Que faut-il savoir en combinatoire et dénombrement en Terminale ?

Il faut maîtriser les principes additif et multiplicatif, le nombre de k-uplets (n puissance k), de k-uplets d'éléments distincts (n!/(n−k)!), de permutations (n!) et de parties à k éléments (k parmi n). Il faut aussi connaître la symétrie, la relation de Pascal et savoir démontrer qu'un ensemble à n éléments a 2 puissance n parties.

Quelle est la différence entre un arrangement et une combinaison ?

Un arrangement (k-uplet d'éléments distincts) tient compte de l'ordre : un podium or-argent-bronze en est un. Une combinaison est une partie, sans ordre : une commission de 3 personnes. Chaque combinaison de k éléments correspond à k! arrangements, d'où k parmi n = n!/(k!(n−k)!).

Comment calculer « k parmi n » ?

On utilise la formule k parmi n = n(n−1)…(n−k+1)/k!, par exemple 3 parmi 17 = 17×16×15/6 = 680. Pour de petites valeurs de n, on peut aussi lire le coefficient dans le triangle de Pascal, construit avec la relation de Pascal.

À quoi sert le triangle de Pascal ?

Il donne tous les coefficients binomiaux sans factorielle : chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui. Sa ligne n fournit aussi les coefficients du développement de (a+b) puissance n (formule du binôme).

Quand utiliser n puissance k plutôt que k parmi n ?

n puissance k compte les tirages ordonnés avec répétitions possibles (codes, tirages successifs avec remise). k parmi n compte les choix sans ordre et sans répétition (tirages simultanés, groupes, mains de cartes).

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Combinatoire et dénombrement

Principe multiplicatif, k-uplets, arrangements, permutations, combinaisons, coefficients binomiaux et triangle de Pascal

À propos de cette page

Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Combinatoire et dénombrement » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, k-uplets, arrangements et permutations, Combinaisons et coefficients binomiaux, Relation de Pascal et formule du binôme. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.

L'essentiel

Cardinal. Le nombre d'éléments d'un ensemble fini

E

est son cardinal, noté

card (E)

. Dénombrer, c'est calculer un cardinal sans dresser la liste des éléments.

Principe additif. Si

A_{1}, \dots, A_{p}

sont des ensembles finis deux à deux disjoints, alors

card (A_{1} \cup \dots \cup A_{p}) = card (A_{1}) + \dots + card (A_{p})

Principe multiplicatif.

card (A \times B) = card (A) \times card (B)

. Plus généralement, un choix en

p

étapes offrant successivement

n_{1}, \dots, n_{p}

possibilités (nombres indépendants des choix déjà faits) conduit à

n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{p}

issues.

Exemple. Un code d'accès est soit un mot de 2 lettres (

26^{2} = 676

possibilités), soit un nombre de 3 chiffres (

10^{3} = 1 000

). Les deux familles sont disjointes :

676 + 1 000 = 1 676

codes.

Objet (ensemble à $n$ éléments)	Ordre	Répétitions	Nombre
$k$ -uplets	oui	oui	$n^{k}$
$k$ -uplets d'éléments distincts	oui	non	$\frac{n!}{(n - k)!}$
permutations	oui	non ( $k = n$ )	$n!$
combinaisons (parties à $k$ éléments)	non	non	$(\binom{n}{k})$
toutes les parties	—	—	$2^{n}$

k-uplets, arrangements et permutations

$k$ -uplet. Un

k

-uplet (ou

k

-liste) d'éléments de

E

est une suite ordonnée

(x_{1}, \dots, x_{k})

d'éléments de

E

, répétitions permises. Si

card (E) = n

, il y en a

card (E^{k}) = n^{k}

(principe multiplicatif).

Exemple. Un identifiant de 3 lettres majuscules :

26^{3} = 17 576

possibilités.

Factorielle. Pour

n \geq 1

n! = 1 \times 2 \times \dots \times n

, et par convention

0! = 1

. On a

(n + 1)! = (n + 1) \times n!

$k$ -uplets d'éléments distincts (arrangements). Pour

0 \leq k \leq n

, un ensemble à

n

éléments possède

n (n - 1) \dots (n - k + 1) = \frac{n!}{(n - k)!}

k

-uplets d'éléments distincts :

n

choix pour le premier terme,

n - 1

pour le deuxième, etc.

Exemple. Podium (or, argent, bronze) d'une course de 11 coureurs :

11 \times 10 \times 9 = 990

podiums.

Permutations. Une permutation de

E

est un

n

-uplet d'éléments distincts de

E

: il y en a

n!

. Exemple : 7 coureurs arrivent sans ex æquo, soit

7! = 5 040

ordres d'arrivée.

Nombre de parties. Un ensemble à

n

éléments possède

2^{n}

parties.
Démonstration exigible. Notons

E = {e_{1}, \dots, e_{n}}

. À une partie

A

on associe le

n

-uplet

(x_{1}, \dots, x_{n})

{0; 1}^{n}

où

x_{i} = 1

e_{i} \in A

x_{i} = 0

sinon. Deux parties différentes donnent deux

n

-uplets différents, et tout

n

-uplet provient d'une partie (celle des

e_{i}

tels que

x_{i} = 1

) : c'est une bijection. Le nombre de parties est donc

card ({0; 1}^{n}) = 2^{n}

Combinaisons et coefficients binomiaux

Combinaison. Une combinaison de

k

éléments de

E

est une partie de

E

k

éléments (sans ordre, sans répétition). Leur nombre se note

(\binom{n}{k})

et se lit «

k

parmi

n

» : c'est un coefficient binomial.

Formule. Pour

0 \leq k \leq n

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} = \frac{n (n - 1) \dots (n - k + 1)}{k!} .

En effet, chaque partie à

k

éléments fournit

k!

k

-uplets d'éléments distincts (ses permutations), donc

k! (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{(n - k)!}

. Cas usuels :

(\binom{n}{0}) = 1

(\binom{n}{1}) = n

(\binom{n}{2}) = \frac{n (n - 1)}{2}

Exemple. 23 personnes se saluent deux à deux : une poignée de main est une paire de personnes, soit

(\binom{23}{2}) = \frac{23 \times 22}{2} = 253

poignées de main.

Symétrie.

(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})

pour

0 \leq k \leq n

.
Démonstration. L'application qui à une partie

A

associe son complémentaire

\overset{―}{A}

envoie les parties à

k

éléments sur les parties à

n - k

éléments ; elle est sa propre réciproque (

\overset{―}{\overset{―}{A}} = A

), c'est donc une bijection : les deux ensembles ont le même cardinal. Par le calcul : échanger

k

n - k

ne change pas le produit

k! (n - k)!

Exemple.

(\binom{40}{38}) = (\binom{40}{2}) = \frac{40 \times 39}{2} = 780

Somme des coefficients.

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

.
Démonstration. On range les parties de

E

selon leur cardinal

k \in {0, \dots, n}

: ces

n + 1

familles sont deux à deux disjointes et la famille

k

compte

(\binom{n}{k})

parties. Le principe additif donne le nombre total de parties, qui vaut

2^{n}

Relation de Pascal et formule du binôme

Relation de Pascal. Pour

0 \leq k \leq n - 1

(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1}) = (\binom{n + 1}{k + 1}) .

Démonstration exigible (par dénombrement). Soit

E

un ensemble à

n + 1

éléments et

a

un élément fixé de

E

. Les parties de

E

k + 1

éléments se répartissent en deux familles disjointes :
• celles qui contiennent

a

: on choisit les

k

autres éléments parmi les

n

éléments de

E ⧵ {a}

, soit

(\binom{n}{k})

parties ;
• celles qui ne contiennent pas

a

: leurs

k + 1

éléments sont pris dans

E ⧵ {a}

, soit

(\binom{n}{k + 1})

parties.
Par le principe additif,

(\binom{n + 1}{k + 1}) = (\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1})

Triangle de Pascal. Ligne

n

, colonne

k

(\binom{n}{k})

. Les bords valent 1 ; chaque coefficient intérieur est la somme du coefficient situé juste au-dessus et de celui situé au-dessus à gauche.

$n$ \ $k$	0	1	2	3	4	5
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1

Exemple.

(\binom{6}{3}) = (\binom{5}{2}) + (\binom{5}{3}) = 10 + 10 = 20

Formule du binôme. Pour tous réels

a

b

et tout entier

n \geq 0

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k} .

En développant le produit des

n

facteurs

(a + b)

, le terme

a^{k} b^{n - k}

apparaît une fois pour chaque choix des

k

facteurs qui fournissent

a

, soit

(\binom{n}{k})

fois. Avec

a = b = 1

, on retrouve

\sum (\binom{n}{k}) = 2^{n}

Exemple. Ligne 4 : 1, 4, 6, 4, 1, donc

(x + 2)^{4} = x^{4} + 4 \times 2 x^{3} + 6 \times 2^{2} x^{2} + 4 \times 2^{3} x + 2^{4} = x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16

Mots, chemins et tirages

Mots à deux lettres. Le nombre de mots de longueur

n

formés de

k

lettres A et de

n - k

lettres B est

(\binom{n}{k})

: un tel mot est entièrement déterminé par l'ensemble des

k

positions occupées par A.

Chemins. Dans un quadrillage, un chemin de

(0; 0)

(p; q)

par pas unitaires vers la droite (D) ou vers le haut (H) est un mot de

p + q

lettres contenant

q

lettres H : il y en a

(\binom{p + q}{q})

Exemple. De

(0; 0)

(7; 2)

(\binom{9}{2}) = 36

chemins.

Tirage de $k$ objets parmi $n$	Modèle	Nombre
successif avec remise	$k$ -uplet	$n^{k}$
successif sans remise	$k$ -uplet d'éléments distincts	$\frac{n!}{(n - k)!}$
simultané	combinaison	$(\binom{n}{k})$

Astuce. Un tirage simultané de

k

objets correspond à

k!

tirages successifs sans remise : on divise par

k!

pour « oublier l'ordre ».

Méthodes

Méthode 1 — Choisir le bon modèle

Décrire un résultat type par un objet précis : liste, partie, mot, chemin.
Se demander si l'ordre compte et si les répétitions sont possibles.
Appliquer la formule correspondante : $n^{k}$ , $\frac{n!}{(n - k)!}$ , $n!$ ou $(\binom{n}{k})$ .
Contrôler sur un petit cas ou par un ordre de grandeur.

Exemple rédigé. Un club de 18 membres désigne un président, un trésorier et un secrétaire, trois personnes distinctes. Un bureau est un 3-uplet d'éléments distincts :

18 \times 17 \times 16 = 4 896

bureaux. Pour une simple commission de 3 membres, l'ordre ne compte plus :

(\binom{18}{3}) = \frac{4 896}{3!} = 816

commissions.

Méthode 2 — « Au moins un » : passer par le complémentaire

Compter tous les cas.
Compter les cas contraires (« aucun »).
Soustraire.

Exemple rédigé. On forme un comité de 4 personnes parmi 8 filles et 6 garçons. Au total :

(\binom{14}{4}) = 1 001

comités. Comités sans fille :

(\binom{6}{4}) = 15

. Comités avec au moins une fille :

1 001 - 15 = 986

Méthode 3 — Compter un tirage « exactement »

Découper l'ensemble en catégories (par exemple : cœurs / autres cartes).
Choisir séparément dans chaque catégorie avec des combinaisons.
Multiplier les nombres obtenus (principe multiplicatif).

Exemple rédigé. Mains de 5 cartes d'un jeu de 32 cartes (dont 8 cœurs) contenant exactement 2 cœurs : 2 cœurs parmi 8 et 3 cartes parmi les 24 autres, soit

(\binom{8}{2}) \times (\binom{24}{3}) = 28 \times 2 024 = 56 672

mains.

Méthode 4 — Démontrer une égalité par double dénombrement

Trouver un ensemble dont chaque membre de l'égalité est le cardinal.
Le compter de deux façons différentes.
Conclure à l'égalité (ou la vérifier par le calcul avec les factorielles).

Exemple rédigé. Montrons que

k (\binom{n}{k}) = n (\binom{n - 1}{k - 1})

pour

1 \leq k \leq n

. Dans un groupe de

n

personnes, on compte les comités de

k

membres munis d'un président choisi dans le comité. Comité d'abord (

(\binom{n}{k})

choix), puis président (

k

choix) :

k (\binom{n}{k})

. Président d'abord (

n

choix), puis les

k - 1

autres membres parmi les

n - 1

personnes restantes :

n (\binom{n - 1}{k - 1})

. Contrôle :

5 (\binom{9}{5}) = 5 \times 126 = 630

9 (\binom{8}{4}) = 9 \times 70 = 630

Pièges et erreurs classiques

Ordre ou pas ? « Simultanément », « un groupe », « une main » : pas d'ordre, donc

(\binom{n}{k})

. « Successivement », « un classement », « un code » : l'ordre compte, donc une liste.

Principe additif. Il ne s'applique qu'à des ensembles disjoints ; sinon, les éléments communs sont comptés deux fois.

Double comptage. Choisir « d'abord un élément d'une catégorie, puis les autres au hasard » compte plusieurs fois les résultats qui contiennent plusieurs éléments de cette catégorie. Pour « au moins un », passer par le complémentaire.

Groupes non numérotés. Pour répartir des personnes en groupes de même taille qui ne portent pas de nom, diviser par le nombre d'ordres possibles des groupes.

Conventions.

0! = 1

(\binom{n}{0}) = (\binom{n}{n}) = 1

. Le symbole

(\binom{n}{k})

n'est défini ici que pour

0 \leq k \leq n

Binôme.

(a + b)^{n} \neq a^{n} + b^{n}

. Avec

(a - b)^{n}

, les signes alternent : attention aux puissances de

- b

En bref

Ordre et répétitions : $n^{k}$ ; ordre sans répétition : $\frac{n!}{(n - k)!}$ ; permutations : $n!$ .
Sans ordre : $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ parties à $k$ éléments ; $2^{n}$ parties en tout.
Symétrie $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$ ; relation de Pascal $(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1}) = (\binom{n + 1}{k + 1})$ ; $\sum (\binom{n}{k}) = 2^{n}$ .
Binôme : $(a + b)^{n} = \sum (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k}$ .
« Au moins un » : complémentaire ; « exactement » : produit de combinaisons.

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