
- A. « k parmi n + 1 »
- B. « 2k + 1 parmi 2n »
- C. « k + 1 parmi 2n + 1 »
- D. « k + 1 parmi n + 1 »
Réponse
D. « k + 1 parmi n + 1 » — C'est la relation de Pascal : on additionne deux voisins de la ligne n et on obtient le coefficient placé sous le second, ligne n + 1.
Six coureurs arrivent sans ex æquo. Nombre d'ordres d'arrivée possibles :
- A. 36
- B. 6
- C. 720
- D. 120
Réponse
C. 720 — Un ordre d'arrivée est une permutation des 6 coureurs : 6! = 720.
Un cadenas a 3 molettes portant chacune les chiffres de 0 à 9. Nombre de codes :
- A. 3 × 10 = 30
- B. 10³ = 1 000
- C. 9³ = 729
- D. « 3 parmi 10 » = 120
Réponse
B. 10³ = 1 000 — Chaque molette offre 10 choix, répétitions permises : 10³ = 1 000.
Le nombre de 3-uplets d'éléments distincts d'un ensemble à 7 éléments est :
- A. 7³
- B. « 3 parmi 7 »
- C. 7!
- D. 7 × 6 × 5
Réponse
D. 7 × 6 × 5 — 7 choix pour le premier terme, 6 pour le deuxième, 5 pour le troisième : 210.
A et B sont disjoints, avec card(A) = 12 et card(B) = 9. Alors card(A ∪ B) vaut :
- A. 21
- B. 108
- C. 3
- D. on ne peut pas le savoir
Réponse
A. 21 — Ensembles disjoints : principe additif, 12 + 9 = 21.
Pour tout entier n ≥ 2, « 2 parmi n » est égal à :
- A. n(n − 1)
- B. n²/2
- C. n(n − 1)/2
- D. 2n
Réponse
C. n(n − 1)/2 — « 2 parmi n » = n!/(2!(n − 2)!) = n(n − 1)/2 ; n(n − 1) compte les couples ordonnés.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
Mots de passe de 4 lettres distinctes, choisies parmi les 26 lettres de l'alphabet :
- A. 104
- B. 358 800
- C. 14 950
- D. 456 976
Réponse
B. 358 800 — 4-uplets d'éléments distincts : 26 × 25 × 24 × 23 = 358 800. 456 976 = 26⁴ autorise les répétitions.
Dans une classe de 31 élèves, nombre de façons de choisir 2 délégués (sans rôle distinct) :
- A. 930
- B. 62
- C. 961
- D. 465
Réponse
D. 465 — « 2 parmi 31 » = 31 × 30 / 2 = 465 ; 930 compterait les choix ordonnés.
Nombre de chemins de (0 ; 0) à (5 ; 6) par pas unitaires vers la droite ou vers le haut :
- A. 30
- B. 2 048
- C. 462
- D. 924
Réponse
C. 462 — Un chemin est un mot de 11 pas dont 5 vers la droite : « 5 parmi 11 » = 462.
Un jeu de 40 cartes contient 4 as. Nombre de mains de 3 cartes contenant exactement un as :
- A. 2 520
- B. 7 140
- C. 9 880
- D. 630
Réponse
A. 2 520 — 1 as parmi 4, puis 2 cartes parmi les 36 autres : 4 × 630 = 2 520.
Nombre d'anagrammes du mot ANANAS :
- A. 720
- B. 120
- C. 60
- D. 360
Réponse
C. 60 — Places des 3 A : « 3 parmi 6 » = 20 ; places des 2 N parmi les 3 restantes : 3 ; le S prend la dernière. 20 × 3 = 60.
Nombre de parties non vides d'un ensemble à 8 éléments :
- A. 255
- B. 256
- C. 8
- D. 247
Réponse
A. 255 — 2⁸ = 256 parties, dont une seule est vide : 256 − 1 = 255.
Sans calcul, « 3 parmi 15 » + « 4 parmi 15 » est égal à :
- A. « 7 parmi 15 »
- B. « 4 parmi 16 »
- C. « 7 parmi 30 »
- D. « 3 parmi 16 »
Réponse
B. « 4 parmi 16 » — Relation de Pascal avec n = 15 et k = 3 : « 4 parmi 16 » = 1 820.
5 personnes s'assoient sur un banc de 5 places ; Léa et Tom veulent être côte à côte. Nombre de placements :
- A. 24
- B. 120
- C. 12
- D. 48
Réponse
D. 48 — Le bloc Léa-Tom et les 3 autres : 4! = 24 rangements ; le bloc s'ordonne de 2 façons : 48.
Nombre d'entiers de 3 chiffres (premier chiffre non nul) dont les chiffres sont deux à deux distincts :
- A. 720
- B. 648
- C. 900
- D. 504
Réponse
B. 648 — Premier chiffre : 9 choix (pas 0) ; deuxième : 9 (0 permis, pas le premier) ; troisième : 8. 9 × 9 × 8 = 648.
On lance 5 fois une pièce. Nombre de suites de résultats avec exactement 2 « pile » :
- A. 10
- B. 20
- C. 32
- D. 25
Réponse
A. 10 — Mot de 5 lettres avec 2 lettres P : « 2 parmi 5 » = 10.
Entre 1 et 100, combien d'entiers sont divisibles par 2 ou par 5 ?
- A. 70
- B. 10
- C. 60
- D. 50
Réponse
C. 60 — 50 pairs, 20 multiples de 5, dont 10 multiples de 10 comptés deux fois : 50 + 20 − 10 = 60.
Un comité de 3 personnes est choisi parmi 10 ; il doit contenir Inès. Nombre de comités :
- A. 120
- B. 84
- C. 45
- D. 36
Réponse
D. 36 — Inès est imposée : on choisit les 2 autres parmi les 9 restants, « 2 parmi 9 » = 36.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
On tire successivement et sans remise 3 boules dans une urne de 9 boules numérotées. Nombre de tirages :
- A. 84
- B. 729
- C. 504
- D. 27
Réponse
C. 504 — L'ordre compte, sans répétition : 9 × 8 × 7 = 504. 84 oublie l'ordre, 729 = 9³ suppose la remise.
Pour tout entier n ≥ 2, laquelle de ces égalités est fausse ?
- A. « 2 parmi 2n » = 2 × « 2 parmi n »
- B. « n parmi n » = 1
- C. « 1 parmi n » = « n − 1 parmi n »
- D. « 2 parmi n » = n(n − 1)/2
Réponse
A. « 2 parmi 2n » = 2 × « 2 parmi n » — « 2 parmi 2n » = n(2n − 1), alors que 2 × « 2 parmi n » = n(n − 1) : ces nombres diffèrent dès n ≥ 1.
Un ensemble E possède 65 536 parties. Combien de parties de E ont 3 éléments ?
- A. 3 360
- B. 560
- C. 4 096
- D. 21 845
Réponse
B. 560 — 65 536 = 2¹⁶ : E a 16 éléments, et « 3 parmi 16 » = 560. 3 360 compte les choix ordonnés.
Dans un lycée, 40 élèves étudient le latin, 25 le grec et 9 les deux. Combien étudient au moins l'une des deux langues ?
- A. 65
- B. 47
- C. 74
- D. 56
Réponse
D. 56 — Les deux groupes ne sont pas disjoints : 40 + 25 − 9 = 56. L'addition seule donnerait 65, à tort.
Nombre de façons de répartir 6 personnes en 3 binômes non numérotés :
- A. 90
- B. 15
- C. 20
- D. 45
Réponse
B. 15 — Binômes numérotés : 15 × 6 × 1 = 90 ; sans numéro, on divise par 3! = 6 : 15.
Le nombre de mots de 7 caractères formés de cinq « 0 » et de deux « 1 » est :
- A. 21
- B. 42
- C. 128
- D. 35
Réponse
A. 21 — Le mot est déterminé par les 2 positions des « 1 » : « 2 parmi 7 » = 21. 42 = 7 × 6 distingue à tort les deux « 1 ».
Un questionnaire compte 6 questions vrai/faux. Nombre de façons d'y répondre avec exactement 4 réponses justes :
- A. 64
- B. 24
- C. 15
- D. 360
Réponse
C. 15 — On choisit les 4 questions réussies parmi 6 : « 4 parmi 6 » = 15 ; les réponses sont alors imposées.
Combien d'entiers de 4 chiffres (premier chiffre non nul) ont au moins deux chiffres égaux ?
- A. 4 536
- B. 5 040
- C. 3 960
- D. 4 464
Réponse
D. 4 464 — 9 000 entiers en tout, dont 9 × 9 × 8 × 7 = 4 536 à chiffres distincts : 9 000 − 4 536 = 4 464.
Pour 2 ≤ k ≤ n, nombre de parties à k éléments d’un ensemble à n éléments qui contiennent deux éléments a et b fixés :
- A. « k parmi n − 2 »
- B. « k − 1 parmi n − 2 »
- C. « k − 2 parmi n − 2 »
- D. « k − 2 parmi n − 1 »
Réponse
C. « k − 2 parmi n − 2 » — a et b sont imposés : on choisit les k − 2 autres éléments parmi les n − 2 restants.
La somme « 0 parmi 10 » + « 1 parmi 10 » + … + « 10 parmi 10 » vaut :
- A. 100
- B. 512
- C. 1 024
- D. 3 628 800
Réponse
C. 1 024 — C'est le nombre total de parties d'un ensemble à 10 éléments, rangées selon leur nombre d'éléments : 2¹⁰ = 1 024.
Mains de 5 cartes d'un jeu de 32 cartes (4 as) contenant au moins un as :
- A. 103 096
- B. 125 860
- C. 98 280
- D. 201 376
Réponse
A. 103 096 — « 5 parmi 32 » = 201 376 mains, dont « 5 parmi 28 » = 98 280 sans as : 103 096. 125 860 = 4 × « 4 parmi 31 » compte deux fois les mains à plusieurs as.
Nombre de chemins de (0 ; 0) à (4 ; 4), par pas vers la droite ou vers le haut, qui passent par (2 ; 2) :
- A. 70
- B. 12
- C. 6
- D. 36
Réponse
D. 36 — « 2 parmi 4 » = 6 chemins jusqu'à (2 ; 2), puis 6 de (2 ; 2) à (4 ; 4) : 6 × 6 = 36.
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