Calcul littéral : développer, factoriser, réduire

Reconnaître si une expression littérale est une somme ou un produit, développer k(a + b) et k(a − b), factoriser une expression simple avec un facteur commun, réduire une expression en regroupant les termes en x et les nombres, développer puis réduire ; problèmes et programmes de calcul.

À propos de cette page

Des exercices corrigés de 5e classés par cas et par difficulté : dire si une expression est une somme, une différence ou un produit, développer comme 4(x + 5), factoriser comme 12x + 20, réduire comme 5x + 3 + 2x + 6, puis développer et réduire.

9 exercices, classés par cas comme le cours. Écris ta réponse, puis « Vérifier ».

Cas 1Somme ou produit ? Développer k(a + b)

Réflexe — je cherche la dernière opération effectuée ; pour développer, le facteur multiplie chaque terme de la parenthèse. Revoir la méthode →

Exercice 1★★★Facile

Écris « somme », « différence » ou « produit » : cherche la dernière opération effectuée.

$3 (x + 8)$ est un(e)
On calcule d’abord $x + 8$ , puis on multiplie par $3$ : c’est un produit, de facteurs $3$ et $(x + 8)$ .
$3 x + 8$ est un(e)
On calcule d’abord $3 x = 3 \times x$ , puis on ajoute $8$ : c’est une somme, de termes $3 x$ et $8$ .
$10 - 4 y$ est un(e)
On calcule d’abord $4 y$ (le produit est prioritaire), puis on le soustrait de $10$ : c’est une différence.
$(x + 1) \times 9$ est un(e)
La parenthèse d’abord, puis la multiplication par $9$ : c’est un produit.
$6 a$ est un(e)
$6 a = 6 \times a$ : le signe $\times$ est caché, c’est un produit.
$7 + 2 y$ est un(e)
On calcule d’abord $2 y$ , puis on l’ajoute à $7$ : c’est une somme, même si elle commence par un nombre.

Exercice 2★★★Moyen

Développe en utilisant la distributivité (écris l’étape avec les produits sur ton brouillon).

$4 (x + 5) =$
$4 \times x + 4 \times 5 = 4 x + 20$ .
$3 (2 x - 7) =$
$3 \times 2 x - 3 \times 7 = 6 x - 21$ : on multiplie $3$ par $2$ pour le terme en $x$ .
$6 (x - 1) =$
$6 \times x - 6 \times 1 = 6 x - 6$ : le $1$ aussi est multiplié par $6$ .
$2 (5 x + 3) =$
$2 \times 5 x + 2 \times 3 = 10 x + 6$ .

Exercice 3★★★Difficile

Développe, ou trouve le nombre qui manque.

$(x + 9) \times 3 =$
La parenthèse est écrite en premier : $x \times 3 + 9 \times 3 = 3 x + 27$ .
$8 (a - b) =$
Deux lettres : $8 \times a - 8 \times b = 8 a - 8 b$ .
$0, 5 (6 x + 4) =$
$0, 5 \times 6 x + 0, 5 \times 4 = 3 x + 2$ (la moitié de $6$ , puis la moitié de $4$ ).
$(y + 4) = 7 y + 28$
Le facteur multiplie $y$ et $4$ : $7 \times y = 7 y$ et $7 \times 4 = 28$ . Le nombre qui manque est $7$ .

Cas 2Factoriser une expression simple

Réflexe — je cherche le facteur commun à tous les termes, je l’écris devant la parenthèse et je mets ce qui reste, avec le même signe ; je vérifie en développant. Revoir la méthode →

Exercice 4★★★Facile

Complète la factorisation.

$6 x + 18 = 6 (x +$ $)$
$18 = 6 \times 3$ , donc $6 x + 18 = 6 \times x + 6 \times 3 = 6 (x + 3)$ .
$4 a - 4 b =$ $(a - b)$
$4$ est dans les deux termes : $4 a - 4 b = 4 (a - b)$ .
$9 x - 27 = 9 (x -$ $)$
$27 = 9 \times 3$ , et le signe $-$ reste : $9 x - 27 = 9 (x - 3)$ .
$2 x + 2 = 2 (x +$ $)$
$2 = 2 \times 1$ : il reste $1$ , pas $0$ . $2 x + 2 = 2 (x + 1)$ .

Exercice 5★★★Moyen

Factorise.

$7 x + 14 =$
$14 = 7 \times 2$ : $7 x + 14 = 7 \times x + 7 \times 2 = 7 (x + 2)$ . Vérification : $7 (x + 2) = 7 x + 14$ .
$5 a - 35 =$
$35 = 5 \times 7$ : $5 a - 35 = 5 \times a - 5 \times 7 = 5 (a - 7)$ .
$3 x + 3 y =$
$3$ est dans les deux termes : $3 x + 3 y = 3 (x + y)$ .
$13 x + 13 =$
$13 = 13 \times 1$ : $13 x + 13 = 13 (x + 1)$ . Il reste $1$ dans la parenthèse.

Exercice 6★★★Difficile

Factorise : le facteur commun n’est pas écrit, cherche le plus grand nombre (ou la lettre) présent dans les deux termes.

$12 x + 20 =$
$4$ divise $12$ et $20$ : $12 x + 20 = 4 \times 3 x + 4 \times 5 = 4 (3 x + 5)$ . L’écriture $2 (6 x + 10)$ est juste aussi, mais on peut encore factoriser $6 x + 10$ par $2$ .
$15 x - 10 =$
$5$ divise $15$ et $10$ : $15 x - 10 = 5 \times 3 x - 5 \times 2 = 5 (3 x - 2)$ .
$14 + 21 x =$
$7$ divise $14$ et $21$ : $14 + 21 x = 7 \times 2 + 7 \times 3 x = 7 (2 + 3 x)$ .
$3 b + b c =$
La lettre $b$ est dans les deux termes : $3 b + b c = b \times 3 + b \times c = b (3 + c)$ .

Cas 3Réduire une expression

Réflexe — les termes en x ensemble (j’ajoute les coefficients), les nombres seuls ensemble ; s’il y a des parenthèses, je développe d’abord. Revoir la méthode →

Exercice 7★★★Facile

Réduis l’expression au maximum.

$4 x + 7 x =$
Termes de même nature : $4 + 7 = 11$ , donc $4 x + 7 x = 11 x$ .
$9 x - 3 x + 2 =$
$9 x - 3 x = 6 x$ ; le $+ 2$ reste à part : $6 x + 2$ .
$5 x + 3 + 2 x + 6 =$
Les $x$ : $5 x + 2 x = 7 x$ ; les nombres : $3 + 6 = 9$ . Donc $7 x + 9$ .
$8 x - 8 x + 5 =$
$8 x - 8 x = 0 x = 0$ : il ne reste que $5$ .

Exercice 8★★★Moyen

Réduis l’expression au maximum.

$2, 5 x + 1, 5 x =$
$2, 5 + 1, 5 = 4$ , donc $2, 5 x + 1, 5 x = 4 x$ .
$a + 9 + 3 a =$
$a = 1 a$ , donc $a + 3 a = 4 a$ ; le $9$ reste seul : $4 a + 9$ .
$10 x - 3 - 4 x + 8 =$
Les $x$ : $10 x - 4 x = 6 x$ ; les nombres : $- 3 + 8 = 5$ . Donc $6 x + 5$ .
$1, 2 y + 3 + 0, 8 y =$
Les $y$ : $1, 2 + 0, 8 = 2$ , donc $2 y$ ; le $3$ reste seul : $2 y + 3$ .

Exercice 9★★★Difficile

Développe, puis réduis.

$3 (x + 2) + 5 x =$
$3 x + 6 + 5 x = 8 x + 6$ .
$4 (2 x - 1) - 3 x =$
$8 x - 4 - 3 x = 5 x - 4$ .
$2 (x + 5) - 2 x =$
$2 x + 10 - 2 x = 10$ : le résultat ne dépend plus de $x$ .
$5 (x + 3) + 2 (x - 4) =$
$5 x + 15 + 2 x - 8 = 7 x + 7$ (les $x$ : $5 x + 2 x$ ; les nombres : $15 - 8$ ).

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