Équations : résoudre une équation du premier degré

Reprendre les acquis de 5e (équation, inconnue, membres, solution, tester un nombre, résoudre x + b = c et ax = c) ; transformer une équation en ajoutant, soustrayant, multipliant ou divisant ses deux membres par un même nombre ; résoudre ax + b = c, puis ax + b = cx + d avec des parenthèses ou des quotients ; reconnaître une équation sans solution ou avec une infinité de solutions ; mettre un problème en équation, le résoudre et vérifier.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés à mettre en équation : deux programmes de calcul, un triangle isocèle et son périmètre, une tirelire de pièces de 2 € et de 50 centimes, les âges d’une mère et de son fils, un partage de 250 € entre trois amis et un rectangle comparé à deux carrés.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je choisis l’inconnue et je l’écris avec son unité : « Soit x le nombre de minutes ».
J’exprime les autres grandeurs en fonction de x : le double, x + 20, le prix pour x minutes…
J’écris l’équation : la même quantité dite de deux façons (un total, deux prix égaux, deux périmètres égaux).
Je résous en faisant chaque opération sur les deux membres.
Je vérifie dans l’énoncé et je réponds par une phrase : la réponse doit avoir du sens.

Problème 1 · Les programmes de calcul★★★Facile

Programme A : « Je pense à un nombre, je le multiplie par

3

, puis je soustrais

8

. » On note

x

le nombre pensé.

1. Avec le programme A, j’obtiens $25$ . Écris l’équation (par exemple 2x+5=9) :
Le résultat du programme A est $3 x - 8$ , qui doit valoir $25$ : $3 x - 8 = 25$ .
2. Quel est le nombre pensé ?
On ajoute $8$ aux deux membres : $3 x = 33$ ; on divise par $3$ : $x = 11$ . Vérification : $3 \times 11 - 8 = 25$ .
3. Programme B : « je double le nombre, j’ajoute $7$ , et j’obtiens le triple du nombre de départ ». Écris l’équation :
Le double plus $7$ est égal au triple : $2 x + 7 = 3 x$ .
4. Quel est le nombre de départ du programme B ?
On soustrait $2 x$ aux deux membres : $7 = x$ . Vérification : $2 \times 7 + 7 = 21$ et $3 \times 7 = 21$ .

Problème 2 · Le triangle isocèle★★★Facile

Un triangle isocèle a deux côtés de longueur

x

cm et un troisième côté plus long de

4

cm. Son périmètre mesure

25, 6

cm.

1. Écris l’équation du périmètre, sous forme réduite (par exemple 3x+2=10) :
$x + x + (x + 4) = 25, 6$ , soit $3 x + 4 = 25, 6$ .
2. Résous : $x =$
On soustrait $4$ : $3 x = 21, 6$ ; on divise par $3$ : $x = 7, 2$ .
3. Longueur du troisième côté : cm
$7, 2 + 4 = 11, 2$ cm. Vérification : $7, 2 + 7, 2 + 11, 2 = 25, 6$ .
4. Somme des deux côtés égaux : cm
$7, 2 + 7, 2 = 14, 4$ cm. Elle est plus grande que $11, 2$ cm, le plus grand côté : ce triangle peut être construit (inégalité triangulaire).

Problème 3 · La tirelire★★★Moyen

Une tirelire contient

46

pièces, des pièces de

2

€ et des pièces de

50

centimes, pour un total de

50

€. On note

x

le nombre de pièces de

2

€.

1. Nombre de pièces de $50$ centimes, en fonction de $x$ :
Il y a $46$ pièces en tout, dont $x$ pièces de $2$ € : il reste $46 - x$ pièces de $50$ centimes.
2. Écris l’équation du montant total, en euros :
Les pièces de $2$ € valent $2 x$ euros ; une pièce de $50$ centimes vaut $0, 5$ €, donc ces pièces valent $0, 5 (46 - x)$ euros. Équation : $2 x + 0, 5 (46 - x) = 50$ . Écrire $50 (46 - x)$ mélangerait centimes et euros.
3. Nombre de pièces de $2$ € :
On développe : $2 x + 23 - 0, 5 x = 50$ , soit $1, 5 x + 23 = 50$ ; $1, 5 x = 27$ ; $x = 27 \div 1, 5 = 18$ . Vérification : $18$ pièces de $2$ € font $36$ €, $28$ pièces de $50$ centimes font $14$ €, et $36 + 14 = 50$ .
4. On veut atteindre $62$ € en ajoutant seulement des pièces de $20$ centimes. Combien faut-il en ajouter ?
Soit $y$ le nombre de pièces ajoutées : $50 + 0, 2 y = 62$ ; $0, 2 y = 12$ ; $y = 12 \div 0, 2 = 60$ . Vérification : $60 \times 0, 20 = 12$ € et $50 + 12 = 62$ €.

Problème 4 · Les âges de Nadia et Sami★★★Moyen

Aujourd’hui, Nadia a

41

ans et son fils Sami a

13

ans. On note

x

le nombre d’années à attendre.

1. Écris l’équation qui traduit « Nadia aura le double de l’âge de Sami » :
Dans $x$ années, Nadia aura $41 + x$ ans et Sami $13 + x$ ans : $41 + x = 2 (13 + x)$ .
2. Dans combien d’années ? $x =$
On développe : $41 + x = 26 + 2 x$ ; on soustrait $x$ : $41 = 26 + x$ ; $x = 15$ .
3. Quel sera alors l’âge de Nadia ? ans
$41 + 15 = 56$ ans ; Sami aura $13 + 15 = 28$ ans, et $56 = 2 \times 28$ .
4. Dans combien d’années Nadia aura-t-elle le triple de l’âge de Sami ?
$41 + x = 3 (13 + x)$ ; $41 + x = 39 + 3 x$ ; on soustrait $x$ et $39$ : $2 = 2 x$ ; $x = 1$ . Dans $1$ an, Nadia aura $42$ ans et Sami $14$ ans : $42 = 3 \times 14$ .

Problème 5 · Le partage entre trois amis★★★Difficile

Trois amis se partagent

250

€. Bilal reçoit

20

€ de plus qu’Anna, et Chloé reçoit le double de la part de Bilal, diminué de

35

€. On note

x

la part d’Anna, en euros.

1. Écris l’équation, sous forme réduite (par exemple 5x+3=40) :
Parts : Anna $x$ , Bilal $x + 20$ , Chloé $2 (x + 20) - 35 = 2 x + 40 - 35 = 2 x + 5$ . Équation : $x + (x + 20) + (2 x + 5) = 250$ , soit $4 x + 25 = 250$ . Piège : le double porte sur toute la part de Bilal, $x + 20$ , pas seulement sur $x$ .
2. Part d’Anna : €
On soustrait $25$ : $4 x = 225$ ; on divise par $4$ : $x = 56, 25$ . Anna reçoit $56, 25$ €.
3. Part de Chloé : €
Bilal reçoit $56, 25 + 20 = 76, 25$ € et Chloé $2 \times 76, 25 - 35 = 117, 5$ €. Vérification : $56, 25 + 76, 25 + 117, 5 = 250$ .
4. Si Anna recevait $62, 50$ €, combien les trois amis se partageraient-ils en tout ? €
Bilal recevrait $82, 50$ € et Chloé $2 \times 82, 5 - 35 = 130$ € : $62, 5 + 82, 5 + 130 = 275$ €. Ce n’est pas $250$ € : une part de $62, 50$ € pour Anna ne correspond pas à l’énoncé.

Problème 6 · Le rectangle et les deux carrés★★★Difficile

Un rectangle a pour longueur

(x + 5)

cm et pour largeur

(x - 2)

cm, avec

x

plus grand que

2

1. Périmètre du rectangle, développé et réduit :
$2 (x + 5) + 2 (x - 2) = 2 x + 10 + 2 x - 4 = 4 x + 6$ .
2. Combien de valeurs de $x$ donnent au rectangle le même périmètre qu’un carré de côté $(x + 1)$ cm ?
Périmètre du carré : $4 (x + 1) = 4 x + 4$ . L’équation $4 x + 6 = 4 x + 4$ donne $6 = 4$ , ce qui est faux : aucune solution. Le rectangle a toujours $2$ cm de périmètre de plus que ce carré.
3. Le rectangle a le même périmètre qu’un carré de côté $(2 x - 7)$ cm. Trouve $x$ :
Périmètre du carré : $4 (2 x - 7) = 8 x - 28$ . $4 x + 6 = 8 x - 28$ ; on soustrait $4 x$ : $6 = 4 x - 28$ ; $34 = 4 x$ ; $x = 8, 5$ .
4. Quel est alors ce périmètre commun ? cm
Rectangle : $13, 5$ cm sur $6, 5$ cm, périmètre $2 \times (13, 5 + 6, 5) = 40$ cm. Carré : côté $2 \times 8, 5 - 7 = 10$ cm, périmètre $4 \times 10 = 40$ cm.

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