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Combinatoire et dénombrement

Principe multiplicatif, k-uplets, arrangements, permutations, combinaisons, coefficients binomiaux et triangle de Pascal

À propos de cette page

Ces problèmes corrigés sur « Combinatoire et dénombrement » en terminale permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en spécialité mathématiques. Ils suivent le programme officiel de terminale et se résolvent étape par étape. Au programme : L'essentiel, k-uplets, arrangements et permutations, Combinaisons et coefficients binomiaux, Relation de Pascal et formule du binôme. Cherche au brouillon, rédige, puis compare avec la correction détaillée de chaque problème. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en terminale.

Problèmes corrigés, type devoir surveillé ou bac : plusieurs parties, un raisonnement à rédiger. Traite chaque problème en entier au brouillon, puis déplie la correction rédigée.

Problème 1 — Séquences d'ADN

Moyen

Un brin d'ADN est une succession de nucléotides portant chacun l'une des quatre bases A, C, G ou T. On étudie des séquences, c'est-à-dire des suites ordonnées de bases.

1. Un codon est une séquence de 3 bases. Combien existe-t-il de codons ? Expliquer pourquoi des séquences de 2 bases ne suffiraient pas à coder les 20 acides aminés et le signal « stop ».
2. Combien existe-t-il de séquences de 10 bases ?
3. a) Combien de séquences de 10 bases contiennent exactement 3 fois la base A ?
3. b) Combien en contiennent au moins une fois la base A ?
4. Combien de séquences de 10 bases contiennent exactement 3 A, 3 C, 2 G et 2 T ? Obtenir ce résultat de deux manières.
5. Une séquence est dite symétrique si elle se lit de la même façon dans les deux sens. Combien existe-t-il de séquences symétriques de 10 bases ? de 11 bases ?
6. Quelle proportion des séquences de 10 bases contient exactement 3 A ? Arrondir à $10^{- 3}$ .

1. Un codon est un 3-uplet de ${A, C, G, T}$ : $4^{3} =$ 64 codons. Avec 2 bases, on n'obtiendrait que $4^{2} = 16$ séquences, moins que les 21 informations à coder (20 acides aminés et « stop ») : il faut au moins 3 bases. Comme $64 > 21$ , plusieurs codons codent le même acide aminé.

2. 10-uplets de bases : $4^{10} = 1 048 576$ séquences.

3. a) On choisit les 3 positions des A parmi 10 : $(\binom{10}{3}) = 120$ ; chacune des 7 autres positions reçoit C, G ou T : $3^{7} = 2 187$ . Principe multiplicatif : $120 \times 2 187$ , soit $262 440$ séquences.

3. b) Le contraire est « aucun A » : $3^{10} = 59 049$ séquences. Donc $1 048 576 - 59 049$ , soit $989 527$ séquences.

4. Première manière : positions des A ( $(\binom{10}{3}) = 120$ ), puis des C parmi les 7 restantes ( $(\binom{7}{3}) = 35$ ), puis des G parmi 4 ( $(\binom{4}{2}) = 6$ ), les T occupant les 2 dernières : $120 \times 35 \times 6 = 25 200$ . Seconde manière : les $10!$ permutations de 10 bases numérotées, divisées par les échanges internes à chaque base : $\frac{10!}{3! 3! 2! 2!} = \frac{3 628 800}{144}$ . Dans les deux cas : $25 200$ séquences.

5. Une séquence symétrique de 10 bases est entièrement déterminée par ses 5 premières bases (la 6e égale la 5e, …, la 10e la 1re) : $4^{5} = 1 024$ . Pour 11 bases, les 5 premières et la base centrale suffisent : $4^{6} = 4 096$ .

6. $\frac{262 440}{1 048 576} \approx$ $0, 250$ : environ une séquence sur quatre. On peut aussi écrire ce quotient $(\binom{10}{3}) {(\frac{1}{4})}^{3} {(\frac{3}{4})}^{7}$ , forme qui annonce la loi binomiale.

Problème 2 — Triangle de Pascal en Python

Moyen

On considère les fonctions Python suivantes, où $L$ et $E$ sont des listes.

def ligne_suivante(L):
    M = [1]
    for k in range(len(L) - 1):
        M.append(L[k] + L[k + 1])
    M.append(1)
    return M

def pascal(n):
    L = [1]
    for i in range(n):
        L = ligne_suivante(L)
    return L

def paires(E):
    P = []
    for i in range(len(E)):
        for j in range(i + 1, len(E)):
            P.append([E[i], E[j]])
    return P

1. Que renvoie $l i g n e_{s} u i v a n t e ([1, 3, 3, 1])$ ?
2. On suppose que $L$ est la liste $[(\binom{n}{0}), (\binom{n}{1}), \dots, (\binom{n}{n})]$ . Montrer que $l i g n e_{s} u i v a n t e (L)$ renvoie la liste des $(\binom{n + 1}{k})$ pour $0 \leq k \leq n + 1$ , puis en déduire ce que renvoie $p a s c a l (n)$ .
3. Que vaut $s u m (p a s c a l (n))$ ? Justifier, puis donner la valeur de $s u m (p a s c a l (13))$ .
4. Montrer que l'appel $p a s c a l (n)$ effectue exactement $(\binom{n}{2})$ additions. Combien pour $n = 50$ ?
5. Écrire une fonction $b i n o m i a l (n, k)$ qui renvoie $(\binom{n}{k})$ pour $0 \leq k \leq n$ en utilisant $p a s c a l$ .
6. Expliquer pourquoi $l e n (p a i r e s (E))$ vaut $(\binom{n}{2})$ lorsque $E$ est une liste de $n$ éléments distincts, et donner sa valeur pour une liste de 19 éléments.

1. $M$ commence par 1, reçoit $1 + 3 = 4$ , $3 + 3 = 6$ , $3 + 1 = 4$ , puis 1 : la fonction renvoie $[1, 4, 6, 4, 1]$ .

2. $L$ contient $n + 1$ termes, donc la boucle s'exécute pour $k$ de $0$ à $n - 1$ . $M$ reçoit d'abord $1 = (\binom{n + 1}{0})$ , puis, pour chaque $k$ , $(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1}) = (\binom{n + 1}{k + 1})$ d'après la relation de Pascal : ce sont $(\binom{n + 1}{1}), \dots, (\binom{n + 1}{n})$ . Enfin $1 = (\binom{n + 1}{n + 1})$ . La fonction renvoie la ligne $n + 1$ du triangle. Comme $p a s c a l$ part de $[1]$ , ligne 0, et applique $n$ fois $l i g n e_{s} u i v a n t e$ , on montre par récurrence qu'après $i$ tours $L$ contient la ligne $i$ : $p a s c a l (n)$ renvoie $[(\binom{n}{0}), \dots, (\binom{n}{n})]$ .

3. $s u m (p a s c a l (n))$ $= \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}$ , nombre de parties d'un ensemble à $n$ éléments. D'où $s u m (p a s c a l (13))$ $= 2^{13} = 8 192$ .

4. Au tour $i$ (de $0$ à $n - 1$ ), $L$ est la ligne $i$ , de longueur $i + 1$ : la boucle de $l i g n e_{s} u i v a n t e$ fait $i$ additions. Total : $0 + 1 + \dots + (n - 1) = \frac{n (n - 1)}{2} = (\binom{n}{2})$ . Pour $n = 50$ : $\frac{50 \times 49}{2}$ , soit $1 225$ additions.

5. def binomial(n, k): puis, à la ligne suivante et indenté, return pascal(n)[k] : le terme d'indice $k$ de la ligne $n$ est $(\binom{n}{k})$ .

6. La double boucle ajoute la paire $[E [i], E [j]]$ pour chaque couple d'indices $i < j$ . Toute partie à 2 éléments ${E [i], E [j]}$ s'écrit d'une seule façon avec $i < j$ : elle est ajoutée exactement une fois. $l e n (p a i r e s (E))$ est donc le nombre de parties à 2 éléments, $(\binom{n}{2})$ . Pour 19 éléments : $\frac{19 \times 18}{2}$ , soit 171.

Problème 3 — Organisation d'un tournoi

Difficile

Une ligue organise un tournoi de handball entre 12 équipes. On s'intéresse uniquement au nombre d'organisations possibles.

1. Dans un championnat où chaque équipe rencontre une fois chacune des autres, combien de matchs sont joués ? Et si chaque rencontre a lieu à l'aller et au retour (sur le terrain de chacune des deux équipes) ?
2. a) De combien de façons peut-on répartir les 12 équipes en trois poules de 4 équipes nommées A, B et C ?
2. b) Les poules ne sont plus nommées. Montrer qu'il y a alors 5 775 répartitions, en expliquant pourquoi on divise le résultat du a) par 6.
3. Dans chaque poule, les équipes se rencontrent une fois. Combien de matchs compte la phase de poules ? Comparer avec le championnat de la question 1.
4. Chaque poule se termine par un classement complet, sans ex æquo. Combien de résultats (classements des trois poules) sont possibles ?
5. Huit équipes sont qualifiées pour les quarts de finale. Le tableau (quatre matchs, sans ordre entre les matchs ni à l'intérieur d'un match) est tiré au sort. Montrer qu'il y a 105 tableaux possibles.

1. Un match aller simple correspond à une paire d'équipes : $(\binom{12}{2}) = \frac{12 \times 11}{2} =$ 66 matchs. À l'aller et au retour, un match est un couple ordonné (équipe qui reçoit, équipe invitée) d'équipes distinctes : $12 \times 11 =$ 132 matchs.

2. a) On choisit les 4 équipes de la poule A parmi 12, puis celles de B parmi les 8 restantes ; les 4 dernières forment C : $(\binom{12}{4}) \times (\binom{8}{4}) \times (\binom{4}{4}) = 495 \times 70 \times 1$ , soit $34 650$ répartitions.

2. b) Une répartition en trois groupes sans nom donne $3! = 6$ répartitions nommées, une par façon d'attribuer les noms A, B, C aux trois groupes, et deux attributions différentes donnent des répartitions nommées différentes. Donc le nombre cherché vaut $\frac{34 650}{6} =$ $5 775$ .

3. Chaque poule compte $(\binom{4}{2}) = 6$ matchs, soit $3 \times 6 =$ 18 matchs. C'est $\frac{66}{18} \approx 3, 7$ fois moins que le championnat aller simple.

4. Un classement d'une poule est une permutation de ses 4 équipes : $4! = 24$ . Les trois classements étant indépendants : $24^{3} =$ $13 824$ résultats.

5. On range les 8 équipes dans une liste ( $8! = 40 320$ ordres) et on forme les matchs avec les positions 1-2, 3-4, 5-6, 7-8. Un même tableau est obtenu en permutant les 4 matchs ( $4! = 24$ ) et en échangeant les deux équipes de chaque match ( $2^{4} = 16$ ) : $\frac{40 320}{24 \times 16} = \frac{40 320}{384} = 105$ . Autre raisonnement : l'équipe de plus petit numéro a 7 adversaires possibles, la plus petite restante 5, puis 3, puis 1 : $7 \times 5 \times 3 \times 1 =$ 105 tableaux.

Problème 4 — Un jeu de tirage de numéros

Difficile

Dans un jeu, le joueur coche 5 numéros distincts parmi 49 (l'ordre ne compte pas) et un « numéro chance » parmi 10. L'organisateur tire de même 5 numéros parmi 49 et un numéro chance ; toutes les grilles sont équiprobables.

1. Montrer qu'il existe 19 068 840 grilles différentes.
2. Un joueur affirme qu'il y a $49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45$ façons de cocher les 5 numéros. Expliquer son erreur et relier son nombre au bon résultat.
3. Le tirage étant effectué, on note $N_{k}$ le nombre de choix de 5 numéros (sans le numéro chance) comportant exactement $k$ bons numéros, pour $0 \leq k \leq 5$ . Exprimer $N_{k}$ à l'aide de coefficients binomiaux, puis calculer $N_{5}$ , $N_{4}$ et $N_{3}$ .
4. Justifier, sans calcul, que $\sum_{k = 0}^{5} N_{k} = (\binom{49}{5})$ .
5. Calculer la probabilité qu'un joueur ait au moins 3 bons numéros (numéro chance ignoré). Arrondir à $10^{- 4}$ .
6. Calculer la probabilité de trouver les 5 bons numéros et le bon numéro chance, et en donner l'ordre de grandeur.

1. Les 5 numéros forment une partie à 5 éléments de ${1, \dots, 49}$ : $(\binom{49}{5}) = \frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45}{120} = 1 906 884$ . Le numéro chance offre 10 choix indépendants. Principe multiplicatif : $1 906 884 \times 10 =$ $19 068 840$ grilles.

2. Son produit compte des 5-uplets d'éléments distincts, donc des choix ordonnés : $228 826 080$ . Or cocher 7, 12, 30, 31, 44 ou 44, 31, 30, 12, 7 donne la même grille. Chaque ensemble de 5 numéros est compté $5! = 120$ fois : $\frac{228 826 080}{120} = 1 906 884 = (\binom{49}{5})$ .

3. On choisit $k$ numéros parmi les 5 bons et $5 - k$ parmi les 44 mauvais : $N_{k} = (\binom{5}{k}) (\binom{44}{5 - k})$ . $N_{5} = 1 \times 1 =$ 1 ; $N_{4} = 5 \times 44 =$ 220 ; $N_{3} = (\binom{5}{3}) (\binom{44}{2}) = 10 \times 946 =$ $9 460$ .

4. Tout choix de 5 numéros comporte un nombre $k$ de bons numéros, et un seul, compris entre 0 et 5. Les ensembles « exactement $k$ bons numéros » forment donc une partition de l'ensemble des $(\binom{49}{5})$ choix ; le principe additif donne l'égalité. (Contrôle : $N_{2} = 132 440$ , $N_{1} = 678 755$ , $N_{0} = 1 086 008$ , et la somme des six nombres vaut bien $1 906 884$ .)

5. Par équiprobabilité : $p = \frac{N_{3} + N_{4} + N_{5}}{(\binom{49}{5})} = \frac{9 681}{1 906 884} \approx$ $0, 0051$ , soit environ une chance sur 197.

6. Une seule grille gagne sur $19 068 840$ : $p = \frac{1}{19 068 840} \approx$ $5, 2 \times 10^{- 8}$ , environ cinq chances sur cent millions.

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