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Combinatoire et dénombrement

Principes additif et multiplicatif, k-uplets, factorielle et permutations, k-uplets d’éléments distincts, combinaisons, coefficients binomiaux, triangle de Pascal, mots et chemins.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés dans l’esprit du bac : le digicode d’un immeuble, une loterie à numéro étoile avec une probabilité, le code génétique et les codons, des points, droites et triangles avec un alignement, et la répartition d’une classe en binômes comptée de deux façons.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je décris un résultat type par un objet précis : liste ordonnée, partie, mot, chemin, répartition.
Je pose les deux questions : l’ordre compte-t-il ? les répétitions sont-elles possibles ? La réponse donne nᵏ, n!/(n − k)!, n! ou « k parmi n ».
Je découpe le comptage : en étapes (je multiplie), en cas disjoints (j’additionne), ou par le complémentaire pour « au moins un ».
Je justifie chaque nombre en nommant le principe utilisé (additif, multiplicatif, complémentaire, relation de Pascal).
Je contrôle sur un petit cas, par un deuxième comptage ou par un ordre de grandeur, et je réponds par une phrase.

Problème 1 · Le digicode d’un immeuble★★★Facile

Le code d’entrée d’un immeuble est formé d’une lettre parmi A, B, C, D, suivie de

4

chiffres de

0

9

(un chiffre peut se répéter). Exemple : C0727.

1. Justifier que le nombre de codes possibles est
Rédaction attendue. Un code se construit en $5$ étapes : la lettre ( $4$ choix), puis chacun des $4$ chiffres ( $10$ choix chacun, car les répétitions sont permises). Ces nombres ne dépendent pas des choix précédents ; par le principe multiplicatif, il y a $4 \times 10^{4} = 40 000$ codes.
2. Nombre de codes dont les $4$ chiffres sont deux à deux distincts :
La lettre : $4$ choix ; les chiffres forment un $4$ -uplet d’éléments distincts de ${0, \dots, 9}$ : $10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5 040$ . Total : $4 \times 5 040 = 20 160$ .
3. En déduire le nombre de codes contenant au moins deux chiffres égaux :
C’est le complémentaire de « chiffres deux à deux distincts » : $40 000 - 20 160 = 19 840$ .
4. Un voisin a vu que le code commence par B et utilise les chiffres $1$ , $3$ , $5$ , $9$ , chacun une fois. Nombre de codes encore possibles :
La lettre est connue ; les $4$ chiffres distincts sont connus, seul leur ordre ne l’est pas : $4! = 24$ codes.

Problème 2 · Une loterie à numéro étoile★★★Moyen

Pour jouer, on coche

5

numéros distincts parmi les entiers de

1

35

, puis un numéro étoile parmi les entiers de

1

10

. Le jour du tirage,

5

numéros gagnants et une étoile gagnante sont désignés ; toutes les grilles ont la même probabilité de gagner.

1. Nombre de façons de cocher les $5$ numéros :
L’ordre de coche ne compte pas : c’est une partie à $5$ éléments de ${1, \dots, 35}$ , soit $(\binom{35}{5}) = 324 632$ .
2. Nombre de grilles complètes (numéros et étoile) :
Deux étapes indépendantes : les $5$ numéros, puis l’étoile ( $10$ choix). $324 632 \times 10 = 3 246 320$ grilles.
3. Justifier le nombre de façons de cocher $5$ numéros dont exactement $3$ sont gagnants :
Rédaction attendue. Une telle coche contient $3$ numéros choisis parmi les $5$ gagnants, et $2$ numéros choisis parmi les $35 - 5 = 30$ perdants. Ces deux choix se font indépendamment : par le principe multiplicatif, il y a $(\binom{5}{3}) \times (\binom{30}{2})$ $= 10 \times 435 = 4 350$ façons.
4. Probabilité d’avoir exactement $3$ bons numéros (l’étoile ne compte pas), arrondie au dix-millième :
Toutes les coches sont équiprobables : $P = \frac{4 350}{324 632} \approx 0, 0134$ , soit un peu plus de $1 %$ .

Problème 3 · Le code génétique★★★Moyen

Un brin d’ADN est une suite de bases, chacune parmi A, C, G, T. Un codon est une suite de

3

bases consécutives : à part trois codons « stop », chaque codon code un acide aminé. Le code génétique standard utilise

20

acides aminés.

1. Justifier que des suites de $2$ bases ne suffiraient pas à coder les $20$ acides aminés : nombre de suites de $2$ bases =
Rédaction attendue. Une suite de $2$ bases est un $2$ -uplet de l’ensemble ${A, C, G, T}$ , qui a $4$ éléments : il y en a $4^{2} = 16$ . Comme $16 < 20$ , on ne peut pas associer une suite différente à chacun des $20$ acides aminés : deux bases ne suffisent pas.
2. Nombre de codons possibles :
$3$ -uplets d’un ensemble à $4$ éléments : $4^{3} = 64 ⩾ 20$ . Comme $64 - 3 = 61 > 20$ , un même acide aminé est codé par plusieurs codons : le code est redondant.
3. Nombre de suites de $8$ bases contenant exactement $3$ bases G :
On choisit les $3$ positions des G parmi $8$ : $(\binom{8}{3}) = 56$ ; chacune des $5$ autres positions reçoit A, C ou T : $3^{5} = 243$ . Total : $56 \times 243 = 13 608$ .
4. Nombre de suites de $8$ bases contenant au moins une base G :
Il y a $4^{8} = 65 536$ suites, dont $3^{8} = 6 561$ sans aucun G. Par complémentaire : $65 536 - 6 561 = 58 975$ .

Problème 4 · Points, droites et triangles★★★Difficile

Dans le plan, on place

11

points distincts. Quatre d’entre eux sont alignés sur une droite

d

; en dehors de cet alignement, trois points ne sont jamais alignés.

1. Nombre de segments dont les extrémités sont deux de ces points :
Un segment est une paire de points : $(\binom{11}{2}) = \frac{11 \times 10}{2} = 55$ .
2. Justifier le nombre de droites distinctes qui passent par au moins deux de ces points :
Rédaction attendue. Deux points distincts déterminent une droite. Les $55$ paires de points donnent toutes des droites différentes, sauf les $(\binom{4}{2}) = 6$ paires de points de $d$ , qui donnent toutes la même droite $d$ . On remplace ces $6$ droites confondues par une seule : $55 - 6 + 1 = 50$ droites.
3. Nombre de triangles dont les sommets sont trois de ces points :
Trois points forment un triangle s’ils ne sont pas alignés. Sur les $(\binom{11}{3}) = 165$ choix de trois points, $(\binom{4}{3}) = 4$ sont alignés (sur $d$ ) : $165 - 4 = 161$ triangles.
4. Nombre de ces triangles ayant exactement deux sommets sur $d$ :
$2$ sommets parmi les $4$ points de $d$ , et $1$ parmi les $7$ autres : $(\binom{4}{2}) = 6$ , puis $6 \times 7 = 42$ .
5. Nombre de ces triangles ayant au moins un sommet sur $d$ :
Les triangles sans sommet sur $d$ ont leurs $3$ sommets parmi les $7$ autres points : $(\binom{7}{3}) = 35$ . Donc $161 - 35 = 126$ . Contrôle : un sommet sur $d$ donne $4 \times (\binom{7}{2}) = 84$ triangles, et $84 + 42 = 126$ .

Problème 5 · Former des binômes de TP★★★Difficile

Un professeur répartit les

8

élèves d’un groupe en

4

binômes.

1. Les binômes sont affectés aux paillasses numérotées de $1$ à $4$ . Nombre de répartitions :
On choisit le binôme de la paillasse $1$ parmi $8$ élèves, puis celui de la paillasse $2$ parmi les $6$ restants, etc. : $(\binom{8}{2}) \times (\binom{6}{2}) \times (\binom{4}{2}) \times (\binom{2}{2})$ $= 28 \times 15 \times 6 \times 1 = 2 520$ .
2. Justifier le nombre de répartitions en $4$ binômes quand les paillasses ne sont pas numérotées :
Rédaction attendue. Une répartition en binômes sans numéro donne $4! = 24$ répartitions numérotées : une pour chaque façon d’attribuer les $4$ paillasses aux $4$ binômes. Chaque répartition numérotée provient d’une seule répartition sans numéro. Donc le nombre cherché vaut $\frac{2 520}{24} = 105$ .
3. Autre méthode : l’élève le plus jeune choisit son partenaire ( $7$ choix), puis le plus jeune des élèves restants choisit le sien parmi élèves, et ainsi de suite.
Il reste $6$ élèves, dont celui qui choisit : il a $5$ partenaires possibles. Ensuite $3$ choix, puis $1$ . On retrouve $7 \times 5 \times 3 \times 1 = 105$ répartitions.
4. Avec $10$ élèves répartis en $5$ binômes non numérotés, nombre de répartitions :
Par la deuxième méthode : $9 \times 7 \times 5 \times 3 \times 1 = 945$ . Contrôle par la première : $\frac{10!}{2^{5} \times 5!} = \frac{3 628 800}{32 \times 120} = 945$ .

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