Reconnaître si une expression littérale est une somme ou un produit, développer k(a + b) et k(a − b), factoriser une expression simple avec un facteur commun, réduire une expression en regroupant les termes en x et les nombres, développer puis réduire ; problèmes et programmes de calcul.
À propos de cette page
Six problèmes corrigés où l’on développe, factorise et réduit : le programme de calcul d’Inès, les bouquets d’un fleuriste, les étagères de la bibliothèque, la somme de trois nombres qui se suivent, un triangle et un carré de même périmètre, les tickets d’un manège.
6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».
Résoudre un problème : la méthode
Je lis l’énoncé et je repère ce que représente la lettre : un nombre choisi, une longueur, un prix.
J’écris l’expression demandée, avec des parenthèses quand une opération porte sur un résultat entier.
Je transforme : je développe les produits, je réduis, ou je factorise si l’on cherche un facteur commun.
Je vérifie en remplaçant la lettre par un nombre dans l’expression de départ et dans l’expression obtenue : les deux résultats doivent être égaux.
Je réponds par une phrase, avec l’unité.
Problème 1 · Le programme de calcul d’Inès★★★Facile
Inès propose ce programme : « Choisis un nombre, ajoute , puis multiplie le résultat par . »
1. Quel résultat obtient-on en partant de ?
, puis .
2. En partant d’un nombre , écris l’expression obtenue, avec des parenthèses :
On ajoute d’abord : la parenthèse est indispensable, , qui s’écrit .
3. Développe cette expression :
. Avec : , on retrouve le résultat du programme.
4. Noé traduit le programme par . Quel résultat son expression donne-t-elle en partant de ?
, et non : l’expression de Noé est fausse. Elle multiplie avant d’ajouter, alors que le programme ajoute d’abord ; il a oublié la parenthèse, donc de multiplier le .
Problème 2 · Les bouquets du fleuriste★★★Facile
Un fleuriste prépare des bouquets identiques. Chaque bouquet contient roses et tulipes.
1. Écris le nombre de fleurs de bouquets sous la forme d’un produit :
Un bouquet a fleurs ; bouquets en ont , qui s’écrit .
2. Développe ce produit :
: roses et tulipes.
3. Avec , combien de fleurs y a-t-il dans les bouquets ?
fleurs (ou ).
4. Un autre jour, bouquets identiques contiennent en tout fleurs, dont roses. Combien chaque bouquet a-t-il de tulipes ?
On factorise : . Chaque bouquet a roses et tulipes.
Problème 3 · Les étagères de la bibliothèque★★★Moyen
Dans la bibliothèque du collège, chacune des étagères du haut porte romans et bandes dessinées. Chacune des étagères du bas porte seulement romans.
1. Écris le nombre de livres des étagères du haut sous la forme d’un produit :
Une étagère du haut porte livres ; les en portent , qui s’écrit .
2. Écris le nombre total de livres des étagères, développé et réduit :
.
3. Chaque étagère porte romans (). Combien y a-t-il de livres en tout ?
livres. Vérification : .
4. Combien de ces livres sont des bandes dessinées, quelle que soit la valeur de ?
Dans , le terme compte les romans et le nombre seul compte les bandes dessinées : , quel que soit .
Problème 4 · Trois nombres qui se suivent★★★Moyen
On ajoute trois nombres entiers qui se suivent, comme , et . On note le plus petit des trois.
1. Combien vaut la somme de , et ?
, et .
2. Les trois nombres s’écrivent , et . Écris leur somme, réduite :
: les termes en donnent , les nombres . La somme vaut .
3. Factorise cette somme :
: il reste , pas .
4. La somme est donc toujours le triple de l’un des trois nombres. Lequel : le plus petit, celui du milieu ou le plus grand ?
est le nombre du milieu : la somme de trois entiers qui se suivent vaut toujours fois celui du milieu (). Le calcul littéral le démontre pour tous les entiers, alors qu’un exemple ne fait que le constater.
Problème 5 · Le triangle et le carré★★★Difficile
Un triangle a des côtés de longueurs , et (en cm). Un carré a des côtés de longueur (en cm).
1. Écris le périmètre du triangle, réduit :
: les termes en donnent , les nombres . Périmètre : .
2. Écris le périmètre du carré, développé :
Quatre côtés de : .
3. Pour cm, quel est le périmètre du triangle, en cm ?
cm. Vérification avec les côtés : cm.
4. Le périmètre du carré est-il égal à celui du triangle seulement pour certaines valeurs de , ou toujours ?
Les deux périmètres s’écrivent : ils sont égaux pour toutes les valeurs de (pour lesquelles le triangle existe). Pour , le carré a des côtés de cm, et cm.
Problème 6 · Les tickets du manège★★★Difficile
Au manège, un ticket adulte coûte euros et un ticket enfant coûte € de moins. La famille Martin achète tickets adultes et tickets enfants ; la famille Diallo, tickets adultes et tickets enfants.
1. Écris le prix d’un ticket enfant, en euros :
€ de moins qu’un ticket adulte : .
2. Écris le prix payé par la famille Martin, développé et réduit :
.
3. Écris le prix payé par la famille Diallo, développé et réduit :
.
4. Le ticket adulte coûte €. Combien la famille Diallo paie-t-elle de plus que la famille Martin, en euros ?
Martin : € ; Diallo : €. Différence : €.
Bloqué sur ce chapitre ?
Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.