Devoir surveillé : Calcul littéral et équations

1. a)$5\times 3x+5\times 4=15x+20$. (1 pt) (1)
2. b)$-2\times 4x-2\times (-7)=-8x+14$. (0,5 pt pour $-8x$, 0,5 pt pour $+14$) (1)
3. c)$6x-15+4x=10x-15$. (0,5 pt pour le développement, 0,5 pt pour la réduction) (1)
4. d)$6-2x-6=-2x$. (0,5 pt pour $-2x-6$ avec le bon signe, 0,5 pt pour le résultat $-2x$) (1)

Piège — un signe « moins » devant la parenthèse multiplie chaque terme : $-2\times (-7)$ donne $+14$, et $-2\times (+3)$ donne $-6$.

1. a)$4(x-3)=4x-12$. (0,5 pt) (1)
2. b)$4x-12=2x+6$ ; on retire $2x$ : $2x-12=6$ ; on ajoute $12$ : $2x=18$ ; on divise par $2$ : $x=9$. Vérification : $4\times (9-3)=24$ et $2\times 9+6=24$. La solution est $9$. (1 pt pour la résolution, 0,5 pt pour la vérification) (1)
3. c)$6x+3-5x=10$, soit $x+3=10$, donc $x=7$. Vérification : $3\times 15-35=10$. (0,5 pt pour la réduction, 0,5 pt pour la solution) (1)
4. d)$5x-2x+8=20$, soit $3x+8=20$, donc $3x=12$ et $x=4$. Vérification : $20-2\times 0=20$. (0,5 pt pour $+8$, 0,5 pt pour la solution) (1)

Méthode — devant une équation avec parenthèses, on développe et on réduit chaque membre d'abord ; on se ramène ainsi à une équation du type $ax+b=cx+d$.

1. a)$6\times x+6\times 3=6(x+3)$. (1 pt) (1)
2. b)$5\times 2x-5\times 3=5(2x-3)$. (1 pt) (1)
3. c)$x\times x+9\times x=x(x+9)$. (1 pt) (1)
4. d)D'après la forme factorisée : $6\times (-3+3)=6\times 0=0$. Oui, $-3$ est solution. (0,5 pt pour le calcul, 0,5 pt pour la conclusion) (1)

Astuce — on vérifie une factorisation en redéveloppant de tête ; si l'on retrouve l'expression de départ, la factorisation est juste.

1. a)$4x+3$ ne se réduit pas : $4x$ et $3$ ne sont pas des termes de même nature. Contre-exemple : pour $x=2$, $4x+3=11$ mais $7x=14$. (0,5 pt pour la bonne réponse, 0,5 pt pour l'explication) (1)
2. b)$-(x-5)=-x+5$ : le signe « moins » change le signe de chaque terme, donc $-5$ devient $+5$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$x=10-6=4$ : pour éliminer $+6$, on soustrait $6$ aux deux membres, on ne l'ajoute pas. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)$x={\displaystyle \frac{12}{-4}}=-3$ : on divise les deux membres par $-4$, en gardant le signe. Vérification : $-4\times (-3)=12$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — pour isoler $x$, on applique l'opération contraire : on soustrait ce qui est ajouté, on divise par ce qui multiplie, sans oublier le signe du nombre.

1. a)$P=2(2x+3)+2(x-1)=4x+6+2x-2=6x+4$. (0,5 pt pour le développement, 0,5 pt pour la réduction) (1)
2. b)$P=6\times 4+4=28$ cm. Contrôle : longueur $11$ cm, largeur $3$ cm, et $2\times (11+3)=28$. (1 pt) (1)
3. c)$6x+4=40$, donc $6x=36$, donc $x=6$. (0,5 pt pour l'équation, 1 pt pour la résolution) (1)
4. d)Longueur $2\times 6+3=15$ cm, largeur $6-1=5$ cm ; contrôle : $2\times (15+5)=40$ cm. (0,5 pt) (1)

Méthode — une fois $x$ trouvé, on revient à la question posée : ici, ce sont les dimensions qui sont demandées, et on les contrôle avec le périmètre.

1. a)Vrai : $3x-6+2x+6=5x$ pour tout $x$. (0,5 pt pour la réponse, 0,5 pt pour le développement) (1)
2. b)Faux : pour $x=0$, on obtient $7=9$, ce qui est faux. En retirant $2x$ aux deux membres, on arrive à $7=9$ pour tout $x$ : l'équation n'a aucune solution. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Vrai : $3-2\times (-5)=3+10=13$ et $-5+18=13$. Les deux membres sont égaux. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Faux : $4x-2x+2=2x+2$. Contre-exemple : pour $x=0$, le membre de gauche vaut $2$ et celui de droite $-2$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Piège — un seul exemple ne prouve pas qu'une égalité est toujours vraie ; il faut un calcul général. En revanche, un seul contre-exemple suffit à prouver qu'elle est fausse.

1. a)$12x-8=5x+13$ ; $7x=21$ ; $x=3$. Vérification : $4\times 7=28$ et $15+13=28$. (0,5 pt pour le développement, 0,5 pt pour la solution) (1)
2. b)$2x+14-3x+3=12$ ; $-x+17=12$ ; $-x=-5$ ; $x=5$. Vérification : $2\times 12-3\times 4=12$. (0,5 pt pour $-3x+3$, 0,5 pt pour la solution) (1)
3. c)On multiplie les deux membres par $6$ : $2x+24=3x$ ; donc $x=24$. Vérification : $8+4=12$ et ${\displaystyle \frac{24}{2}}=12$. (0,5 pt pour la multiplication par $6$, 0,5 pt pour la solution) (1)
4. d)On multiplie par $5$ : $2x-1=5(x-5)=5x-25$ ; $-3x=-24$ ; $x=8$. Vérification : ${\displaystyle \frac{15}{5}}=3$ et $8-5=3$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Astuce — pour chasser les dénominateurs, on multiplie les deux membres par un multiple commun des dénominateurs ; attention à multiplier tous les termes, y compris les entiers.

1. a)$A=4\times 2x-4\times 3=4(2x-3)$. (0,5 pt) (1)
2. b)$B=5x\times 3x+5x\times 1=5x(3x+1)$. Le « $+1$ » est indispensable. (0,5 pt pour le facteur $5x$, 0,5 pt pour $3x+1$) (1)
3. c)$6n+9=3\times 2n+3\times 3=3(2n+3)$ ; comme $2n+3$ est un entier, $6n+9$ est un multiple de $3$. (0,5 pt pour la factorisation, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
4. d)$4(2x-3)=4$, donc en divisant par $4$ : $2x-3=1$, puis $2x=4$ et $x=2$. Vérification : $16-12=4$. (1 pt pour la résolution, 0,5 pt pour la vérification) (1)

Erreur fréquente — quand le facteur commun est un terme tout entier de la somme, comme $5x$ dans $15x^2+5x$, il reste $1$ et non $0$ : on écrit $5x(3x+1)$, pas $5x\times 3x$.

1. a)A : $5+3=8$ ; $8\times 4=32$ ; $32-10=22$. B : $5\times 2=10$ ; $10+12=22$. (0,5 pt par programme) (1,33333)
2. b)A donne $4(x+3)-2x=4x+12-2x=2x+12$, et B donne $2x+12$. Les deux expressions sont égales pour tout $x$. (0,5 pt pour l'expression de A, 0,5 pt pour la réduction, 0,5 pt pour la conclusion) (1,33333)
3. c)$2x+12=7$, donc $2x=-5$ et $x=-2,5$. Vérification : $-2,5+3=0,5$ ; $0,5\times 4=2$ ; $2-(-5)=7$. (0,5 pt pour l'équation, 0,5 pt pour la solution, 0,5 pt pour la vérification) (1,33333)

Méthode — pour prouver que deux programmes sont équivalents, on traduit chacun par une expression en $x$, on développe et on réduit, puis on compare les formes réduites.

1. a)Mère aujourd'hui : $4x$. Dans $12$ ans : Hugo $x+12$, mère $4x+12$. (0,5 pt pour $4x$, 0,5 pt pour les deux âges futurs) (1)
2. b)« La mère aura le double de l'âge de Hugo » s'écrit $4x+12=2(x+12)$, et $2(x+12)=2x+24$. (0,5 pt) (1)
3. c)$4x-2x=24-12$, soit $2x=12$ et $x=6$. Hugo a $6$ ans, sa mère $24$ ans. Contrôle : dans $12$ ans, $18$ ans et $36$ ans, et $36=2\times 18$. (1 pt pour la résolution, 0,5 pt pour les âges) (1)
4. d)Dans $n$ années : $24+n=3(6+n)$, soit $24+n=18+3n$, donc $6=2n$ et $n=3$. Contrôle : $27=3\times 9$. Dans $3$ ans. (0,5 pt pour l'équation, 0,5 pt pour la solution) (1)

Piège — dans un problème d'âges, les deux personnes vieillissent du même nombre d'années : on ajoute $12$ à chaque âge, pas seulement à celui de la mère.

1. a)$A=6x-15-4x+12+2-6x=-4x-1$. (0,5 pt pour le développement, 0,5 pt pour la réduction) (1)
2. b)${\displaystyle \frac{2}{3}}\times 6x=4x$ et ${\displaystyle \frac{2}{3}}\times 9=6$ ; ${\displaystyle \frac{1}{4}}\times 8x=2x$ et ${\displaystyle \frac{1}{4}}\times 12=3$. Donc $B=4x-6-2x-3=2x-9$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$C=6x\times 3x-6x\times 2=6x(3x-2)$. Une factorisation par $2$, $3$, $6$ ou $x$ seulement est incomplète. (1 pt, 0,5 pt si la factorisation est partielle) (1)
4. d)$-4x-1=2x-9$ ; $-6x=-8$ ; $x={\displaystyle \frac{8}{6}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$. Vérification : $A=-{\displaystyle \frac{16}{3}}-1=-{\displaystyle \frac{19}{3}}$ et $B={\displaystyle \frac{8}{3}}-9=-{\displaystyle \frac{19}{3}}$. (0,5 pt pour la résolution, 0,5 pt pour la vérification) (1)

Méthode — « factoriser le plus possible » oblige à chercher le plus grand facteur commun, nombre et lettre à la fois : ici $6x$, et non $2x$ ou $6$.

1. a)On multiplie par $12$ : $3(3x-1)-2(x+2)=12$ ; $9x-3-2x-4=12$ ; $7x-7=12$ ; $7x=19$ ; $x={\displaystyle \frac{19}{7}}$. Vérification : ${\displaystyle \frac{50}{7}}÷4={\displaystyle \frac{25}{14}}$ et ${\displaystyle \frac{33}{7}}÷6={\displaystyle \frac{11}{14}}$, et ${\displaystyle \frac{25}{14}}-{\displaystyle \frac{11}{14}}=1$. (0,5 pt pour la multiplication par $12$ avec parenthèses, 0,5 pt pour la réduction, 0,5 pt pour la solution) (1,33333)
2. b)On multiplie par $6$ : $4(x-6)=3x+6$ ; $4x-24=3x+6$ ; $x=30$. Vérification : ${\displaystyle \frac{2}{3}}\times 24=16$ et $15+1=16$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1,33333)
3. c)Gauche : $5x-10-3x-3=2x-13$. Droite : $2x-14+1=2x-13$. L'égalité $2x-13=2x-13$ est vraie pour tout $x$ : tous les nombres sont solutions. (0,5 pt par membre réduit, 0,5 pt pour la conclusion) (1,33333)

Erreur fréquente — en multipliant ${\displaystyle \frac{x+2}{6}}$ par $12$, on obtient $2(x+2)$ : sans parenthèses, le signe « moins » placé devant ne porterait que sur $x$ et le calcul serait faux.

1. a)$E=5x+20-2x+2=3x+22$. (0,5 pt pour $+2$, 0,5 pt pour le résultat) (1)
2. b)$3x+22=40$ ; $3x=18$ ; $x=6$. (0,5 pt) (1)
3. c)Pour $x$ entier naturel, $E=3x+22⩾22$. Les multiples de $5$ compris entre $22$ et $49$ sont $25$, $30$, $35$, $40$ et $45$ : il y a donc cinq équations à étudier. $3x+22=25$ donne $x=1$ ; $3x+22=30$ donne $3x=8$ (pas entier) ; $=35$ donne $3x=13$ (non) ; $=40$ donne $x=6$ ; $=45$ donne $3x=23$ (non). Les solutions sont $x=1$ ($E=25$) et $x=6$ ($E=40$). (0,5 pt pour la liste complète des multiples, 0,5 pt pour les cinq cas, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
4. d)$3x+22=60$ donne $3x=38$, soit $x={\displaystyle \frac{38}{3}}$. Or $38$ n'est pas un multiple de $3$ : $x$ n'est pas entier. Réponse : non. (0,5 pt pour l'équation, 0,5 pt pour la justification) (1)

Astuce — pour être sûr de ne rien oublier, on encadre d'abord l'expression, puis on dresse la liste finie des cas possibles et on les teste tous, un par un.

1. a)Périmètres : $4(x+3)=4x+12$ et $3(2x-1)=6x-3$. Équation : $4x+12=6x-3$, soit $15=2x$ et $x=7,5$. Côtés : $10,5$ cm et $14$ cm ; fil : $4\times 10,5=42$ cm $=3\times 14$. (0,5 pt pour les périmètres, 0,5 pt pour l'équation, 0,5 pt pour $x$, 0,5 pt pour la longueur) (1,33333)
2. b)Il faudrait $6x-3=1,5(4x+12)$, soit $6x-3=6x+18$, donc $-3=18$ : c'est impossible, quel que soit $x$. Tom a tort. (0,5 pt pour l'équation, 0,5 pt pour le développement, 0,5 pt pour la conclusion) (1,33333)
3. c)$6x=4x+12$, donc $2x=12$ et $x=6$ ; le fil mesure alors $36$ cm, et $4\times 9=36$. (0,5 pt) (1,33333)

Piège — une équation qui se réduit à une égalité fausse comme $-3=18$ n'a aucune solution : ce n'est pas une erreur de calcul, c'est la réponse au problème.

1. a)$n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)$ ; comme $n+1$ est un entier, la somme est un multiple de $3$. (0,5 pt pour l'expression, 0,5 pt pour la factorisation et la conclusion) (1)
2. b)$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=5n+10=5(n+2)$ : c'est un multiple de $5$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$3n+3=2025$ ; $3n=2022$ ; $n=674$. Les entiers sont $674$, $675$ et $676$. Contrôle : $674+675+676=2025$. (0,5 pt pour l'équation, 0,5 pt pour les trois entiers) (1)
4. d)$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6=4(n+1)+2$. C'est un multiple de $4$ augmenté de $2$ : la division par $4$ laisse toujours un reste de $2$, donc la somme n'est jamais un multiple de $4$. (0,5 pt pour $4n+6$, 0,5 pt pour l'écriture $4(n+1)+2$ et la conclusion) (1)

Astuce — pour prouver qu'une expression est multiple de $k$, on la factorise par $k$ ; pour prouver qu'elle ne l'est jamais, on l'écrit sous la forme « multiple de $k$ plus un reste ».